從素數無窮性證明衍生出的方法能否找出所有素數？

已知k個素數，由小到大排列: p1, p2, p3, ... , pk

構造數(p1*p2*p3*...*pk-1*pk) +1

如果是素數則加入數列成為pk+1

如果不是素數則分解，將未知素數加入數列，並排序

重複該過程

問題一: 通過這一過程能否覆蓋到所有小於pk的素數

問題二: 通過這一過程能否覆蓋到所有的素數

表述很不嚴謹，歡迎改正。

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描述可能會引起歧義，舉個例子吧

已知素數2, 3, 7

2*3*7+1=43

數列變為2, 3, 7, 43

2*3*7*43+1=1807=13*139

數列變為2,3,7,13,139

2*3*7*13*139+1=5*43*353

數列變為2,3,5,7,13,43,139,353

...

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考慮序列

於是有

這個序列被稱為Sylvester"s Sequence (OEIS: A000058)，可以看出，如果每次得到的新一項是square-free的（也就是說，其質因數分解中沒有質因數的次數大於等於2），那麼題主所構造的數列恰好就是Sylvester"s Sequence；

目前所有已經計算出質因數分解的Sylvester"s Sequence的項都是square-free的，然而是否所有的項都是square-free的仍是一個未解決的猜想（參見：Sylvester"s sequence）

在該猜想成立的前提下，Odoni(1985)"On the Prime Divisors of the Sequence Wn+1 = 1 + W1…Wn" 討論了Sylvester"s Sequence各項的質因數，並證明能夠整除其中至少一項的質數滿足 （以及p=2,3），且在1~150範圍內只有2, 3, 7, 13, 43, 73, 139。更完整的序列參見OEIS: A007996.

Odoni進一步估計了這類特定質數的密度：記所有這類質數構成集合 ，則隨著x趨於無窮：

論文鏈接：On the Prime Divisors of the Sequence Wn+1 = 1 + W1…Wn

另一方面我們知道所有質數的密度估計為：

所以這類特定質數佔全體質數的比例漸進地為 ，換言之，幾乎所有質數都無法通過這個方法找出。

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1, 不能。例如：2, p1=3, 則p2=2*3+1=7，漏掉了5.

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……不懂 謝邀

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這個好像在《數論中未解決的難題》里記著。

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答案應該是不能，但是我不會證...

假設當前所有已知素數的積為S，則S+1的素因子必定都是新的素數，所以一次操作之後所有已知素數的積變為S(S+1)。於是問題轉化為:給定一個初始的積S，經過若干次S變為S(S+1)的操作之後，是否能成為某個素數p的倍數。若能，則p會被覆蓋。

假如一開始只有一個2，那麼膜5的情況下就是2，1，2的循環，所以永遠不可能覆蓋5。但是如果初始的素數集合任意選取，就比較困難了。

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orz錯了，沒考慮素因子多於一次的情形

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可以！

但是這只是個猜想，貌似還沒有有效的證明。。。

題主，數學發展的重任就交給你了！

順帶一提，這題貌似和abc猜想有關

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