研究幾何拓撲的人是如何研究moduli space 或者teichmuller space的？

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最近在聽我們系搞幾何拓撲的人的seminar，關於黎曼曲面上的模空間的。由於他們不是做代數幾何的，所以使用的工具都是來源於微分幾何，幾何拓撲的。而對於他們來說一個moduli space 是首先得到一個Teichmuller space，然後商掉一個mapping class group.
在代數幾何中，比如，moduli problem of stable curves,可以研究它的coarse moduli space,或者直接看成是Deligne-Mumford stack.然後可以研究它的smoothness, compactness, irreducibility, 可以研究它上面的line bundles, Hodge bundles,研究canonical sheaf,各種和研究scheme analogue的東西。

那麼我的問題是，對於搞幾何拓撲的人來說，是如何研究這些幾何的呢？是否存在這樣的現象：很多性質都有其代數幾何的版本？我們系裡的人似乎對上面的復動力系統很感興趣

搞拓撲的人經常先做一個微擾，把模空間簡化到最理想的程度。至於能不能做出這樣理想的微擾，就是搞分析的做的事情了，據說人們不會真的去拿大部頭的分析書考證需要的細節。

模空間的最終目的還是對象的分類及研究變形。有時候是有物理動機的。純粹為了玩抽象概念而研究是沒意義的。模空間的一些量可以給出重要的不變數。上面的動力系統對應了分類對象的變形及相應數據的變形，在幾何上一般是某些sheaf。觀點盡量樸素。

對於幾何拓撲的人，就是將其看作orbitfold，用分析和拓撲的方法得到其不變數或上面的sheaf數據的關係。譬如，M-M的工作。