哪些書讓你重新認識了數學？

01-02

有沒有一本書讓你對數學從路人或黑轉粉？

數學每個子領域Top校的grad school lecture notes基本可以秒殺市面上所有教科書。找不到lecture notes可以找老師寫的不暢銷的書，很多是notes改編的。

其實書看多了就發現，最暢銷的很多是second tier學校faculty寫的。這種書比較面面俱到，適合入門。神校老師的書通常不會太暢銷。他們的書有以下特點：

1. 觀點一般比較犀利獨特，會用老師自己的風格組織材料，展現出個人的科研taste和思路體系。（思路體系很重要。以前我看書不挑，看了很多純屬定義技巧堆砌而沒有storyline的書，結果腦子裡攢了很多東西然而並不能流暢的應用。這對於學習非常不好）

2. Motivation比較多和全。這是因為神校本身是學術歷史的見證者，比如Stanford見證了很多今天統計教材上知識點的發明，Courant見證了大多數應數教材上知識點的發明。這些學校老師寫書的時候很容易得知他們當初發明該工具的真實背景和目的。

3. 這種材料通常不適合初學者，基礎不好直接看的話很可能會走火入魔。

需要說明的是以上不適合純數，純數還是有必啃經典教材的。個人看過的集中在統計應數方面。一般照Stanford Berkeley Courant老師的主頁找。

如武林秘籍，得之我幸。

我推薦一本書給數學專業的同學以及對數學有一定了解程度的同學吧：klein的《數學在19世紀的發展》兩卷本。

這套書是klein晚年回顧從高斯開始19世紀的數學的發展，一直寫到了20世紀前期數學與相對論等物理精彩的結合，以klein本身作為一個偉大數學家的觀點寫數學史、那些年代偉大的數學家（包括他自己以及和他競爭激烈的poincare。）、和他們研究的數學。

我個人覺得這套書給人最大的啟發是：數學的發展不是天上掉餡餅或者蘋果砸腦袋上一下蹦出來的，即使是最偉大的如高斯、黎曼這樣的天才，他們的想法也是有著明確的目的或者由敏銳的觀察得來的。不少看起來古怪的結構和定義其實和物理甚至工程上的問題密切相關。

另一方面，各種數學觀念誕生的時候也並不是那麼成熟的，是經過了許多的發展，人們改寫再改寫才變成今天這樣的。能夠看到數學是如何從不成熟變成成熟也是很有意思的。

另外，klein身為偉大數學家的眼光- 一定程度上，固然使得書里反應了許多他自己的偏見（例如他自己與poincare的公案）- 使得這段歷史更加的鮮活，也使得對數學的觀念和理解更加鮮活。這是許多其他的數學史書不具有的。

我覺得對於以後可能成為研究者的同學們來說，不管是研究數學還是其他科學，偶爾有從前往後的機會看看數學，一定會有很多啟發和收穫的

在此寫下這篇回答，是因為只讀書無法真正讓一個人對數學有認識，必須要學、思、做並舉。如切如磋，如琢如磨。長文慎入。

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我對數學的認識經過了幾個階段：

最開始，就是我姥爺小時候給我啟蒙，用九章算術裡面的問題考我，小時候其實對數學沒有概念，只是覺得很好奇，所以經常喜歡一個人推一些東西，直到高中畢業。

到了大學以及碩士，一邊學課程、做一些簡單的研究，一邊算是系統讀了一系列數學家科普著作和人物傳記，先從《數學大師》開始讀，然後開始讀市面上可以見到的每個數學家單獨的傳記，然後再讀他們的一些科普，以及後來經常瀏覽陶哲軒的博客、及其上面的鏈接。我對數學沒有理解，根本就無法說清楚。唯一有的感受就是：聽起來很好玩，做起來抓狂。（於是我以為是我資質不夠，開始和玄學上扯，期待有一天能像佛祖那樣覺悟。）

再到後來，真正對數學的理解產生質變的，是進入研究階段。不做研究，很難體會個種滋味。每個導師對學生的培養方式不同，我接受的培養是這樣的：

Go to the library, read the journals and do whatever you are interested in.

我看到身邊的人都是導師給問題，很可惜我的導師水平很差，她給我的問題我也瞧不上，她自己也清楚，於是她告訴了我她當年的導師（Luis Caffarelli）怎麼培養她的：Read thousands of papers and then you can find your own problem.

我就是開始那樣乾的，但是怎麼上手？後來有幸認識一位中國老師，他是一位真正的學者，每天從早上9點工作到晚上11點，堅持不懈。他讓我讀最經典的文章，他告訴我所有essential的東西都在那裡，學到的是數學的taste/sense，後來的文章大多不行（因為數學職業化的弊端），看似更進一步，其實是restatement，以有涯隨無涯的水paper。於是，我開始了漫長的讀文章之旅。一開始真正理解一篇文章需要三個月（反覆琢磨，查閱海量資料，讀後來的「白話」文章來一點一點追溯前人），但是當吃透最經典的文章後，腦子裡會形成一系列感覺，再讀後來的經典文章，可以一個星期讀一篇，讀後來人的文章，一個小時一篇。其實，最花時間的是第一開始，到最後，只要是相關的領域，後來可以10分鐘翻完一本書。讀的不是細節，而是感覺。

在這個期間最有意思的是，學的是最好的數學，做的卻是一般的工作。因為品味「似乎」可以很快提高，而真正的「內功」（工夫）需要一點一點來。通過這種雙向作用，期間我做了一篇平凡的工作，一篇有原創的工作。對數學的思考從碎片逐漸到整體，從表面到深入。

再到後來，我又進入了一個誤區：我受儒家的學問影響很大，儒學如同煌煌大日，是安身立命的學問，而對數學，讀得越多，越發現人們是在做重複工作，並沒有真正創新的方法。為了避免空談，我來說一個大家能聽得懂的問題以及我對它的研究經歷：(Background)

常微分方程的一個經典結果是，如果向量場是Lipschitz，那麼解有存在性、唯一性、穩定性。這個證明不需要measure theory。如果嘗試問如果向量場在Sobolev/BV space中，會有什麼樣的結果，行話講well-posedness of ODE. 這是我在學完fine property of function之後，複習常微分方程時候，提出的一個問題。一個合理的假設是對於幾乎處處初始條件，解是存在唯一的。（穩定性，即stability另當別論）
我做出了一些部分工作，但是偶爾發現，前人已經提過這個問題並研究得很深入，雖然沒有徹底解決這類問題，但是依然有三篇最重要的文章給出了十分漂亮的結果：DiPerna-Lions（1989）, Ambrosio（2004）, Crippa-De Lellis（2008）。這不是重點。我進入的誤區是，如果遠觀這些方法和結果，他們做的工作其實是restatement，對數學學科的進步起的作用相當於20世紀初的結果：可測函數=幾乎連續函數對數學的推動。這類結果在20世紀初十分值得一提，人們通過對差函數的研究，利用measure theory找出它的fine property，很有意義。但這類想法一直持續到本世紀，現在有歐洲的一幫學者還在前仆後繼地做，這個在當時天真的我看來就是在做重複工作。實話說，我那時認為這種思路是毫無創新的，我覺得是在浪費生命，沒有做真正有用的學問。第一對實際應用沒有什麼幫助（因為譬如幾乎連續函數就是可測函數，敘述不同，聽起來好像差別很大，其實是一樣的），第二對數學的理論也沒有什麼幫助，我當時斥責它們為精神世界的冒險，不是真正的學問。（就像二十世紀初人們對怪函數的研究很感興趣，但是到了後來，人們希望的不是舉出這樣那樣的反例，而是證明在好的情況，比如分形，有哪些結果。）

我比較欣賞的工作是建立一些最根本的framework，在前方沒有道路的情況下開出一條能夠讓人理解並工作的路。而我比較討厭的做學術態度是一個方法灌好幾（十）篇paper，除了第一篇，其他對理論發展毫無幫助。以這種標準來看，好的工作並不多。這種判斷標準根源是我把數學劃成好幾檔，強行歸類的結果。（其實是我對儒學理解出了問題。前因後果思想轉變太複雜，略過不提。）

再到後來，我不敢對數學有斷言，因為有很多問題困擾著我：在平凡的工作中隨便進一步提一個問題，就是人們根本不知道的，似乎人們對數學研究才剛剛開始。我期間提出過幾個問題，大數學家也不知道。試想，數百年前的數學都能提出哥德巴赫猜想，何況在數學發展如此精細的今天，真的可以提出太多無法解決的問題了，難度未必低於哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想為人所知，恐怕一是因為人們聽得懂，二是因為當年的陳景潤熱。

我還是接著上面ODE（常微分方程）的例子來佐證我的看法：

拿上面的常微分方程well-posedness來說，一個老師就告訴我，不要低估數學的神秘，在DiPerna-Lions之前，測度論已經發展了幾十年，人們肯定提過我發出的問題，但是沒人可以在問題本身的框架內解決，直到DiPerna和Lions用PDE反過來解決ODE，於是引領了一個領域的誕生——transport equation with nonsmooth vector fields。我當時不服氣，但凡對數學好奇的人都不會止步於Diperna-Lions的方法，因為它太曲折。但這麼多年來，只有De Lellis和Crippa於2008年給出了直接的證明，但是其假設要比DiPerna-Lions假設強得多，他們的方法用到了調和分析，而DiPerna-Lions方法只需要簡單的弱收斂就可以。（De Lellis是分析大家，他既然嘗試直接證明，且只證到了那一步，可見是無法繼續了，但凡有可能，他這樣的大人物不會就此止步，發這個部分結果的。）

下面給出這三篇最重要的文獻：
DiPerna-Lions(1989) Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces
Ambrosio(2004) Transport equation and Cauchy problem for BV vector fields
G. Crippa, C. De Lellis Estimates and regularity results for the DiPerna-Lions flow. J. Reine Angew. Math. 616 (2008), 15–46
我研究這個問題進行了一個學期，期間連導師給我的工作都讓我推掉了，我越來越好奇：為什麼人們無法對DiPerna-Lions在其假設下給出直接的結果？DiPerna-Lions方法是平凡的。我曾對一個老師說，我對他們的方法已經用得滾瓜爛熟，為什麼就不能在ODE的formulation下給出直接證明？他告訴了一句讓我反思很久的話：什麼叫平凡的方法？我在以我有限的見識推測無窮的學問。天明畏。

對於不在這個領域探索，但有一點測度論功底的同學，我推薦您比較DiPerna-Lions(1989)和Crippa-De Lellis(2008)這兩篇文章。我堅信這有一座人們尚未發現的橋。我也寫了一個非常不正式的notes，My title。
總之，經過一個學期的研究，結合過去幾十年的文獻，我嘗試一個斷言：現代分析的發展還沒有到能給well-posedness of ODE在DiPerna-Lions假設下給出直接證明的能力。這個結果讓我大吃一驚，同時為自己之前的淺薄感到羞愧。
我再也不敢說，做數學是以有涯隨無涯了。看到別人用平凡的工具解決問題，再也不敢小視。於是，這種感悟讓我閉關了一個星期，把以前學的內容整合了一下，才發現，數學的深不可測，哪怕是最平凡的本科數學，最平凡的弱收斂，都有我遠遠沒有看到的意境。

於是，後來感慨：儒學是浩然大日，數學是漫漫長夜。

隨便提一個問題人們都可能無法下手，已經形成的方法還遠遠不到可以下斷言總結的階段。

羅嗦這麼多，希望同學共勉。千里之行，始於足下。萬仞之山，積於累土。

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5月20日更新：今天看到評論，如 @李木冄@燕處@caleb89 才知道原來前面沒說清楚為啥我讀儒學多了反而進入了誤區。這裡補上：

最主要的原因是我學儒學沒入門，將入未入而強行整合所學之際最容易生搬硬套，貽笑大方。就拿儒學八目來說，第一步格物致知我就沒做精，。大的來說，居其薄而不能處其厚，居其華而不能安於所進，這是我一貫的毛病。具體說，格物須知至，知至必意念精誠，從而志氣純厚、精神專一、應物不迷。所以儒學強調格物致知，就是因為這個過程就是專註而復歸其誠、從而可正心以修德修身的過程。而我呢？當初想一口吃個胖子，干想著修德修身了，想到古人在我這個年齡不僅成家立業，還能為政一方造福社會，我空自深夜對著孤燈鑽研看不到頭的學問，於社會無半點用處，感嘆時光如流，從而志氣愈加浮躁，更自怨自憐。我就是一大俗人，當初學到一點前沿數學時，總覺得格局太小，第一感嘆有涯隨無涯之殆，第二感嘆數學不是安身立命的學問，畢竟只是飯碗，第三感嘆是屠龍之技不能學以致（zhuang )用（bi)。後來走出這個誤區，是如前文所寫，我在對ODE well-posedness研究中，發現了其表面平凡而背後神秘瑰麗的一面，我覺得如果那幾個看似平凡實則無法入手的公開問題若能解決，對我認識這個世界背後的法則有極大幫助，這裡可真不是誇大其辭。而且很多平凡的細節確實能一步步建立起輝煌的大廈。此外，不入手踏踏實實做一個好的方向，真不知道以前錯過了多少看似平凡而實則深刻的結論。（這句話隱含了一些信息，算是進一步回答了題主的問題。）

最後分享兩句話：

錙銖本為道，大象自成學。（出自北大數學文化節標語，我改了個字，原句是錙銖本為數。不知道改用道字的行為算不算道賊呢？）

天下大事，必作於細，是以聖人終不為大，而能成其大。（出自道德經。這句話其實很勵志，這也是我目前破除以名害實的方法，說白了就是重視細節，積土成丘，窮根究底。）

《特殊函數概論》。五十年代北京大學物理系的數學物理課程由郭敦仁教授主講，採用的主要參考書是Courant and Hilbert Methoden der Mathematischen Physik, Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis，當時沒有中文參考書。王竹溪教授有鑒於物理學工作者常用到特殊函數，當時缺少便於閱查的特殊函數手冊，而 Whittaker and Watson 的書在1927年第四版之後沒有新版，因此特約高足郭敦仁教授一同撰寫一部內容全面而又便於查閱的特殊函數手冊。1963年出版名為《特殊函數概論》。1989年由郭敦仁教授翻譯成英語，在新加坡出版。

全書十二章

第一章：函數用無窮級數和無窮乘積展開
第二章：二階線性常微分方程
第三章：伽馬函數
第四章：超幾何函數
第五章：勒讓德函數
第六章：合流超幾何函數
第七章：貝塞爾函數
第八章：外氏橢圓函數
第九章：忒塔函數
第十章：雅氏橢圓函數
第十一章：拉梅函數
第十二章：馬丟函數

Zorich, Mathematical Analysis vol. 2

第二卷讓我第一次看到稍微現代一點的數學是什麼樣子的。賦范線性空間上微分、微分形式、流形、廣義函數、傅里葉變換……特別是微分形式，我現在仍能清晰地記得，當我學完那一章的時候，分析、代數、幾何同時浮現在了我的面前，我彷彿看見了現代數學正在向我招手。

然而我這樣的肯定是做不了，也不會選擇去做純數學的^. .^

中科大教材《簡明微積分》，一本被低估的書

Peter Lax的線性代數及其應用

我數學學的不好不敢評價，但是要是做應數或者計算數學，用這本書補一下線性代數還是不錯的

再次安利《天才引導的歷程》。初中時讀的，當時的知識背景談不上重新認識數學，只能說開闊了眼界，更重要的是那些故事讀後真的熱血沸騰。

於是這科成了最花心思的課。在不歸路上漸行漸遠。

一定要是「書」嗎？文獻也算的話……

那沒跑了，就是Atiyah和Singer的系列文章《The Index of Elliptic Operators》。

單墫爺爺寫的高中競賽書，本本都是經典，簡單的像什麼《概率與期望》（感覺完爆現在的概統課本），《數學花園裡的小花》------數學花園大，幾何算一家。春日興緻好，請來看小花，難一些的《數學競賽教程》《集合與對應》都寫的很好。單爺爺的書不僅在於講會題，不僅觀點高，而且寫的還特別有意思（畢竟是蝸殼第一批，當然也是全國第一批理學博士，_(:3」∠)_）

《哥德爾、埃舍爾、巴赫：集異璧之大成》（好吧嚴格的來說是數學的foundation部分）

高中的時候看《從一到無窮大》

謝邀。

中學數學教科書。

我太low了哈。

郭學軍《高等代數》

在用高等代數講數學【我實在無法形容】，而不是在講高等代數。。。

《費馬大定理：一個困惑了世間智者358年的謎》

paraphrased from 布爾巴基的秘密社團

有些書和論文是養 taste 而非養知識用的

《微積分的歷程》《重溫微積分》

Marcel Berger的Géométrie vivante ou l"échelle de Jacob，按字面意思翻譯成英文是Living geometry or Jacob"s ladder。正式出版的英文版書名是Geometry Revealed: A Jacob"s Ladder to Modern Higher Geometry。（英文版有些細小的錯誤。）

Jacob"s ladder（雅各的天梯，出自聖經）是作者反覆使用的一個比喻，作為主題貫穿全書。每一級階梯都對應著為解決幾何難題而發展的新的想法，它可能是新的技巧、新的抽象、新的數學對象。每一個突破都讓我們更接近問題的解決，如同涉級而上更接近天堂。這本書著眼於從發展的眼光介紹幾何中那些使原來的不可能成為可能的東西，並幫助我們理清脈絡。

concrete mathematics

Arnold 寫的很多書