這個荔枝彎曲的形狀是否有曲線方程？

01-02

或者說：樹枝因外力/重力產生的形變在形態上是否有規律可循？
假設樹枝的密度均勻且是一個圓柱體。

除了題目說明中給出的簡化條件，如果再加上枝條的重力可以忽略和枝條是線彈性的，那麼簡化後的問題在較早時已有答案：Bisshopp, K. E., and D. C. Drucker. "Large deflection of cantilever beams." Quarterly of Applied Mathematics 3.3 (1945): 272-275.（下載：http://www.pilch.us/papers/Large%20Deflection%20of%20Cantilever%20Beams.pdf ）

論文雖是英文的，但結合圖示，並不難理解推導過程。微分方程比較簡單，求解會用到橢圓積分，用上所謂「特殊函數」是可以寫出表達式的。

感謝評論指點，此解答可在鐵摩辛柯等著、韓耀新譯、科學出版社1990年出版的《材料力學》6.12節找到。

由於荔枝的重量遠大於樹枝的重量，可以不考慮樹枝的自重，簡化為一端受集中力作用的等圓截面懸臂樑模型。採用撓曲線近似微分方程求解的話，結果是一條三次曲線。但是大變形的話用近似微分方程求解並不準確，需要用完整的微分方程求解。

還是寫在紙上比較方便

在大變形情況下，微分方程是非線性的，撓曲線似乎沒有解析解（？），但簡單定性分析下可以知道，實際曲線比理論近似曲線「彎得」更厲害些。

BTW，這個問題簡化之後其實就是一個簡單的彎曲變形問題，任何一本材料力學書上都可以查到。

———————————————————————————————————————————

用Mathematica算了下，理論微分方程沒有解析解，我嘗試求了下數值解

算到這裡我震驚了，我預料到理論解比近似解撓度會大一點，但沒想到差了這麼多。這種情況肯定不可能發生的，我想要麼可能是樹枝已經折斷，要麼是理論失效，歡迎評論區討論啊~

——————————————————————————————————————————

按捺不住又用Ansys算了一下

嗯，這次結果總算符合直覺了，自由端撓度73mm多，但是有限元並不能給出撓曲線方程啊(???︿???)

建立個坐標系，y↑+，x→+；荔枝那裡（樹枝末端）x=0，y&<0；彎曲的樹枝最高點 y=0 。

假設樹枝等粗，楊氏模量 E，截面二次軸矩 I 。荔枝重力 P 。

對每一個 x 處一階小量 dx 對應的樹枝分析力矩分布，計算彎曲的角度 dθ，然後勾股定理找到 dθ 和 y(x) 的關係，驚訝地發現有很漂亮的 κ=Px/EI，κ 是曲率半徑（結果這麼好看嚴重懷疑我做麻煩了）。

然後不會算了，等我想想。

我覺得是應該是懸鏈線，坐等大神打臉

後來想了想，應該是擺線。把那個荔枝放開，就是個擺啊

等我有空了，列個微分方程算算，感覺應該有解析解

這真是個好題目，簡直勾起了我學習材料力學的興趣

懸鏈線假設作用力是沿線方向，而這裡模型應該是軟桿，作用力可以不沿線，所以直接答懸鏈線可能不對。占坑明天想。

一個有意思的想法：這個問題似乎和釣魚竿曲線很像。

假如知道因為彎曲而帶來的彈性勢能的具體表達式，對整個系統能量變分大概能求出來。問題就在於不知道彈性勢能的表達式，猜測會正比於局部曲率？

不過即使做了這樣的假設還是很難求…

鐵木辛柯材料力學梁的大撓度

首先你要考慮這個問題，涉及到的就是這個現實模型和理論模型的對應關係，在力的作用下，物體發生的變形，首先要考慮的就是變形體的本構關係，各向同性OR各向異性，大變形OR小變形，彈性問題OR非彈性問題，線形OR非線性。等等等等

考慮完材料下一步是荷載，然後是邊界條件。就這三大塊。

-----------------------------------------------------先說說材料-----------------------------------------------------

基本的大學本科（也是各種材料力學、結構力學書里介紹的）學習的材料，或者或是模型的本構關係是：各向同性的線彈性小變形。。即：各向同性、線形、彈性、小變形的理論，在此理論基礎上，開始了各種本科力學的分析範疇，也是絕大多數學習力學的人能接觸到的（或者說能理解到的）力學感受。我姑且起名：基本力學材料（專業認識可以來糾正一下）

先扯一下，理論上的這種材料並不存在，但是很多東西可以近似看成這種材料，比如說鋼、實木塊（分順紋逆紋）等等，都具有彈性（變形後恢復原來形狀的能力），而線性，簡單理解就是在施加使用了一個單位的力情況下，材料的反饋是x，使用了兩個單位的力，材料反饋2x。小變形就不用說了，你壓著桌子的變形就是小的（有人要問小和大到底怎麼界定，這就扯到一個極限和近似的概念了，在這裡就不展開說明了）

現在來考慮你的問題中出現的材料：首先這是一個樹枝（這是廢話！），樹枝的特點首當其衝就是越靠近果實部分越細（就是橫截面面積越小），如果我來建立這個模型，第一個要建立的就是這根樹枝的粗細沿著樹枝長度方向的變化規律。而後，看到了沒樹枝上有一塊一塊的東西（學植物的可以來教教我叫什麼），很明顯，這些一塊一塊的東西的質量並不能忽略（當然要看你想求解的精度），那你可以模擬成為一塊一塊的質量點（或者測量大小，表示成為質量塊），樹枝本體模擬成一個變截面實體桿件。還有呢？你還可以考慮樹枝上的小分叉（跟點有點像但是有點長的，會影響柔度），我就不展開講了，你應該知道怎麼考慮了，你還可以一直考慮下去，到每一個受損的部位等等等等。。。。

你以為材料已經講完了？NONONO，這才剛剛開始，你才定義了材料的形狀（或者說加上了質量分布），下一步就是材料的本構關係：首先，這個樹枝肯定不能模擬成為小變形（變形那麼大你在考開玩笑嗎？）下一步是線性關係是否成立，彈性關係是否成立等等，你都要通過多次的試驗來驗證，或者說你假設一個材料的模型，如果我來：大變形幾何非線性彈性問題。那麼你的問題就基本確定下來了，為什麼是基本？比如說你要讓他一直保持這個情況，肯定是不可能的，即使你不考慮荔枝的腐敗質量下降（因為你的問題研究的是樹枝），那你可以用一個重物去代替荔枝，你要根據你的需求來選擇你的問題求解精度，比如說你還可以考慮時間效應下荔枝桿內部的水分蒸發，改變了荔枝桿的本構關係等等。這個也不能展開。

--------------------------------------材料基本結束了，下一步是荷載--------------------------------------------

這個問題的荷載比較容易描述，就是一個荔枝的重量加在了這個枝條的末端。基本就可以比較準確的描述荷載情況了。

-------------------------------------------荷載結束，下一步是邊界條件------------------------------------------

這個問題的邊界條件，其實就是桿的另一端是什麼一個情況？

比如說你手捏著另一端，可以模擬成一個有轉動剛度的支座（因為你手指頭的肉是軟的，必定產生一段轉動後手指和樹枝達到一個受力平衡不再轉動）

如果說，你把樹枝的另一端平放在桌子上，並且在桌子上倒上一瓶502膠水並凝固成型。那麼這個邊界可以模擬成全剛性的支座。

------------------------------------------邊界條件也完了，可以開始求解了------------------------------------

求解怎麼求。手算肯定不行，使用大型有限元分析軟體ANSYS可以有力解決這個問題。

第一步建模，就是我材料部分，定義完問題類型，建模，定義材料屬性，等等等等

第二部分網，有限元有限元（FEA：finite element analysis：學英語的來糾正一下，哦不用了我剛剛百度了是對的，只是懶得按BACK按鍵了）顧名思義你要把這個樹枝，不對是樹枝的模型分成有限個單元去求解，分網有多種方式可以選擇，分網好壞直接決定結果好壞或者說能否求解成功，這裡不展開來敘述了，如果我來分我會把它分成一段一段一段的像香蕉段那樣的（當然香蕉段的直徑沿著長度降低）（ANSYS高手可以來指點我一下是否可行）

分網完成，下一步是荷載，這裡可以考究一下，你想，你的末端的橫截面面積肯定不為0，那麼，這個荷載怎麼模擬到那個面上？是均勻受力還是中間較大？還是模擬成一個點荷載直接作用在末端橫截面形心處，這些都是你要考慮的問題。

最後，是邊界條件，如果你用手指抓著樹枝前端，那麼你的手指製作的轉動剛度怎麼定？定成多少？任何一個展開的點，都可以寫出一篇論文（注意是可以寫，沒人會寫我也不會寫，我覺得我寫了那麼多已經很神經病了，因為論文都是要和實際接軌有實際價值的大家才會去研究）

在你查閱了無數論文（假如有的話）選擇了最佳（你認為的最佳）的模型。那麼恭喜你，至此，你的模型已經建立完畢了。剩下的交給計算機吧。

-------------------------------------------------------介紹完畢及後續想說的話------------------------------------

有人要跳出來說了，你這個神經病，拿照片拍一下然後用函數模擬軟體去擬合這個曲線不就完了嗎？對啊！！！我也想這樣啊，但是請你看清楚提問者提出的問題，問題中說的是，在力的作用下他的表現形式有沒有一個曲線方程，很明顯這個問題是想通過理論分析解決，是推理型的問題，而不是你拍照然後擬合做的驗證型的問題。所以你如果要那樣問我的話，我認為你並沒有理解題問者的問題，或者說是我沒有理解提問者的問題。那就涉及到了心理和與人交流的人文部分了。不做過多爭辯（請學邏輯的同學來指正一下）

----------------------------------------------------------完 17.7.19 1809----------------------------------------------

這個問題看似簡單，實際上比較複雜。

首先引入的假設題主已經給出：樹枝的密度均勻且是一個圓柱體。

其次還需要引入的假設有答案已經給出：不計樹枝自重。

然後就需要討論：使用何種力學模型？

可以將樹枝視為 Euler-Bernoulli 梁，這是一個經典問題，可以找到許多文獻。注意該理論忽略了泊松比對變形的影響。結論是，變形後的梁無法通過一個簡單的解析表達式來描述。撓度滿足的方程是個四階非線性常微分方程：
${displaystyle EI~{cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}-{frac {3}{2}}~EA~left({cfrac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}} ight)^{2}left({cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}} ight)=q(x)}$
其中 EI 為彎曲剛度，A 為橫截面積，q(x) 為載荷集度。
可以將樹枝視為完全彈性體，使用有限變形的彈性理論來求解。這樣我們同時考慮了大轉動以及泊松比對變形的影響，一般只能通過數值方法求解。同樣，無法得到一個簡單的解析表達式來描述變形後的梁。

參考文獻：

http://www.ams.org/journals/qam/1945-03-03/S0033-569X-1945-13360-8/S0033-569X-1945-13360-8.pdf

Large and small deflections of a cantilever beam

An explicit solution of the large deformation of a cantilever beam under point load at the free tip

如果可以看作均勻材料大變形等截面懸臂樑，端部受集中荷載的話，記得解析式挺長的，用到了Frenet frame，可以嘗試用trial function 代入strain energy functional 作variation，相當於Riez method.

那麼多，肯定有適合的

樹枝形狀粗細不均還算ok，經過測量，建模還是能實現的。主要是樹枝各點力學性質的非均質性比較難處理。不過可以將樹枝在長度上分段，通過對各段賦值不同的力學參數，擬合真實樹枝的彎曲程度。不過考慮擬合的多解性，還得通過擬合不同邊界條件下的樹枝真實彎曲形態。不過這樣手工擬合極為費時費力。。。有機器演算法自動擬合就好啦。

我覺得最大的難點在於樹枝的質量分布不均勻，不同位置力學性質不一致，想要得到完全準確的結果很困難。但是如果假設分布很均勻，對於一般的樹枝（長得好看的，沒有奇形怪狀）得到的結果與實際結果偏差應該不大，完全可以把假設下的理論推導和拍照擬合分別得到的曲線結果比較一下誤差。

應該沒有解析方程，因為樹枝的力學參數不均勻。記得高中那會好像算過懸垂繩子的方程。

謝邀，這種問題邀請我幹嘛？簡單的梁大變形彎曲求撓曲線問題。要想精確些，注意材料應假設為橫觀各向同性，不可壓等。@南北以後這種簡單的問題就不用邀我了

強行謝邀。

材料力學裡專門有一節講彎曲變形。

根據題設，這個問題的基本模型大概為一端固定，一端自由，受一個均布力（枝的重力）和一個自由端受集中力（荔枝重力）的桿件。可以通過建立微分方程:彈性模量乘以曲率等於彎矩解決。

一般材料力學的模型是水平或垂直的，這裡的荔枝可能還會有傾角，在計算彎矩表達式的時候可能需要將重力分解，在建立坐標系的時候建議以荔枝根部的軸線方向為x軸建立坐標系。

在微分方程求出通解後，帶入初始條件，即根部轉角為零和根部撓度為零即可得到唯一解。

（上述初始條件中關於轉角為零，答主認為即為此處撓度（曲線）方程的一階導數為零，在小變形假設這個看法是對的，不知道在這種大變形條件下是否正確，請大神指正！）

最後，回答問題，我認為在材料力學範疇內，作合理假設，是可以建立方程求解的，而且還可以將模型進一步複雜化，以得到更加逼近真實的解。本科水平，多指教！

應該是懸鏈線方程。

方程形式類似於

先受力分析，然後用變分法可得。