如何理解自指？自指是否有什麼深刻內涵？

01-02

狹義的「自指」是一種很重要的構造邏輯悖論的技術。當然光靠「自指」還不能構造出這種悖論，還需要結合另一項邏輯技術——否定。

以如此方式構造出來的邏輯悖論都很不好解決，有的算是解決了（如羅素悖論），但其背景也很深刻。我沒有辦法面面俱到，只能通過以下介紹大體呈現出我自己的一個觀點：如此邏輯悖論之所以難以解決，是因為它們都有一個哲學根源——語言上的謂詞在「概念化」時的合理性在哪裡。因此，光靠自指和否定還未必能構造出悖論，悖論成立肯定會引發我們對其中包含的某些謂詞是否「合式概念」（模仿邏輯學的「合式公式」造的詞），以及什麼是合式概念的思考。而後兩者都是很深刻的哲學問題。

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先介紹兩個很多人比較熟悉（可能至少聽說過）的「自指否定」式悖論：1，說謊者悖論；2，羅素悖論。

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說謊者悖論：

（通俗版）「我正在說謊。」這句話是對的還是錯的？

（邏輯專業版）「本句子為假。」這個句子是為真還是為假？（如果沒記錯的話，參考自Blackwell《哲學邏輯》一書的第5章「真」……）。

**注意上面有個下劃線的用詞。

我們對邏輯專業版做一個形式化改寫：以P指向句子「本句子為假」，以~T（）指向否定性的真值謂詞「為假」（相應的，以T（）指向肯定性的真值謂詞「為真」）。於是該悖論改寫為：

P：~T（P）

那麼P為真或為假？

若為真——即T（P），則T（P） $leftrightarrow$ P（據Tarski真理論），T（P） $leftrightarrow$ ~T（P）。矛盾。

若為假——即~T（P），則~T（P） $leftrightarrow$ ~T（~T（P））（同義替代）。由於直觀上看（兩個否定疊加即肯定），~T（~T（P）） $leftrightarrow$ T（P），~T（P） $leftrightarrow$ T（P）。矛盾。

**不要嫌上面的形式化改寫繁瑣，這個改寫的每一個角落都能幫助我們理清問題。跟之前一樣，注意上面每一段下劃線標明的話，這些話里隱藏著與之前提到的悖論根源有關的哲學問題。容我先賣個關子。當然有興趣的話，熟悉分析哲學、邏輯哲學的同學可以自行思考。

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羅素悖論：

給定集合論的二元關係謂詞「不屬於」，以符號（）~S（）指向該謂詞（相應的，謂詞「屬於」則是（）S（））。再定義一個集合Q，令：

$forall$ x（x）~S（x） $leftrightarrow$ （x）S（Q）

這時，若x取為Q（注意變元x的域沒有任何限制），則（Q）~S（Q） $leftrightarrow$ （Q）S（Q）。矛盾。

**同上，每段下劃線都有相關的哲學問題。

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（待更新……）

自指不是悖論的必要條件。

Yablo構造了一個悖論：

(S1) for all k &>1, Sk is untrue

(S2) for all k &>2, Sk is untrue

(S3) for all k &>3, Sk is untrue

……

(Sn) for all k &>n, Sk is untrue

這一序列中的每個語句既不是直接指稱的，也不是間接指稱的，但它卻蘊含矛盾。假設S1為真，那麼S2為假，S2以後的語句也為假，但這樣S2即為真。假設S1為假，那麼存在Sn為真，這樣 $S_{n+1}$ 為假， $S_{n+1}$ 以後的語句也為假，但這樣 $S_{n+1}$ 即為真。因此， $S_{n+1}$ 又真又假，這是不可能的。