barra風險模型因子計算中的半衰期？

01-02

在barra最近的risk model中，因子計算和協方差矩陣計算中多處提到了半衰期的概念，這裡半衰期具體是怎樣應用的呢。比如，在計算beta時，提到了beta is estimated over the trailing 252 trading days of returns with a half-life of 63 trading days. 那麼這個beta的回歸是怎麼做的呢？

話說我有那麼一點點答非所問，這個確實是一種lambda用法，但是不是beta的，容我再看看。

瀉藥，這是種叫指數平滑動態加權法。曾因為在JPMC的官用風險紕漏軟體RiskMetrics里被冠以0.94的lambda值廣泛使用也被稱為RiskMetrics series.和其他的區別只不過risk matrics的權重根據他們歷史的數據直接賦值了0.94

構造時的原則是這樣：

1.方差基本符合平方可加性

2.方差具有序列相關，並隨時間遞減

於是就有了一個簡單的合乎要求的序列：

$sigma ^2_{t+1}=(1-lambda)sum_{ au =1}^{infty }{lambda^{ au-1} R^2_{t+1- au}}$

這麼做，把每天的收益加權的，因為 $lambda^{ au -1}$ 的遞減性，所以上一天權重最大為（1-lambda），然後依次遞減。

然後我們看所謂的半衰期：

$lambda = 0.5^frac{1}{half}$

這麼設置的特性是，一開始的權重很大，然後到設定期限的一半的是時候，lambda項自動變成了0.5，構成了所謂的半衰期。

關於lambda怎麼測得的，可以考慮最大似然法。給r設定一個密度，然後取讓log概率最大的lambda。分布取什麼是另一個話題了

我想我應該明白了。。

從ols來看 $eta =sum_{i} x_{i} y_{i} /sum_{i} x_{i}^{2}$ ，這裡是等權相加的。

加入半衰期的概念以後，就相當於給了一個權重

$w=0.5^{1/63}$

$eta =sum_{i}w^{252-i}x_{i}y_{i}/ sum_{i}w^{252-i}x_{i}^{2}$

其中，半衰期為63個交易日，回歸樣本長度為252個交易日，i是從遠到近的日期

如我解MSCI所說義，是法步驟如下：

第一步：CNE5給出的EWMA半衰期為63個交易日，據此計算衰減因子：

第二步：CNE5給出的EWMA窗口期為252個交易日，據此建立權數矩陣，也就是GLS中的協方差矩陣：

第三步：使用最近252個交易日的個股n的日收益 $r_{ns}$ ；股票池日超額收益 $R_{s}$ （一般是某個指數收益或所有股票的自由流通市值加權收益）；無風險日收益 $rf_{s}$ （s=1, 2, ..., 252代表前第s個交易日，下文中用到的下標t代表最近一個交易日，注意區分），對以下模型進行半衰期為63天的指數加權回歸：

注意所有數據都是日收益，不是年化的。α和β的下標t代表最近一個交易日，下文 $a_{nt}$ 、 $b_{nt}$ 、 $RMSE_{nt}$ 同樣如此。

具體而言，令：

那麼：

$a_{nt}$ 、 $b_{nt}$ 是α、β的估計值，e是252個 $e_{ns}$ 的列向量。計算e是為了後面residual volatility因子中計算描述性變數HSIGMA。methodology上說HSIGMA是 $e_{nt}$ 的EWMA標準差，根據我的理解，最可能是上述回歸的根均方誤差（root mean squared error）：

（HSIGMA =）

其中df=252-2=250，是自由度。

第四步：

個股n的未經標準化的descriptor就是 $b_{nt}$ ，經過標準化得到descriptor後，由於CNE5中beta因子就一個descripor，因此不用再次標準化就可以作為beta因子。

MSCI的methodology我一開始也沒明白，猜是加權回歸，看了樓上@紅領巾的回答後基本確認就是這個方法，在此感謝！至於HSIGMA部分，我也不是特別確定，如有差錯歡迎指正。

我的理解的回歸的指數權重，最新的為0.5^（1/half），次新的為0.5^(2/half)，然後最老的數據為0.5^(252/half)，這個權重看做殘差平方和的權重，sum wi*(yi-(alpha+beta*xi))^2，通過求解殘差平方和最小，得到beta，不知這樣理解是否準確？

與消除異方差的加權最小二乘應該有差別，252 trading days of returns with a half-life of 63 trading days with...是修飾return的，表明收益率不再是平等的機會出現，而是最新的收益率的出現的機會更大，老的收益率的機會出現的機會要小，所以該權重直接用在sum wi*(yi-(alpha+beta*xi))^2上，而不是wi^2，此處回歸應該是普通的最小二乘回歸，只是回歸時考慮了不同觀測值出現的概率不同，增加權重並不是為了解決異方差的問題。

用這個函數可以，不需要自己造輪子了：statsmodels.regression.linear_model.WLS