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求證：存在無窮多個正整數n，使得n^2+1無平方因子。?

01-03

記 $mathcal{N}(x)$ 為 $nle x$ 且使 $n^2+1$ squarefree的 $n$ 的個數.

Theorem 1 (Estermann).

$mathcal{N}(x)=c_0 x+O(x^{2/3}log x)$
for $xge 2$ , where
$c_0=dfrac{1}{2}prod_{pequiv 1mod 4}(1-2p^{-2}).$

Theorem 2 (Heath-Brown).

$mathcal{N}(x)=c_0 x+O_varepsilon(x^{7/12+varepsilon})$
for any fixed $varepsilon>0$ .

具體可以參考Heath-Brown的Square-free values of n^2+1 (http://eprints.maths.ox.ac.uk/1618/1/sf.pdf).

另外抓個蟲, @Leader Victing的Eq. (1)是錯誤的:

$left(dfrac{-1}{p} ight)=1 Leftrightarrow pequiv 1mod 4$ .

今天放棄。

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9月3日，21：07，經指出有誤，試圖補救中。

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若有 $p^{2} |n^2+1$ ，

則-1為模P的平方剩餘，

則 $p=3k+2$ 。//①

對一個滿足題意的 $n^2+1$ ，取 $m=n^3$ ，則：

$m^2+1=n^6+1=(n^2+1)(n^4-n^2+1)$

易知 $(n^2+1,n^4-n^2+1)=(n^2+1,3)=1$ 。

由①，若存在 $p=3k+2$ 使 $p^{2} |m^2+1$ ，

由 $(p,n^2+1)=1$ ，則 $p^{2} |n^4-n^2+1$ 。

又：

$(n^2+1)^2equiv 3n^2(mod p)$

$(n^2-1)^2equiv -n^2(mod p)$

故-3是模P的平方剩餘。

由二次互反律， $(frac{3}{p} )(frac{p}{3} )=((frac{-3}{p} )(frac{-1}{p} ))(frac{p}{3} )=(-1)^{frac{(p-1)(3-1)}{4} }$

又有 $(frac{-3}{p})=1,(frac{-1}{p} )=(-1)^{frac{p-1}{2} }$ ，

故 $(frac{p}{3} )=1$ ，與①矛盾。

故， $m^2+1$ 滿足題意。

綜上，數列 $(2^{3^n})^2+1$ 即滿足題意。

這不是今年中國TST哪次考試第三題嘛....

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