如何理解正弦函數的傅立葉變換？

01-02

如上，正弦函數經過變換後，帶入頻率w0，得到在頻率 w0 的幅度為 i*a*(PI)*Dirac(2*w0)
請問如何理解這個幅度大小？因為它是個虛數乘以狄拉克函數，我實在無法想像物理意義。

漁：你是分解成 $exp(iomega x)$ ，本來就是複數。

$f(x)=exp(iomega_0 x),, F(omega)=2pidelta(omega-omega_0)\ sin omega x=-frac i2(exp(iomega x)-exp(-iomega x))$

我猜題主的問題有兩層意思，一是虛數幅度怎麼理解，二是delta函數如何理解

首先，cos 和 sin 的傅里葉變換都會出現delta函數，可以簡單從能量守恆角度看， sin(wt)信號有功率，但是它是單頻信號，在頻域上只在一個頻點上有能量（或功率）。要使得積分出一個常數的功率出來，要求頻域是個衝激函數；

其次，頻譜中的虛數表示90度的相位，cos的相位為零

傅里葉分析和應用

學過《信號與系統》和《複變函數》等課程的人往往會被許多問題所困惑，如：

（1）周期信號傅里葉級數中的傅里葉係數物理意義是什麼？

（2）頻譜表示什麼？

（3）通過頻譜我們能知道什麼？

（4）非周期信號的傅里葉變換到底是什麼意思？傅里葉變換的物理意義？

（5）複數形式的傅里葉變換的物理意義？

（6）對信號用頻域分析有什麼好處？

（7）為什麼周期信號的傅里葉變換在相應頻率處出現衝激函數？

上述問題儘管看上去有些零碎，其實它們是有聯繫的，下面，我從頭到尾把這些問題串起來，內容可能比較多，如果你想知道結果，則需要你耐心閱讀，並希望下面的內容能對你有所幫助，更詳細的內容和應用還請參見我寫的《信號與系統分析和應用》一書，本書在高等教育出版社出版發行。

一、周期信號的傅里葉級數和信號頻譜

1、周期信號的三角函數形式傅里葉級數和信號頻譜

（1）周期信號三角函數形式的傅里葉級數

請注意：為什麼我把周期信號三角函數形式的傅里葉級數寫成下面的形式，而不是公式（4.2-8）的形式？因為只有這樣才能充分理解信號頻譜以及頻譜的作用、傅里葉係數、非周期確知信號的傅里葉變換的物理意義，才能充分理解我寫的下面的內容。

可以看到，信號頻譜的作用就是用圖形（頻譜圖）或公式（向量形式）來表示組成這個周期信號的所有不同頻率的餘弦信號的「三參數」（幅度、初相和頻率或角頻率）。從頻譜圖上，我們就能看到原周期信號含有的所有頻率的餘弦（或正弦）信號的幅度和相位的大小，也就知道了周期信號含有的所有頻率成分以及這些頻率成分對原信號的貢獻大小。上面圖（c）是將圖（a）和（b）合成一個圖（合成的原則請參見《信號與系統分析和應用》書）。

二、非周期確知信號的傅里葉變換

三、周期信號的傅里葉變換以及衝激函數的作用

五、其它函數的傅里葉變換及應用

《信號與系統》課程中還涉及到：

（1）
「自相關函數」的傅里葉變換；

（2）系統單位衝激響應的傅里葉變換；

（3）離散時間傅里葉變換DTFT；

（4）離散傅里葉變換DFT；

這些傅里葉變換都有其各自的物理意義和作用。

由於 $f(x)=asin left(omega_0x ight)=afrac{e^{iomega_0x}-e^{-iomega _0x}}{2i}$ ，所以這個問題實際上就是求函數 $gleft(x ight)=e^{iomega_0x}$ 的傅立葉變換。

根據（連續時間）傅立葉變換的定義為：

$Gleft(omega ight)=int_{-infty}^{infty}g left(x ight)e^{-iomega x}dx=int_{-infty}^{infty}e^{iomega_0x}e^{-iomega x}dx=int_{-infty}^{infty}e^{-ileft(omega-omega_0 ight)x}dx=?$

這下尷尬了，這沒法算啊。傅立葉變換覺得太丟人了，怎麼可能沒法計算 $gleft(x ight)$ 的傅立葉係數呢。於是傅立葉變換找到了一個叫狄拉克函數（Dirac Delta function）的貨來幫他搞定 $gleft(x ight)$ 的傅立葉係數。那貨名字里有個「函數」，其實根本就不是函數。但它有一個本事：

$int Xleft(omega ight)delta left(omega -omega_0 ight)domega =Xleft(omega_0 ight)$

即使這樣，傅立葉變換和狄拉克函數還是沒法得到結果，但是狄拉克函數和逆傅立葉變換：

$gleft(x ight)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty} Gleft(omega ight)e^{iomega x}domega$

卻發現：

$frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty} 2pidelta left(omega -omega_0 ight)e^{iomega x}domega =e^{iomega_0 x}=gleft(x ight)$

所以，最終得到：

$Gleft(omega ight)=2pidelta left(omega -omega_0 ight)$

由於：

$fleft(x ight)=asinleft(omega_0x ight)=frac{a}{2i}left(e^{iomega_0x}-e^{-iomega_0x} ight)$ 並且傅立葉變換是線性的

所以：

$Fleft(omega ight)=iapidelta left(omega +omega_0 ight)-iapidelta left(omega -omega_0 ight)$

傅立葉變換如果不能計算正弦函數的傅立葉係數，那麼它是不完美的，或者說傅立葉變換的應用（理論應用，數學證明之類）將受到限制。狄拉克函數的出現使得傅立葉變換變得完美，儘管它本身就很難讓人理解。

能否想像到正弦函數傅立葉變換的物理意義並不重要，或許它本身就沒有物理意義。重要的是，正弦函數傅立葉變換的存在，傅立葉變換的理論因此而完善，這已經足夠。

個人理解，僅供參考。

Dirac 函數不存在數學意義上的幅值。你只需要知道他的積分強度是1就可以了。

他是一類函數（例如lorentian function）在參數趨近於0時候的物理表達。一般來說一個理想的dirac函數是不存在的，他一定是一個lorentian function。但是當這個lorentian 的linewidth足夠小的時候，你可以認為它是一個dirac函數。

這句話換過來說，就是物理中不存在一個完全理想的單頻光源。頻域（ft）不存在一個完全理想的dirac函數。

但在數學分析中，一定要拿出來一個單一頻率的平面波（例如上面的sin函數）作為基來研究，就不得已會出現dirac函數。這個函數的意義必須在積分變換中才能體現。只要ft的正，逆變換自恰就好了。前面的係數是pi還是根號pi，都沒關係。

具體dirac函數的推導過程和物理意義請看相關的理論物理書籍。

ps／dirac是物理學家。

如果把虛數i變為e^(i*pi/2)是不是就好理解了，實際上是對w0的的復指數信號有pi/2的相移。