力學量和量子態的關係是什麼？

01-03

以及，如何理解Schr?dinger picture和Heisenberg picture根本上的不同？

1. 力學量是量子態的一個屬性。比如一個粒子，以一定速度運動，在某時刻處在某個位置是它的量子態，而位置，動量則是它的力學量。

2. （等大神來答）我的理解是，Schr?dinger picture和Heisenberg picture根本上沒有不同。只是數學上處理的區別。原因是在我看來，量子力學目前無法被真正理解，我們得到的薛定諤方程和其他一切對量子力學的描述都是對量子世界規律的總結，因此只要數學上自洽，而且能夠得到正確地結果，都是可以的。而在實際的物理操作中，我們常常對&感興趣，|n&>是某個態，X是某個力學量. 因此|n&>改變和U改變都可以給我們相同的結果。

下面是廢話，我相信題主提問的時候應該是知道的，以防萬一寫上：

Schr?dinger picture 裡面：力學量是固定不變的。但是系統的量子態在變換下變換。比如平移算符將某個粒子從一個位置移到另一個位置，現在要測位置在哪裡，我把尺子固定不變，然後這個粒子在尺子上的對應位置的示數卻變了。

Heisenberg picture：力學量在變換下跟著變換，但是系統的量子態不變。平移算符移動的是尺子，粒子還是待在它的位置，但是對應於尺子上的示數也變了。

其實還有Dirac picture，力學量與本徵態同時變換。

所以其實兩者的差別就是你把哪部分看成整體了

問：問題是不是被更改了？好吧，讓我補上力學量和量子態的關係。

量子態指一個系統的態，他包含所有它將被量度的信息。力學量是一個在數學上是一個算符（如果態是一個列矩陣，力學量便是一個方矩陣），它的物理意義在於其特徵態（eigenstate，或特徵向量（eigenvector））便是其可塌陷其中的態，對應的特徵值（eigenvalue）便是其可量度而得的值。如果你把量子態寫成該力學量各特徵態的綫性組合，你便可知道你觀察該力學量可得各特徵值的機率。

Schrodinger picture和Heisenberg picture在物理上其實沒有什麽不同，不同在於數學的表達上。

在Schrodinger picture中，物理量算符不會隨著時間改變，但系統的態會隨時間改變。我們會用Schrodinger』s equation去描述態隨著時間的變化： $H |psi angle = i hbar frac{partial}{partial t} |psi angle$ ，用 $langle psi(t) | A | psi(t) angle$ 便可求物理量（期望值）隨時間之變化。

在Heisenberg picture中，變化的是物理量算符，態則保持不變。我們會用Heisenberg』s equation去描述物理量算符隨時間的變化： $frac{dA}{dt}=frac{1}{i hbar} [H, A]$ ，用 $langle psi | A(t) | psi angle$ 便可求物理量（期望值）隨時間之變化。

但最廣泛使用的是interaction picture，算符和態都隨時間變化，這picture常用於微擾理論和量子場論（量子場論所用的幾乎都是interaction picture）。如果微擾為0，則interaction picture簡約為Heisenberg picture。很多微擾問題中，非微擾系統通常都有已知解，interaction picture把問題集中力放在那微擾量中。

力學量與量子態有一個有意思的mapping，叫state-operator mapping。

2d情形下具體是這樣的：

在量子力學的數學語言里，可觀測量observable叫local operator，這裡面的local是量子場論中的locality（當然有non-local qft，我不懂，就不能說了）。考慮一個local operator叫能動量張量，廣義相對論語言裡面愛因斯坦方程右邊，量子場論語言里是translation的noether charge，是可觀測的。

當我們考慮在複數域（實二維）的時候，我們對能動量張量進行mode expansion得到virasoro operator，這個可以直接作用在量子態psi上得到一個新的量子態滿足translation的性質。於是，psi對應的某個local operator與能動量可以做operator product expansion（ope）。

因為能動量張量與某個local primary operator的ope我們是顯然知道的，於是我們就能得到最初系統的能動量張量的性質，也就是virasoro operator的性質。virasoro operator對應的是string physical state，我們於是就把力學量與量子態通過ope聯繫起來了！

所以，在2d的情形下，我們可以不知道拉格朗日量就構造理論，這個是打破常規的做法，僅限2d共形場論。

這個state operator correspondence在string perturbation theory里很有用。

其實，我在這個問題之下，我想引申一個問題：什麼是一個實在存在的問題。

實在存在於這個宇宙中的，是我們的觀測量Observables，不是力學量算符Operators，也不是波函數Wave functions。

所以用數學的公式來表達，我們所關心的只有 $<psi|hat O|psi>$ .

之于波函數 $|psi>$ ,算符 $hat O$ , 不過就是人為了研究這些問題提出的一個工具罷了。

在Schrodinger Picture下，認為波函數滿足Schrodinger Equation演化，我們可以得到觀測量。

在Heisenberg Picture下，算符滿足Heisenberg Equation演化，我們也可以得到觀測量。

更重要的是，我們在兩種picture下得到的觀測量是一樣的~（其實還有一個叫做interaction Picture，得到的也是一樣的結果）

在這樣的觀念下，我們並不需要執著於力學量算符和波函數這種只存在於人腦中的人類智慧；我們關心的只是觀測量是如何。

這裡觀測量，定義為多次測量之後的平均量。

如果這樣，甚至多次測量的漲落，都比那些波函數更為實在。

打個簡單比方，力學量就是一把尺子，量子態就是人的身體，用尺子去量身體得到一個數：身高。要得到有意義的數學描述，須二者結合。尺子可以量無數人的身體，而一個身體也可以被不同尺子量，但是每次測量都會得到一個結果。

至於Schr?dinger picture和Heisenberg picture，無非一個就是你跑到尺子哪裡量，一個是拿尺子來量你，結果不會有什麼不同。

不妨回憶一下哈密頓力學，有一些共通之處。