勒讓德變換屬於數學上的哪個分支學科？

01-02

本學渣在看分析力學的時候看到勒讓德變換，有點不是很懂，想找本這方面的數學教材看看，順便稍稍深入了解一下。結果我問了好多數學系的同學，都表示沒學過勒讓德變換……我們專業的數物課本上只看到有一節講勒讓德方程，也沒看到勒讓德變換……阿爾諾德的《經典力學數學方法》看了一下，看到勒讓德變換在變分法那一章（不過老毛子這本書不是很看得下去），結果去圖書館翻了幾本變分的書也沒有看到勒讓德變換……跪求大神解惑

Legendre transformation 的話應該是數學物理中的技巧。下面的文獻和書籍可以作為參考，都寫了勒讓德變換。

Courant, Richard; Hilbert, David (2008). Methods of Mathematical Physics. 2. John Wiley Sons. ISBN 0471504394.

Arnol"d, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-96890-3.

Fenchel, W. (1949). "On conjugate convex functions", Canad. J. Math 1: 73-77.

Rockafellar, R. Tyrrell (1996) [1970]. Convex Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.

Zia, R. K. P.; Redish, E. F.; McKay, S. R. (2009). "Making sense of the Legendre transform". American Journal of Physics. 77 (7): 614. arXiv:0806.1147?Freely accessible. doi:10.1119/1.3119512.

還有個專門的網頁

Legendre Transform

以上。

還有幾個能讀讀的文獻

Nielsen, Frank (2010-09-01). quot;Legendre transformation and information geometryquot; (PDF). Retrieved 2016-01-24.
Touchette, Hugo (2005-07-27). quot;Legendre-Fenchel transforms in a nutshellquot; (PDF). Retrieved 2016-01-24.
Touchette, Hugo (2006-11-21). quot;Elements of convex analysisquot; (PDF). Retrieved 2016-01-24.

根據題主的需要，分析力學和熱力學裡用到的勒讓德變換，也就是下面這些了。只需要用到高等數學知識。

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation

(看「Behavior of differentials under Legendre transforms」和「Applications」就夠用了)

還不滿足的話就繼續去看GTM60吧。

還是容我多啰嗦幾句吧，手機打不了公式

(-_-) zzz

原本拉格朗日力學是在構型空間的切叢上描述系統演化的，考慮到切叢和餘切叢的關係我們自然會想到餘切叢同樣能作為狀態空間描述系統演化。那麼我們要做的就是：通過定義一個微分同胚把切叢上的東西「全盤搬運」到餘切叢上。這個微分同胚就是勒讓德變換。

這個微分同胚定義的關鍵在於廣義動量的定義。容易驗證廣義動量滿足餘切矢變換規律。所以利用廣義動量我們就可以定義作為微分同胚的勒讓德變換，把切叢上的力學「全盤搬運」到餘切叢上。

力學上看，勒讓德變換是切叢與餘切叢之間的微分同胚。它是鏈接拉格朗日力學和哈密頓力學之間的橋樑。

跟進一步的，勒讓德變換可以理解為一個拉格朗日子流形。能用電腦的話我再把這部分補上吧。不過呢，這已經和力學關係不大了。

凸分析/凸優化，Legendre-Fenchel transformation

不過是(x,u,u")上的坐標變換(u"是一階導數)，變成(u",...,x)也就是把u"當成自變數，把x當成新坐標下的一階導數，而新的因變數由相容性可以推出來(略複雜，省略)。