如何迅速掌握拓撲學精髓？

01-03

二維拓撲，因為與現實世界有關，還挺好理解的。
到了高維度，完全理解不了！！
名詞都很難有個清晰的認識。
比如，黎奇曲率，凱勒流形，陳氏類。。。云云。。。。。
怎麼才能更好理解？

因為沒有具體的想像，感覺好抽象。

我覺得這是個非常好的問題，與樓上有些觀點不同，我認為數學中，至少幾何拓撲領域你掌握的標誌就是覺得這個概念不再是抽象的，而是非常具體的一個東西，學習的過程中要不斷思考當時人們提出這個概念的動機，為什麼要這樣定義，為什麼不能那樣定義？

這個問題很大，我可能可以慢慢寫一點自己的理解，現暫時搬來兩個關於直觀理解torsion tensor，Ricci curvature的鏈接：

differential geometry

其中有一些精彩的解釋，比如用圖形來解釋 Bianchi identity。

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小小更新一下：

我個人覺得一個比較好的理解方式是：無論是拓撲還是幾何，從離散的角度理解。下面先說一點代數拓撲的，關於幾何的以後再寫。

一般學習代數拓撲之前都會先學習點集拓撲作為基礎，一切從拓撲的定義入手。但是，在學習同調論的時候，我覺得可以暫時放下最基本的拓撲定義，一切從單純復形著手，當然有時候CW復形更方便一些，總而言之，就是講一個拓撲空間拆分成一個個小的簡單空間。例如，現只考慮可三角拆分的n維緊緻無邊界流形，問：怎麼樣構造一個流形？其實，我們只需要先拿一些n維的單純形，一下是維數從0到3的情況：

再將它們沿著邊界粘起來，要求：每個單純形的每個邊界都必須並且只能和另一個單純形的邊界相粘，也就是說，首先不能有一個邊界空出來不和任何其他邊界相粘，其次每個邊界只能與另一個邊界相粘，不能再多。這樣我們就得到了一個流形，比如球面：

以關於可三角剖分（經胡鞍鋼指出修正）流形分類的問題，就是關於有多少種這樣粘法的問題，這在高維是很複雜的問題。於是，我們就得到了一組關於邊界運算元的數據

運用這組數據，就可以計算同調和上同調了。注意：這組數據其實完全是關於組合代數的，跟幾何無關，所以代數拓撲最開始叫做combinatorial topology.

可以思考兩個問題：

1. 如何用上述方法粘出一個可定向流形？

2. 如何直觀的理解流形上的stokes公式。當我第一次看到這個公式時，頓覺得非常神奇和漂亮，因為它用一條簡介的公式就表示了多個低維情況的公式（牛頓萊布尼茲，格林等等）。但其實從單純復形的的角度上來看，這個公式的證明是trivial的，可以一眼看出！

2015.7.18更新，好像有點人看，更新一下：

上面所有僅僅是combinatorial的，下面開始引入幾何，注意，很多地方都可能不太嚴謹。

度規：這很簡單，就是賦予上面的每個復形的每個邊一個長度，當然要滿足三角形不等式。這樣我們不僅可以討論這個長度面積體積等等，還可以討論角度（餘弦公式）。

聯絡：這裡採用向量叢上的聯絡定義，實際上與一般的covariant derivative的定義是等價的。但是注意，在沒有微分結構的情形下，並沒有向量叢的概念。但是，還是可以構造一個類似帶有聯絡的向量叢概念，這麼做的原因是我們很容易在此基礎上定義曲率和陳類的概念。

首先，記這個復形上的所有點的集合為 $V$ ,在每一點粘一個 $mathbb{R}^n$ ,得到一個 $V imes mathbb{R}^n$ 可以看作是trivial bundle. 然後給出一個以 $mathrm{GL}(n)$ 為值的1-form，即一個從邊到 $mathrm{GL}(n)$ 的映射 $omega$ ,滿足 $omega(vec{ij})=(omega(vec{ji}))^{-1}$ . 幾何意義就是我們定義點與點之間平移向量，比如，定義在 $i$ 點的向量 $v$ 沿邊 $vec{ij}$ 平移後得到的向量為 $omega(vec{ij})v$ ,由此，我們可以比較各個不同點上的向量空間了。

曲率：注意到，在定義了這種平移後，當我們繞一個閉合的路徑轉一圈回來，並一直將一個向量沿此路經平移，最終得到的向量並不一定和最開始的向量相等，這就是定義曲率的motivation. 因此我們定義曲率為聯絡的外微分: $Omega=d omega$ 。可以看出曲率並沒有多給我們什麼信息，它只是相當於聯絡在每個2維定向單純復形（面）上的積分。粗略的說，曲率就是一個從定向面 $s$ 到 $mathrm{GL}(n)$ 的映射，表示一個向量 $v$ 沿 $s$ 的邊界平移一周後得到的向量是 $Omega(s)v$ .

最後，陳類：這裡只討論最簡單的情形，也就是曲面上的complex line bundle. 將上述所說的每個點上的 $mathbb{R}^n$ 改為 $mathbb{C}$ ,我們曲率就是一個從定向面到 $mathrm{U}(1)=mathrm{SO}(2)$ （可以用一個角度來表示）的映射。其實這個二形式 $Omega$ 就是所謂的第一陳類 $c_1$ . 這裡我們用曲率形式來定義示性類，其實是就是Chern-Weil理論的運用。取聯絡為Levi-Civita，將曲率其在整個曲面上積分，就得到了Gauss-Bonet定理，在高維情況下就是Gauss-Bonet-Chern定理。

可能說的比較亂，下次有機會再整理，參考請謹慎！

不要去想什麼迅速掌握之類的！

這種抽象的理論思考的越久，體會就越深，不存在迅速！

提高抽象思維的方法：花時間鑽研代數學，對學拓撲學很有幫助！代數和拓撲是深刻理解數學的最佳武器（個人認為）

問題問得不好。

做數學，首先要將一個概念的定義和自然的發展動機及相應的操作搞清楚，然後你去看最簡單的例子。直觀就有了。如果沒有，這個數學沒發展好，有工作可以做了。

數學本來就是抽象的。

如果沒有抽象思考的能力，請儘早放棄數學。或者去搞應用吧。

以下摘自《Introduction to smooth manifolds》J.M.Lee

Over the past few centuries,mathematicians have developed a wondrous collections of conceptual machines designed to enable us to peer ever more deeply into the invisible world of geometry in higher dimensions................ The price we pay for this power,however,is that the machines are built out of layers upon layer of abstract structure.

現代數學就是一層又一層的抽象，再偉大的想像力也不能將那些定義在重重抽象之上的數學概念與現實構建一些明確的聯繫。

你能想像 property class 裡面的元素有多少個嗎（額，不嚴格的表述）,顯然不能。

你能想像良序集中的良序是什麼樣的嗎？不能，或許我們根本構造不出這樣的良序。

你能想像不可測集是什麼樣的嗎？

形而上學，不行退學，就這樣

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上面的youtube可能因為需要翻牆的關係不是很能接觸到讀者，我來畫一個圖幫助大家比較直觀的理解/想像高維空間:)

嘲諷題主的裝逼犯們，我友善度不要了，送你們一句話: 給我從自以為的數學制高點滾下來。

直觀問題，多麼好的問題啊，數學本來就是從直觀慢慢發展來的。更不用說很多數學大師比如丘成桐一再強調直觀感知數學。

你們一上來就抽象是吧，敢問你們是不是幼兒園學的公理集合論，小學學的群論環論，都學完了才學的四則運算？否則你們有什麼資格嘲諷人家不「抽象」？

至於n維空間什麼樣？我只能說我不能直觀感知，是我自身的局限和才學淺薄，而不是嘲諷思考「能不能直觀感知n維空間的人」。

如果你在20世紀之前，肯定會嘲諷那些問「偽歐式空間直觀什麼樣」的人吧。怎麼可能有內積出負數的直觀。想這個問題的人是不是瘋了。

但這就是我們生活的4維時空啊。

拓撲。。。其實很簡單。跟著問題來回答。

問題1：地球時間怎麼表示的？

回答1：以格林尼治時間為例——理論上來說，格林尼治標準時間的正午是指當太陽橫穿格林尼治子午線時（也就是在格林尼治上空最高點時）的時間。

問題2：子午線在緯度上的點和極點上的點時間是一樣么？

回答2：並不一樣，空間位置不同產生相對時間差。

有著相對時間差的不同點，由同一個地球時間所表示。

聽起來好像怪怪的是吧，但現實就是這樣的。

把不同時間的表示投射到同一個時間表示中，這就是拓撲。