幾何拓撲（geometric topology）這個數學分支，主要包含哪些內容？

01-03

我所知沒有明顯的界定，傳統上主要指流形的拓撲學（龐加萊猜想等）。此外還有哪些主要問題？與低維拓撲、微分拓撲的關係是怎樣的？

謝邀。貌似是沒有嚴格的界定。我沒有嚴肅地考究過geometric topology的具體範圍，只說一點我自己的理解。

傳統的代數拓撲考慮的對象往往是CW-complex甚至是一般的topological space，給出的往往是homotopy invariant。

而幾何拓撲的目標主要是研究流形的homeomorphism type和diffeomorphism type，特別是如何區分homotopy equivalent但並不是homeomorphic或是diffeomorphic的東西。

由於流形上可以有topology可以有differential structure可以有Riemannian metric等等豐富的結構，其用到的工具可以有很多，包括代數拓撲、微分拓撲、微分幾何等等。

在高維(&>=5)的幾何拓撲主要工具是characteristic classes, surgery, Morse theory等，主要成就有

Milnor"s exotic 7-sphere (用characteristic classes證明了存在一類7維流形homeomorphic but not diffeomorphic to S^7)
Smale"s proof of higher dimensional Poincare conjecture (用了h-cobordism theorem)。

Smale的工作讓大家把眼光集中在了低維流形的拓撲，特別是3和4。一般來講，低維拓撲包括但不限於對於surface, 3-manifold, 4-manifold, knot的研究，可以說低維拓撲是幾何拓撲的一部分。過去幾十年里低維拓撲最重要的幾個工作大概是

Perleman"s proof of Thurston"s Geometrization Conjecture (Poincare conjecture只是它的一個特例)
Freedman"s proof of 4-dim Poincare conjecture (沒讀過這個paper，但據說是用了個trick把h-cobordism推廣到了四維，代價是不能證diffeomorphic了)
Donaldson"s invariant of smooth 4-manifolds (Donaldson把gauge theory引入了低維拓撲，通過研究moduli space of self-dual connections，定義了四維流形的diffeomorphism invariant。這些工作基本上都可以被後來的Seiberg-Witten theory用更簡單的方法得到，但Donaldson的工作無疑是有開創性的。)

另，最近這些年很多symplectic topology和contact topology的結果也應用在了低維拓撲里。

低維拓撲剩下的問題里最大的大概就是4-dimensional smooth Poincare conjecture。對於四維differential structure的研究還是一團迷霧，沒有一個什麼綱領帶領大家去搞。三維Poincare conjecture能被證明實在是有Thurston天縱奇才地用一雙肉眼遍觀三維流形分類出了八種geometric structure，再經由幾何分析來證明。

但四維的情況實在是太奇怪，人們已經構造除了無數個4-manifold，他們homeomorphically長得像R^4，但diffeomorphically又各個不同也是醉了。

作為一個立志搞四維流形的人，這問題真是越說越傷感，就這麼著吧。

在預印本網站 http://arXiv.org，幾何拓撲的類別是 math.GT，但那裡沒有低維拓撲或微分拓撲的類別。屬於低維拓撲的論文常常應該放在幾何拓撲下面；可能屬於微分拓撲的論文，放在這個類別也不顯得違和，但添加幾個其它類別的交叉也許更好。由此不妨說，實際上在今天，低維拓撲可以看成幾何拓撲的子領域，而微分拓撲沒有獨特清晰的界限。

想了解過去幾何拓撲的研究範圍，可以先瀏覽《Handbook of Geometric Topology》（R. J. Daverman, R. B. Sher 主編）的目錄。這裡摘引一段書序：

[The book] offers perspectives on matters closely studied in times past, such as PL topology, infinite-dimensional topology, and group actions on manifolds, and it presents several chapters on matters of intense interest at the time it was assembled, near the beginning of a new millenium, such as geometric group theory and 3-manifolds (knot theory included) and their invariants. It includes current treatments of vital topics such as cohomological dimension theory, fixed point theory, homology manifolds, invariants of high-dimensional manifolds, mapping class groups, structures on manifolds and topological dynamics.

因為那本是 2001 年出版的書，當時往後有些活躍方向就沒有涵蓋。下面是近十來年 MSRI 的一些幾何拓撲相關的專題討論會，風向相當有代表性。頁面里有報告的題目列表，可以點開感受一下：

2003 Floer Homology for 3-Manifolds https://www.msri.org/workshops/265
2003 Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds https://www.msri.org/workshops/266
2008 Hot Topics: Contact Structures, Dynamics and the Seiberg-Witten Equations in Dimension 3, https://www.msri.org/workshops/461
2010 Research Workshop: Homology Theories of Knots and Links, https://www.msri.org/workshops/512
2013 Hot Topics: Surface Subgroups and Cube Complexes, https://www.msri.org/workshops/723
2015 Dynamics on Moduli Spaces, http://www.msri.org/workshops/743

在今天的幾何拓撲裡邊，能跟四維的光滑 Poincaré 猜想相提並論的矚目問題我也舉不出多的來。不過，更專門的方向都會有各自認同的比較重要的問題，了解的最好辦法是按話題去查閱綜述文章。如果關注半年 arXiv.math.GT 的更新，就可以大概知道哪些話題比較活躍。要泛覽有點兒歲數、有點兒趣味、有點兒小眾的問題，可以翻一翻 Rob Kirby 的問題集 Problems in Low-Dimensional Topology (380 pages) ，只是不曉得他近來更新過沒有。

謝謝邀請。

幾何拓撲是研究流形的，微分拓撲是研究微分流形的，低維拓撲是研究低維流形的。