pn結正偏時，自由電子是怎樣通過耗盡層的？
耗盡層p區的空穴已經被填滿了，晶體中原子之間是不是還有很大的空間供電子通過？
一句話回答：正偏的時候，耗盡層消失了，或者說只有非常薄的一層。
我們再複習一遍半導體的知識。
半導體裡面的載流子不是你想的那樣的，電子並不是完全自由的，空穴更不是。它們是從原子往相鄰的原子上轉移。一個4價的硅原子，上面有一個電子轉移到隔壁的原子去了，它自己就變成了一個帶正電的空穴，轉移出去的電子變成了帶負電的載流子。如果剛好又有一個電子跳到了空穴上，這兩個就會合併回電中性的4價硅原子。這兩種過程形成動態平衡，跟化學裡面的平衡反應差不多，這樣最後半導體中同一位置空穴和電子載流子的乘積是個固定值，對於純凈的硅來說兩者相等，那麼每種的數量都非常少。帶電子的原子，上面的電子可以有機會轉移到臨近的原子上，這樣就可以承載電流；同樣，空穴可以吸引相鄰原子上面沒有分裂出來的電子，讓相鄰原子分裂成空穴和電子，然後把電子吸引過來和自己的空穴中和，也就相當於空穴移動了一個位置，也可以承載電流。
經過摻雜之後，某些摻雜進去的原子有更強的吸電子的效應，電子載流子跳到這個原子上就出不去了，於是吸走了一部分電子讓它們不能再參與平衡反應，那麼平衡就被拉到了空穴多、電子少的方向，這就是p型半導體；反過來某些摻雜進去的原子有較強的給電子效應，它很容易分解出電子，而電子載流子很難跳到它上面重新回到電中性，平衡就變成電子多、空穴少的狀態，也就是n型半導體。這跟純水難導電、酸鹼性的水容易導電差不多的原理。沒有摻雜的時候，兩種載流子濃度都是本徵濃度，都很低，總的載流子濃度是本徵濃度的兩倍；摻雜之後，一種載流子濃度提升了一百倍，另一種下降到1/100，但是總的載流子濃度是本徵濃度的100.01倍，導電能力就大大提高了。注意並不是說p型半導體就帶正電、n型半導體就帶負電了。那些摻雜的原子吸走了電子，自己變成了負離子，電荷並沒有增減，只是這些負離子很穩定，不會參與導電；給電子的原子也是一樣。半導體整體還是電中性的。
再說p-n結的問題。將p型半導體和n型半導體融合到一起之後，由於熱力學第二定律的作用，載流子會自動從濃度高的位置向濃度低的位置轉移，簡單想成是載流子到處亂轉，但是因為p型這邊空穴多、n型那邊空穴少，所以總是從p型到n型移動的空穴比較多，而反過來移動的空穴比較少；n型的電子也是一樣。但是我們知道電子和空穴是帶電的，它從半導體裡面移動出去了，就會把電荷也帶過去，本來電中性的半導體就會變得帶點，p型半導體空穴移動出去、電子移動進來，所以帶負電；n型半導體空穴移動進來、電子移動出去，所以帶正電。這樣就產生了從n型指向p型半導體的內建電場，同時意味著n型半導體中電勢上升，p型半導體中電勢下降。這個電場才是阻礙載流子進一步移動的原因，而不是耗盡層。由於載流子無法再相對移動，中間過渡區域在兩種載流子中和的作用下，載流子濃度下降，成為耗盡層。載流子如果進入耗盡層，就會被消耗掉，於是耗盡層很難導電。
當p-n結反偏的時候，空穴會被拉向p型的方向，電子會被拉向n型的方向，但是它不能把耗盡層已經中和了的載流子再重新還原出來，也就沒法把電荷傳遞到另一側，所以在耗盡區變寬的同時，產生了一個類似於給電容充電的效果：耗盡區兩邊的載流子因為被拉離原本的位置產生的電場，抵消了外電場，形成了新的平衡，也就沒有辦法導電了。但是外電壓強到一定程度的時候，內建電場和外電場疊加之後足夠強，會強行從耗盡區的中性原子上拉出載流子，這就形成擊穿了。
當p-n結正偏的時候，外電場實際上是抵消了內建電場的阻礙載流子擴散的效果，於是載流子可以繼續擴散到原來的耗盡區，把耗盡區重新變成p型和n型，當外電場不能完全抵消內建電場的時候耗盡區仍然存在但慢慢變薄，直到最薄的時候，就是半導體導通（所以半導體有導通電壓），這時候載流子不斷向對面擴散，最後在p型和n型的交界處上不斷中和。雖然載流子中和掉了，但是因為從半導體兩端不斷有電流輸入和輸出電荷，也就不斷從半導體兩端重新製造出載流子，於是導電的過程可以持續下去。某些半導體p型和n型交接處載流子中和的過程會釋放出比較大的能量，能量以光子的形式發射出來，就形成發光二極體。提問者把幾個層面的概念混在一起講了。我們需要把概念分清，分別解釋。
1. 在宏觀層面，也就是肖克利方程組（泊松方程、電子和空穴連續性方程）的層面，我們不考慮單個的自由電子，只考慮載流子（電子、空穴）密度。「自由電子」是和「束縛電子」相對的概念，不應該用在這裡。在這個層面，我們把問題改寫成PN結正偏時，載流子是怎樣通過耗盡層的？耗盡層的載流子密度非常低，為什麼還能有電流？
已經有無數本半導體器件物理的教科書試圖解釋過這個問題了。教科書的說法，這裡不多重複。提問者的疑惑，可能來自於教科書中對二極體正偏電流的推導。很多教材中，直接引用下面公式，即P側的耗盡層邊界處電子密度 與正偏電壓 V 之間的關係：
耗盡區 N 側邊界的電子濃度約等於 N 側的摻雜濃度，P 側邊界的濃度為上面的。耗盡層中，電子濃度是連續變化的。說耗盡區里的載流子濃度低，是相對的。例如，下圖是TCAD模擬得到的二極體內電勢和載流子濃度的分布（左側N型，右側P型，耗盡層在-0.5到-0.2微米之間）。
那麼，為什麼教科書的推導從耗盡層邊界開始，而不討論耗盡層內部的電流呢？這是因為耗盡層里載流子濃度和電勢都劇烈變化；漂移和擴散電流都很大，但幾乎互相抵消，而我們關心兩者的差值。這些因素使得直接推導耗盡層內電流的解析表達式非常困難。
反過來，耗盡層外的中性區里，物理過程就簡單多了。具體來說，P中性區里，電場幾乎為零，少子（電子）的漂移電流可以忽略不計。肖克利在其1949年的經典論文中，通過一個物理上很直觀的近似，寫出了上面的（1） 式。由此，中性區少子濃度的分布可以輕易地解出，進而得到二極體正偏電流的簡單解析表達式。
題外話：個人認為，肖克利在此處的貢獻，在於提出（1）式的洞察力，而不是後半段的公式推導。肖克利在二極體和三極體理論的發展中，有幾處極具洞察力的天才貢獻。雖然第一個晶體管實驗成功時他並不在場，但肖克利在晶體管的發明中的貢獻，是毋庸置疑的。
小結一下：耗盡區里的載流子既有漂移也有擴散。正偏時，兩者不等形成凈電流。教科書選擇從耗盡層邊界開始推導結電流公式，是因為耗盡區內的情況太複雜，不便於推導。TCAD模擬直接解肖克利微分方程組，不需要做（1）式的近似，可以直接解算得到耗盡區內的情況。
思考：
a. 肖克利是如何直觀地解釋（1）式的？
b. （2）式中，把兩個中性區的少子擴散電流相加得到總電流。上面我們說可以忽略少子漂移電流。那麼多子的漂移和擴散電流呢？是被我們遺漏了么？2. 「耗盡層p區的空穴已經被填滿了」這句話有誤。提問者可能想表達的意思是，N區（和耗盡區）的價帶的能級被電子填滿了，而教科書說「填滿的價帶是不能導電的」，N區（和耗盡區）怎麼會有空穴電流呢？
很簡單，P區有很多空穴，也就是價帶有很多空位。耗盡區的價電子流到P區填補空位，於是在耗盡區的價帶騰出一些空位來。然後N區的價電子去填補耗盡區的空位，在N區的價帶騰出一些空位來。再然後，N區的導帶電子通過SRH複合等過程，落到價帶填補空位。這個過程形成了從P到N的空穴電流。
3. 在自由電子近似層面，回答「晶體中原子之間是不是還有很大的空間供電子通過？」[TODO]你可以這麼理解，當你跟女生宿舍只隔了一道帘子的時候，你就很容易被吸引過去了。
當時學習這部分的時候總結了一下，就是正偏導電是載流子擴散，反偏導電是載流子漂移
樓上幾位的答案非常詳細
但並沒有直接回答題主的問題：
「耗盡層空穴...被填滿了，自由電子...怎麼通過？」
固體物理上有一個論斷非常有誤導性
「滿帶不導電」
通常滿帶能級遠位於費米能級之下
滿帶電子躍遷產生空穴的勢壘很高
基本都被束縛在晶格上不參與導電
但如果在滿帶附近引入一個較低能級
使滿帶電子能以較低能量躍遷 產生空穴
那麼這個能帶就不再是滿帶 能夠導電
也就是說
孤立的滿帶不導電
系統內的滿帶可以導電
回到題主的問題
耗盡層內的價帶被電子填滿 是滿帶
耗盡層邊界處中性區內價帶內有大量空穴
耗盡層價帶內的電子躍遷到中性區價帶空穴上的勢壘
既兩能態高度之差
遠小於半導體帶寬
耗盡層滿帶也是可以導電的
擴散電流
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