正則動量與動量算符等價嗎？布洛赫波波矢 k 的意義是什麼？

01-03

先是看到一個關於有效質量的提問，我就簡單看了一下書，看到布洛赫波的形式，發現一些疑問。
1.將布洛赫函數（e^{ikr} u_k(r)）波包看做准粒子後，推得群速度的表達式。然後代入功能原理，得到d（hk）/dt = F，則稱hk為準動量。所以布洛赫函數中的k沒有物理意義而只是參數么？
2.德布羅意關係，p=hk只是針對平面波的k才是有效的嗎？

3. 接著想到，電子在磁場中運動，正則動量並不是機械動量。那麼如果動量算符作用在磁場運動電子的能量本徵態上，得到的是機械動量的平均值嗎？

補充幾點:

$mathbf{k}$ 的實際上是空間離散平移對稱性的結果, 可以參考我在這個問題中答案: 怎樣理解布洛赫電子？用群論的話說, Bloch 函數是晶體平移對稱群不可約表示的基, 不同的 $mathbf{k}$ 標記不同的不可約表示, 相位因子 $e^{i mathbf k cdot mathbf r}$ 是不可約表示的特徵標. 這已經足夠說明 $mathbf{k}$ 的物理意義了.

進一步回答題主的問題: 機械動量不是Bloch波的好量子數. 因為(在不存在磁場的情況下)機械動量的量子數是標記的是連續平移對稱群的不可約表示.

正則動量和機械動量並不總是等價. 所謂正則動量是對哈密頓量做正則量子化時出現的動量, 它與坐標滿足正則對易關係. 所謂機械動量, 可以簡單地定義成 $Piequiv mfrac{mathrm{d}m{x}}{mathrm{d}t}$ . 在不存在磁場時, 正則動量恰好就是機械動量. 等價與否取決於哈密頓量的形式. 在存在磁場的情況下, $p=ihbar abla$ 是正則動量, $left(p-frac{e}{c}A ight)$ 是機械動量. 此時的機械動量已經不滿足正則對易關係.

最後提一句, 有關機械動量和正則動量還有一個很有意思的爭論: Abraham–Minkowski controversy. 有興趣可以自行了解.

(另外梯度算符是
abla不是downtriangle....)

1.布洛赫波矢的物理意義。第一，布洛赫波矢為 $mathbf{k}$ 的電子波函數，由所有動量為 $mathbf{k}+mathbf{G}$ 形式的動量本徵態疊加而成，其中 $mathbf{G}$ 是倒格矢。另一方面，布洛赫定理告訴我們，這樣的波函數在空間平移操作下滿足 $psi_mathbf{k}(mathbf{x+a})=e^{imathbf{kcdot a}}psi_mathbf{k}(mathbf{x})$ 。

2.針對倒格矢也是一樣，理由從1中可以看出： $mathbf{k}$ 儘管不是動量，但確實是一系列動量的代表。

3.你指的是用機械動量還是正則動量作用？考慮一個磁場中運動、不受其它外力的粒子，在經典意義下它的正則動量守恆，在量子意義下正則動量是好量子數（與哈密頓量對易，因此在給定能量下可以有確定的正則動量）。另一方面，對同一個粒子而言，在經典意義下它的機械動量不守恆，量子意義下機械動量不是好量子數。

謝邀。大家都回答了，Bloch vector跟晶體結構有關，跟電子的動量沒有直接關係。

至於正則動量和機械動量的關係，大家亦可從旋轉系統得到，當中把 $e mathbf{A}$ 轉換成 $m mathbf{omega} imes mathbf{r}$ 即可。

（太久沒碰，只在功課做過，只寫上大概印象，以免誤人子弟）