點集拓撲為什麼要這樣定義？具有幾何意義嗎？

01-02

萌新剛剛學習了點集拓撲的定義，有以下兩點疑惑:
1.點集拓撲定義的2.3條在我看來是顯然的，完全可以用集合知識導出呀，為什麼要特地寫上呢？
2.拓撲應該也屬廣義上的幾何，可這個定義的幾何意義何在呢？
望有大佬能解答一下

謝邀。

1。「導出定義」在我看來是個莫名其妙的說法，定義就是定義，不是定理，不存在什麼被「證明」「導出」。你很有可能還沒理解拓撲的公理化定義在講一件什麼事情。它是選取了拓撲空間X的一族特殊的、滿足特定性質的子集作為開集，不是把所有的子集都定義成開集。至於為什麼要滿足那幾條性質，主要還是對一些具體的拓撲空間的開集族所滿足的性質的抽象。你先去看看歐氏空間中的開集閉集長啥樣，驗證一下它們確實滿足開集閉集所需要滿足的那幾條性質（交並的封閉性質）。如果你不知道歐氏空間中的開集閉集長啥樣，你應該先去學數分，而不是直接看拓撲。

2。拓撲和幾何還是有區別的。不過對題主這個層次的學生也很難解釋清楚區別在哪。幾何主要是有rigidity，有剛性，度量幾何有度量、長度，微分幾何有曲率限制，辛幾何有non-squeezing theorem，等等，這些都是幾何的剛性的體現。拓撲則是很軟的東西，俗稱「橡皮泥幾何學」，可以任意揉捏，只要不撕裂不粘貼。它裡面沒有長度沒有大小，沒有任何標尺，它只關心形狀，只關心「有幾個洞」，只關心各種拓撲不變數；所以它和幾何側重的地方還是不一樣的。

完全可以用集合知識導出？題主你真的看明白了那三條定義說的是什麼意思了么？

所謂一個拓撲，說的是在一個集合上給出了一個指定方式，來指定哪些子集叫做『開集』。這個指定方式是完全人為的。同樣的一個集合，完全可以在上面定義不同的拓撲，使得一個拓撲下的開集在另外一個拓撲下不是開集。就比如在實數軸R上有最自然的把開區間叫做開集所導出的拓撲，R上還可以定義另外一種拓撲，離散拓撲，也就是把R上的所有單點集叫做開集所導出的拓撲，這兩個拓撲下的開集很明顯是不一樣的。而且在實數軸R上還可以定義更加稀奇古怪的拓撲。

所以題主你為什麼會覺得這些完全不一樣的指定方式可以用集合知識導出？我甚至都無法理解你到底想錯到了什麼地方去了。所以只能建議你再去看看書上的定義和例子。又或者像 @Yuhang Liu 說的那樣，『先去看看歐氏空間中的開集閉集長啥樣』。

關於拓撲和幾何的關係。簡單來說所有的幾何學的研究對象都是拓撲空間，只不過不同的幾何會在上面添加不一樣的條件，使得它所研究的拓撲空間帶上某個附加的結構。比如微分拓撲相當於是在研究一種叫做『流形』的特殊的拓撲空間。微分幾何則可以看做是在微分拓撲的基礎上加上叫做切叢和餘切叢的結構，黎曼幾何則是在微分幾何上加了一個黎曼度量，從而可以考慮『距離』和『彎曲程度』等問題。

一般來說，附加的結構和要求越多，所研究的對象就越具體，研究的方法和結果就越多。

你應該先有點分析的底子。

知道R^n和連續函數空間中的收斂。

收斂一般用距離刻畫遠近，而拓撲則給沒有明顯的數值距離的情況下定義了開集，從而可以定義收斂。

原答案最後的彩蛋圖片因為網路原因沒有發成功，現已「亡羊補牢」。

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原答案

回答中有大V已經講得很清楚了，我來補充一點自己的看法，後面有彩蛋。

這種東西慢慢學就知道了。

到後來你會發現拓撲的定義都比較抽象，然而如果能真正理解，那麼就非常形象。如聯通性（connectedness），緊緻性（compactness），第「若干」可數空間，商空間（quotient space），同倫（homotopy）等等。

舉個栗子，商空間。因為沒有學集合論，我第一次接觸這個的時候很摸不著頭腦。心裡活動是如此的。

「等價關係？哦，不就是自反性、對稱性、傳遞性嘛，這個簡單。」（當時心裡就只想到等價關係的定義，沒有注意在集合里的應用）

「等價類？呃，等價關係延伸出來的集合的「分割」吧…」

「一個映射把x映射到它的等價類？那又如何？」

「啊，商集加上如此定義（thus defined）的拓撲（topology）……再就是商空間…」

「個鬼的，什麼鬼，這樣的一個空間又如何？」

後來就昏了。

註：本人是在英文教材上第一次接觸商空間，有一句的話沒有翻譯清楚，就是那個thus defined，實在詞窮，望大家自行腦補。

後來就發現如此的定義最直接的用途就是粘合，什麼莫比烏斯環，克萊因瓶，都可以如此描述。本來如此抽象的概念，經過學習與結合實際理解，就變得如此清晰。

話說回來，第一次接觸向量，我們又有誰不是困惑不已，不清楚它到底搞什麼，不清楚為毛向量能平移，為毛向量加法滿足平行四邊形法則（忽略物理裡面矢量的合成知識的話）…然而學這麼久，都肯定理解了向量的實際意義與廣泛應用。這不是有誰來告訴我們的，而是我們在應用中自己發覺的。

說白了，書讀百遍，其義自現，對數學亦如此。

彩蛋，來自某拓撲學外文書籍。

2和3不顯然，注意拓撲宇宙是冪集的子集而不是冪集本身。

關於拓撲，我的想法是它把人類最原始對幾何的認知進行了描述。平面立體幾何都好，無非是在一個大的宇宙下(二維，三維歐式空間)，由開集，或者開集的並，交等等構成的對象，而我們關注一個幾何對象，直觀的無非是關注的那個開集及其邊界，三角形，正方形等等，不過是一個緊集，或者說一個開集連同其邊界罷了。

數學要描述一個對象，首先要說明的便是他是個集合，不然一切無從談起。

學渣之言求輕噴

1.定義是無法導出的

2.拓撲在幾何中有應用，但不代表是幾何的，比如函數空間就可以定義拓撲結構，但是毫無幾何意義。

3.拓撲的集族定義了每個點的鄰域，也就是告訴你每個點附近有些什麼東西，這樣你才能建立極限的概念。

4.拓撲定義的2.3條是說並非冪集的所有子集都是拓撲，需要滿足三條性質的冪集子集才是拓撲，這種定義方式和向量空間比較像，要求拓撲內部的集合對於交和並這兩個二元運算具有封閉性。（當然，冪集本身肯定是一個拓撲）

5.可以先看一點度量空間再看一般的拓撲，這樣比較直觀。

你看一下有一本蘇聯的書叫漫談拓撲學

裡面有拓撲的幾何抽象過程一開始是用公理來描述一個點和一個集合如何是「粘在一起」的關係然後這個原始公理等價於閉包公理又等價與開集公理

拓撲的定義是數分裡面Rn空間開集的推廣把所有和坐標距離相關的屬性去掉以後的定義 Rn空間中的開球對應於拓撲裡面拓撲基的概念

拓撲現在的定義是十分牛逼的多一分嫌多少一分又不行

你覺得他定義冗餘那說明你數學基礎太差了 Rn空間中的數學都還沒學牢固就學拓撲。。

建議多補點基礎再說這樣你自然就理解了

「點集拓撲定義的2.3條在我看來是顯然的，完全可以用集合知識導出呀，為什麼要特地寫上呢」

舉個例子。證明 $au:={emptyset,{a},{b},{a,b,c}}$ 不是 $X={a,b,c}$ 上的一個拓撲。（如果把「2.3條」（我假設你指的是關於「交」和「並」的那兩條公理）去掉， $au$ 就是 $X$ 上的一個「拓撲」。）

「點集拓撲為什麼要這樣定義？」

可以看看MathOverflow上的一個問題：Why is a topology made up of amp;#x27;openamp;#x27; sets?

Tao給了一個回答：

The textbook presentation of a topology as a collection of open sets is primarily an artefact of the preference for minimalism in the standard foundations of the basic structures of mathematics. This minimalism is a good thing when it comes to analysing or creating such structures, but gets in the way of motivating the foundational definitions of such structures, and can also cause conceptual difficulties when trying to generalise these structures.
An analogy is with Riemannian geometry. The standard, minimalist definition of a Riemannian manifold is a manifold M together with a symmetric positive definite bilinear form g - the metric tensor. There are of course many other important foundational concepts in Riemannian geometry, such as length, angle, volume, distance, isometries, the Levi-Civita connection, and curvature - but it just so happens that they can all be described in terms of the metric tensor g, so we omit the other concepts from the standard minimalist definition, viewing them as derived concepts instead. But from a conceptual point of view, it may be better to think of a Riemannian manifold as being an entire package of a half-dozen closely inter-related geometric structures, with the metric tensor merely being a canonical generating element of the package.
Similarly, a topology is really a package of several different structures: the notion of openness, the notion of closedness, the notion of neighbourhoods, the notion of convergence, the notion of continuity, the notion of a homeomorphism, the notion of a homotopy, and so forth. They are all important, and it is somewhat artificial to try to designate one of them as being more "fundamental" than the other. But the notion of openness happens to generate all the other notions, and has a particularly elegant and simple axiomatisation, so we have elected to make it the basis for the standard minimalist definition of a topology. But it is important to realise that this is by no means the only way to define a topology, and adopting a more package-oriented point of view can be preferable in some cases (for instance, when generalising the notion of a topology to more abstract structures, such as topoi, in which open sets no longer are the most convenient foundation to begin with).

你認為的顯然只是你覺得顯然，其實並沒有那麼顯然……

三元素集上可以有很多子集族，如上圖所示的子集族可以定義為X上的拓撲。但不是每個都滿足定義的，例如下圖的兩個

另外，點拓和幾何的關係其實不是很相近，點拓和分析掛鉤比較多。代拓和幾何更相近點

對於公里化定義我強調，先接收後在練習中消化。拓撲的意思無非是要告訴你，一個一般的集合中誰和誰是靠的近