為1L水設計一個什麼形狀的杯子可使得靜置時水與杯子接觸面積最小（不考慮材料分子大小，靜置水面是平面）？

01-02

能否也給出大概的證明思路

想像我們把杯子里的水，以及它相對於水面的鏡像當做一個整體。於是就是兩升的水，想辦法使表面積最小。答案顯然是球體，所以原問題的答案是半球。

如果你想問為什麼第一個問題的答案是球體，請搜索等周不等式，isoperimetric inequality

思維不要這麼受限嘛。這個問題其實有很多回答的思路：

1. 在歐幾里得幾何中，可以很容易看出答案是剛好容納這些水的半球狀敞口容器，所以面積是整個球體表面積的一半。

2. 在黎曼幾何中，答案是零。因為我們可以構造出合適的度規，使得特定三維體積的集合擁有趨於零的邊界。這一點可以類比於在二維球體上圍著北極點畫圓圈地，當我們畫出的圓趨於南極點時，雖然邊界長度趨於零，但卻可以圈住不為零的面積。

3. 在牛頓力學中，我們可以將水凍成一個完美的球狀剛體，於是任何曲率半徑大於它的容器都可以用，接觸面積也是零。

4. 在宇宙學中，我們可以將水放在自由空間中，使得這些水在自身引力的作用下形成一個球體，此時任何尺寸足以圈住但不接觸這個球體的容器都可以用，接觸面積也是零。

5......

為了節約材料，古代人民發明了碗。

球和半球一樣，應該都不對一定是半球加一個圓柱。

令 4/3PiR^3+PiR^2H=1

求S=4PiR^2+2PiRH最小

S=4PiR^2 + 2/R - 8/3PiR^2最小

R=(3/4Pi)的立方根的球接柱形

周邊肯定是圓形，底是半球，但是上部分有圓柱面的。

一個帶反重力裝置的杯子

與杯子直接接觸為0

相同體積的物體，球體的表面積最小。如果不考慮氣泡的話，應該是球形杯子吧。

這個證明可能沒那麼直觀，前面各位說到球體的，但是這個和空氣接觸的面積不算進去的話真不一定好做，這玩意可能是個變分法的問題喔?﹏?，有時間我來算算看。。。

說半球的很奇怪啊……人家也沒要求杯口面積不能大於杯身截面啊……直接一個球體不就行了嗎

像這樣

補充證明：

實際上題主問題可以化為

求一個曲面a）包圍一個固定體積b）這個曲面必須有一個「平面」部分（即和空氣接觸的面積）

有定理：包圍固定體積的曲面表面積最小的是球體，「越接近」球體越小

那麼直接讓這個「不接近」球面的「平面部分」變得無窮小即可

就像上圖了

感覺有作弊的嫌疑

原答案（錯的）

這樣接觸面積比原來小但是也不知道怎麼更小一點

我猜可以怎麼利用一下這個空餘的與空氣接觸的面積

相同的周長，面積最大-圓；

相同的表面積，體積最大-球。

證明過程好像用到高數的知識，忘記了，記住規律吧。