N階魔方有幾個等價類？

對「等價類」作簡單說明。把魔方拆散，然後隨意組裝，然後會發現不是所有的組裝能復原。把能復原的組裝態歸為一類，其它能通過普通操作相互到達的組裝態也歸為一類。用數學的語言就是:把所有的魔方組裝態定義為集合A,把對魔方的操作定義為集合A上的關係R，顯然R是等價關係，通過等價關係R可以對集合A作等價分類。

已知2階魔方有3個等價類，3階應該是12個等價類，問4階以及更高階的魔方有多少等價類。

經知友評論區補充，可以考慮帶圖案情況~

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偶數階3，奇數階12

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這個問題挺有意思的。同意 @綠豆糕 偶數階3，奇數階12的結論。但如果中心蓋也拆下來，就會有一些差別。

其實這個問題就等價於一個魔方拆散後隨機組裝有多大概率能復原的問題。

或者可以這麼描述：隨機組裝魔方狀態全體構成了一個群G，其中能還原狀態全體構成了其子群H，H在G中的陪集全體即為題主說的等價類全體。那麼等價類個數即為H在G中的指數[G:H]。

對於二階，只需要考慮角色向，兩個角交換轉一下就會變成三輪換，所以是3。

三階的話，12=3（角色向）*2（棱色向）*2（奇偶情況）

對於四五階和更高階：除最中心的中心蓋的話，中心塊都是不用考慮組裝情況的，因為只有一個顏色不用考慮色向，每一種都有4塊相同的所以不用考慮二交換的問題。最外側的棱塊們中，奇數階中間的類似於三階棱塊，其餘的不會產生裝錯單個色向的情況，二交換可以通過所謂的「O特」解決。

圖案三階的等價類應該是24個（單個中心塊旋轉90度的情況無法糾正，此時中心蓋並沒有被拆下來）。

如果把中心蓋都拆下來重裝，共有6!/24=30種不同的組裝情況。如果考慮這個因素，以上和以下的所有答案都要做出相應的修正。

推廣到其他的魔方這個問題可能會更有意思。

知乎首答，mark一下。

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稍微填一點兒坑：

考慮全色四階的隨機組裝，會出現兩個中心塊裝反的情況，所以此時的等價類為3*2=6個。

考慮全色五階，中心塊單個旋轉90度，心棱和心角的二交換都無法復原，且互不影響，因此此時的等價類為2^3*12=96個。

對於一般的全色n階魔方，注意到，外層的情況與中心的情況相互獨立，每種的二交換在一般的旋轉下都是不能做出的，因此只要數出中心塊有幾種即可。（這裡考慮的是現實生活中的交換。。。如果強行認為它們只是小色片能隨便交換就不好了是吧。）

這時只要注意一點：如圖，以六階為例，中心塊中紅黃兩類是不同的。

給個結論吧：中心塊種類數N為：

那麼全色n階魔方的等價類個數E為：

順便，一般現實生活中想區分每個塊有兩種方案：

一個是給每個塊加一個向同一方向的箭頭：

（圖片來自胡波老師的java模擬器）

另一種是給中心塊貼上表示色向的貼紙：

（圖片來自Twistypuzzles-Museum）

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以及其實還能推廣：

在魔方理論中，有些人會認為真正的全色魔方包括內部「看不見的小塊」。就是說，比如四階裡面套著一個二階，五階套著個三階。我們不妨稱之為「完全全色魔方」。以四階為例，如果先還原內部的二階，那麼在外部的四階就不會產生所謂的「O特」，即棱塊的二交換。

那麼此時的等價類數量為3（內部二階）*3（外部四階角塊）*2（外部棱二交換）*2（外部中心塊二交換）=36個。

類似的，五階的等價類數量為：24（內部圖案三階）*24（外部五階的中心，角塊，中棱塊組成三階）*2^3（五階的邊棱對換，心角對換，心棱對換）=4608個

n階的也很好算，遞推一下就好，遞推式為：

（有興趣可以自行把通項乘出來，不一定算對了啊）

然而我們為什麼要考慮這種看似在現實中並不存在的魔方的等價類問題……

有兩個原因：一個是數學上喜歡考慮這種推廣到n階的問題，另一個是，這種把中間本來不存在的塊強行做出來的魔方確實有，還有不止一種實現……：

第一種，Oskar van Deventer的Framed Cube。通過鏤空和特殊的結構，可以看到內部的二階。

第二種，大雁的四階魔中魔二號，圓圈不能單獨旋轉，轉外層不跟著轉，轉內層會跟著轉。雖然看起來不像，但是其實現在看起來像四階中心塊的塊是露在外面的內部二階，而原有的中心塊是通過48個月牙塊體現的…………（但是圖中這個魔方只是functionally等價於完全全色四階的，硬要算它的等價類個數，和之前算的其實是不一樣的，問題就出在了月牙塊上。）扯得有點遠了，就寫到這兒吧。其實還可以分析一些常見的其他魔方的這個問題，或者大群和小群關係的問題（其實還並沒有考慮過），但是和題主問的就相差更遠了。。。

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