從所有有理數中隨機抽取一個，抽中是整數的概率是多少？為什麼呢？

01-03

【更新注目：1) 修正了「可列樣本空間不存在概率」這個重大錯誤；2) 補充了關於概率極限行為的研究】

這個問題缺少定義，因為在可列集中沒有「這種概率」。

概率是一種測度。如 @甘辛 @吳昊所答，概率測度 ( http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87 ) 必須滿足非負性、規範性和可列可加性 / 完全可加性 ( http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%8A%A0%E6%80%A7 )，但是對於有理數集這種可列樣本空間，好像不存在既滿足這三個性質，又使得每個樣本點的概率相等的「均勻」測度 (這種每個樣本點被賦予相等概率的情況，稱為「隨機樣本」)，所以在有理數集中沒有這樣的概率問題。要想定義概率，就只能讓每個有理數被抽中的概率不盡相等，這樣就違悖了問題「隨機抽樣」的本意。

以上三種性質為什麼必須滿足？簡單解釋一下三種性質的含義你就知道了：

1. 非負性：任何一個事件的概率，不管是多少，總不能是負數吧？

2. 規範性：樣本點的總體，也就是樣本空間，作為必然事件，其概率為 1，這很合理吧？

3. 可列可加性 / 完全可加性：把一列互不相交的事件的概率加起來，應該等於這列事件合起來的大事件的概率吧？

據我所知，目前只有建立在非標準分析之基礎上的非標準概率論能夠直接討論這種特殊的概率問題。非標準分析引入了一個超實數——無窮大 Ω (這在標準的數學分析里並不是一個實數)，以及另一個超實數 1/Ω，稱為無窮小 (同樣原本不是一個實數，http://www.zhihu.com/question/20454375/answer/15174882)。無窮大和無窮小都不止一個。在這個體系中，本問題的答案是一個無窮小 (≥ 1/Ω)。

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這個問題的樣本空間不是有限集合，所以不是古典概型問題，不能用整數和有理數的數量來作比較。

這個問題的樣本空間不包含開子集，所以不是幾何概型問題，不能用整數集和有理數集在實數集上的長度測度 (都是 0) 來作比較。

怎麼辦？就此罷休？你肯定不甘心。為了理解這種問題中的「概率」，可以轉而研究概率的極限行為。比如本問題可以這樣研究：考慮有理數集的子集列 Q_n := {分子和分母都不大於 n 的分數}，n∈N，即

這個集列是上升的 (即後面的包含前面的)，並且收斂到有理數集 Q。

雖然在 Q 上不存在「均勻」的概率測度，但是在每一個 Q_n 上都存在，而且是古典概型，所以可以定義「在樣本空間 Q_n 中抽到整數」的概率。記這個概率為 p(n)，然後研究，隨著選取範圍的擴大，即當 n 越來越大，p(n) 有怎樣的極限行為。

實際上，在 Q_n 中恰有 2n+1 個整數，而 Q_n 的樣本點總數 |Q_n| 不少於 (4n+1) + 4n×1/2 + 4n×2/3 + 4n×4/5 + ··· + 4n×(s-1)/s 。其中 n ≥ s，s 為素數，以 1 為分子或分母的數為 4n+1 個，以 s 為分子或分母的既約分數不少於 4n×(s-1)/s 個。將上式縮小，即

|Q_n|

＞ 4n + 4n×1/2 + 4n×2/3 + 4n×4/5 + ··· + 4n×(s-1)/s

＞ 4n + 4n×1/2 + 4n×1/2 + 4n×1/2 + ··· + 4n×1/2

＝ 4n + 2nπ(n)

＞ 4π(n) + 2nπ(n)

＝ (2n+4) · π(n)，

對任意 n ≥ s ≥ 2。其中 π(n) 為數論函數，表示不大於 n 的素數個數。所以

由於素數是無窮多的，所以對上式兩端取極限就得到

也就是說，隨著選取範圍的擴大，抽中整數的概率趨近於 0 ——但是這句話僅對集列 {Q_n} 有效，因為從不同的方向擴大選取範圍時，得到的概率極限行為是不同的。由於整數與有理數皆可列，所以對於任意不大於 1 的正有理數 a，都可構造出一個收斂到 Q 的上升集列，使得相應的選中整數的概率 p(n) → a，當 n→∞。甚至不排除這種可能：存在收斂到 Q 的上升集列 {A_n}，相應的 {p(n)} 是發散數列。

你要重新定義概率……

有理數包括整數和分數，而整數和分數都是無窮多的，即你任取一個整數，我都能取一個分數與之對應，算概率的話分子分母都為無窮大，我不知道那些認為絕對為0的是怎麼算的，請給出證明過程。

我知道有些人的思路是幾何概率來處理無限等可能概型，即如果某個有界區間【a,b】上等可能投點，那麼該點落在其任何一個子區間【c,d】的概率為d-c/b-a，但是在此問題中一不是有界區間，二整數和有理數區間也不連續，所以應該無法運用。

再看概率的定義：設Ω為隨機試驗E的樣本空間，如果對於任意事件A包含於Ω，都有一個實數P(A)與之對應，且滿足非負性（P(A)&>=0)，歸一性(P(Ω）=1），可加性（互不相容則可加），則P（A）為事件A的概率。

所以我認為這個P(A)在此例中難以找到，此概率不存在。

我對高等數學理解很膚淺，如果我錯了，希望得到詳細點的說明。

以上為拋磚引玉。

就這道題來講，這個概率是無法給出的，因為無法構造概率空間。問題的解答需要用到高等概率論的知識。

首先考慮 $[0,1)$ 上的全體有理數能否構成一個概率空間，注意這裡「事件「對應「有理數」

$Omega$ = $[0,1)$ 上的全體事件（有理數）構成的集合

$mathfrak{F}$ = $[0,1)$ 上任意個不同的事件（有理數）構成的集合

$omega$ =任意抽取一個有理數恰好為 $omega$ 的事件

現在你無法定義概率測度P，使得 $+_{i}{omega_i}=[0,1)cap mathbb{Q}$ ， $sum_i ext{P}(omega_i) =1$ ，

且對於任意的 $omega_i, omega_j$ ，都有 $ext{P}(omega_i)= ext{P}(omega_j)$ 。

因為事件 $omega_i$ 有無窮多個。 $ext{P}(omega_i)=0 , or ,varepsilon$ 都會造成矛盾。

我們假設某種"測度"滿足平移不變性，我們發現有理數集可以寫成整數集的無窮多陪集的不交並，所以整數集的測度是0。當然這並沒有什麼卵用

嚴格為0.

========更正==============

當時看到的時候第一眼以為是在數軸上取數的問題，因為整數和實數的勢不同，所以認為是嚴格為0。看到您的這條回復限定為有理數後，一下子不敢斷言了orz，因為有理數和整數的勢是一樣的……請容我三思。

但我依然認為這個問題的答案還是嚴格為0，靠的是不太靠譜的直覺吧……

半夜睡不著用手機答一下。

這個想要好好回答，因為初學概率論的時候我問過老師這樣一個問題，在一個圓裡面隨機取點，取到每個點的概率是肯定0，但是點在圓內的概率是1，為什麼？老師答不可列個0加起來是1。

看到這個問題我就想起來了這回事，天啊，老師你交了我什麼啊？這明顯錯誤不符合定義的問題你居然給我扯一個錯誤的回答。

對這題的回答：

從概率的公理化定義出發，假設存在這樣的概率函數，且取每個有理數的概率一樣大。那麼由可列可加性可以得到兩者是矛盾的。所以不存在這樣的概率函數。自然也沒有概率一說了。

那這問題在此種定義下無解。

如果我把問題簡化一下，從整數里取出偶數的概率是多少呢？肯定很多人會說是1/2吧，但問題是這種情況下對每個事件的概率也是無法定義的，自然也得不出結果。但直覺告訴我們好像1/2是個合理的答案，那有沒有新的定義來把我們的直覺變成邏輯推理的過程呢？我覺得這值得討論一下。

點概率不存在，但是概率測度是定義在集合上的啊，也就是這裡的區間，這是well-defined的問題

這個跟實變函數有關

整數的勢=有理數的勢，即他們可以建立一一對應的關係，舉個例子，正整數和正偶數的個數一樣多，有限關係並不能推廣到無限關係

所以就看你怎麼定義這個概率了

應該趨於零而非零。簡答：可以證明1.在(0，1]上的有理數與[0,+∞)上的有理數一樣多；2.在(0,1]上有無窮多有理，而只有1個整數。3.在每個相鄰的整數即(n，n+1](n∈Z)上有理數分布相同。所以P=1/+∞→0

樸素的想法，非常樸素：

1。整數與有理數等勢，而且Q與Q等勢，因此Q與Z與Q等勢

2。在Q中抽到的數字不是Z就是Q，因此P(Q)=P(Q)+P(Z)

3。由於等勢因此P(Q)=P(Z)於是1=2P(Z) -&> P(Z) = 1/2

此處略證：Q與Q、Z等勢以及3中的概率關係，僅僅是直覺。

這些點不能構成「長度」吧。。

定義正整數R，集合A={小於等於R的正整數}，則個數為R，集合B={x|x=k1/k2,k1，k2為小於等於R的正整數}則集合B個數為R^2,並集A+B的個數不小於R^2,不大於R+R^2.那麼在A+B中隨機抽出一個元素，其元素屬於A的概率，不小於1/R,不大於1/R+1。當R趨於∞，集合A和集合A+B即符合題目所要求的集合。當R趨於∞時，以上兩個結果都是趨於無窮小，極限值為0.所以抽中的概率為無窮小，極限值=0.極限值為0，不代表抽不中，可以抽中，抽中概率為無窮小，極限才是0。（這裡涉及極限值的理解）

以上的構造是基於題目中「所有有理數」，得出的A+B才是符合的，當你題目改成「所有小於100的有理數」，集合A+B不符合題意。但是結果仍為無窮小。可用幾何方法理解，在實數軸中，在小於100中，整數個數是可數的100個點。而所求有理數集合為線段（0，100],線段是由無窮個點組成的，概率為100/∞，仍為無窮小，不為0，只有出現極限值才是0。

看你所定義的數字精度了,如果精度為0.1

0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0 這十個數中1.0的概率為10%

如果精度為0.01,概率就為1%

以此類推,如果所有的無限小數都算進去,抽中整數的概率無限接近於0,即 10^(-∞)