能否用簡單通俗的語言或者多媒體介紹一下拓撲學？

01-02

例如用圖片，視頻來介紹一下？
拓撲學在生活中的應用？具體例子。

簡單介紹拓撲學這個豐富的分支，我想三言兩語是不能的。

簡介

拓撲學是近一百年來迅速發展的學科，她迅速滲入數學研究的各個方面。

@陳浩同志介紹的是代數拓撲的內容，其中他對morse理論的一句話概括，也不完全正確。事實上，現在的現代拓撲學，不介紹theory of category即範疇論，是完全無法展開的。首先假如對拓撲下一個範疇論的定義，就是找映射到簡單拓撲範疇共變或者反變函子的過程。你也許很吃驚，本世紀初的拓撲學，包括Euler曾經提過的所謂「一筆畫」問題，其本質上是代數拓撲的理論。

點集拓撲

點集拓撲主要研究空間的拓撲性質，在給定的拓撲空間中我們通常研究其開集，或者Kuratowski定義下的閉包拓撲。如果用範疇理論來講，點集拓撲實際上就是研究給定範疇中的態射（morphism），相比之下，代數拓撲要更高一點，也更難一點。但是點集拓撲是重要的，Solomon Leftschetz曾經給研究生講黎曼幾何，開頭就定義「緊Hausdorff空間」。這就凸顯了點集拓撲在描述黎曼幾何甚至更多範疇的態射中重要的地位。而點集拓撲主要關心的是空間之間的同胚關係，所以此時的範疇論觀點可能不大能夠派上用場。點集拓撲在測度論和函數論中也有應用，包括epsilon-delta語言都是點集拓撲、拓撲空間的特殊情況，學習點集拓撲，很多的分析概念就會更加清楚。

比如流形（manifold）有各種各樣的變形（比如微分流形、Lie流形），但是本質上只是一個II類可數的局部R^n同胚Hausdorff空間，多麼簡潔的定義。所以拓撲語言reduces all things to the simplest thing.就進一步讓我們能夠創造更多的概念。比如經典的拓撲復形（complex）概念，就被 WhiteHead在1949年更新為CW-復形，這種復形能夠描述更多的多邊形，沒有拓撲的簡化，我們就沒有辦法定義更多更好的抽象概念。

但是點集拓撲創造的氣氛（atmosphere）使得分析學的各種抽象能夠自然生長在我們的直觀思維中，這就是其最大的貢獻。

代數拓撲

上面數學愛好者們熱烈討論的，大多都是代數拓撲。

代數拓撲裡面引入了homotopy同倫理論，本質上要求的是通過一個中介的同倫範疇（category of homotopy）來研究一個複雜範疇的不變數。

比如說研究高維幾何，這個範疇裡面包含多種多樣的objects，還有各種morphisms，太難研究了。所以我們就找了homology functors（同調函子）來把它化成同調代數的方法來研究。而同調代數相對來講就很容易研究了，因為有計算的方法。好比微積分一樣，單單找原函數是困難的，但是算定積分卻往往技巧百出。而通過homology functor落到同調代數範疇里的objects，就可以通過代數有限群表示理論解決很大的一部分，畢竟graded abelian group還是很友好的結構。

其中最經典簡單的構造就是證明R^n空間和R^m空間不同胚（n $e$ m），這個不通過同調方法是很難證明的（J Brauwer 1907提供了一個相當繁雜的證明）。但是我們簡單地通過同調方法，就可以指出這兩個空間在對應的上同調群上就不存在同構關係，因此證明了這個命題。

可能你看到這裡，也會自然而然的想到代數拓撲在代數幾何之中的地位。對的，Atiyah在他的演講中就曾經提到過代數拓撲是代數幾何和現代代數的交叉，很有生命力。

書籍

拓撲學的書籍很多，J Munkres是一本很好的入門書，Milnor的微分拓撲寫的不錯，並且有自己的新觀點，胡世楨寫過一本同倫理論，據說挺不錯的。

希望你能夠多了解這方面的知識，為祖國的數學事業添磚加瓦。

by L

通俗一點說，拓撲學研究的是量變與質變之間的差別。一個體系，狀態或者最一般的說一個object, 能不能連續變化到另一個object。如果可以，這個過程就是個量變過程，我們稱這兩個object有一樣的拓撲；如果不可以，這就是個質變過程，這兩個object有不一樣的拓撲。量變與質變是哲學上兩個重要概念，而且這種過程的差別我們隨處可見。從這種意義上看，所有涉及到量變與質變關係的問題都可以看成拓撲學問題（能不能解是另一回事）。橡皮泥這個例子最簡單，不捏破就沒有質變。

接下來的事情就是把量變與質變數學化，也就是公理化。我們所研究的體系，或者說前文的object，也就是我們研究的對象數學上叫做拓撲空間，這很簡單，起個名字就行，難點在於如何用數學的語言來描述連續變化。拓撲學抽象就抽象在這裡，為了模型的普適性，拓撲學採用了開集這個非常不用戶友好，非常抽象的概念來公理化描述連續變化。這一概念來源於微積分中能夠直觀想像到的連續概念的非平凡推廣。我曾經想過，拓撲學完全不依賴於微積分，能不能有更易懂的公理化語言來描述連續變化呢？當然，即使有現在也來不及了，先發優勢的作用是強大的，就像我們明知道鍵盤的鍵位分布妨礙打字速度，更好的鍵盤也沒法推廣一樣，歷史選擇了它就接受它吧。

跑題了。想知道具體開集是怎麼定義以及如何描述連續變化的可以去查書，我想第一次看到這個定義沒被它砸暈的人並不多，所以我們繼續通俗的理解。數學上兩個拓撲空間的拓撲一樣叫做同胚，通俗的說同胚就是量變，不同胚就是質變。所以拓撲學中最根本的問題就是判斷兩個拓撲空間是否同胚（沒有之一）。完全解決這個問題基本上是不可能的，但在很多情況下我們可以找出一些判別條件來區分兩個不同胚的拓撲空間。

最簡單的判別辦法是道路連通性。如果拓撲空間中的任兩點都可以用不間斷曲線連接起來，那麼這個拓撲空間是道路連通空間。道路連通空間與非道路連通空間自然是不同胚的，通俗地說，一個蘋果無法連續變化到兩個蘋果，至多形變到一個桃子。所以蘋果的數量，也就是道路連通分支的數量是一個判別辦法。

後來，大家想到，如果能夠在一個拓撲空間上構造出連續變化不變的量，那麼兩個量不一樣自然推出這兩個量對應的拓撲空間不同胚。最簡單的量是數量，多少個連通分支，多少個洞。。。但自然界的變化比自然數複雜得多，也就是說構造的量越複雜越精細越能區分兩個看似同胚實際不同胚的拓撲空間。目前大家最常用的量叫做群，一種結構非常複雜的對象，整數是其特例。不同的群可以有不同的名字，同倫群，同調群等等。對於拓撲學這個學科來說，從開創到現在直至可預見的將來，大家的中心問題就是構造出更多更精細的拓撲不變數並研究這些量的各種關係。至於那個根本問題，嗯，做不到的事情就勇敢的承認做不到吧。

圖壁啃蹄牛的

拓撲大師Bill Thurston參與制作的視頻

http://v.youku.com/v_show/id_XMjM0MTkyNjY0.html

數學的抽象性，拓撲是個好例子。也因此，我可能不會使用什麼多媒體。

抽象，淺顯的理解，就是找出同一類事物的共同性質。比如由於某些共同特徵，我們把蘋果和香蕉都叫水果，雖然他們長得非常不一樣。拓撲學研究的，就是同一類空間有什麼共同的性質。這裡空間的類別，數學上是指同胚，同倫等。

科普的說法是用「剪不斷也不能粘連的橡皮泥」，對這塊橡皮泥的各種玩，能從一個形狀捏成另一個形狀，兩個形狀就是拓撲等價的，他們共同的性質就是拓撲不變的性質。http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_invariant

有哪些性質是拓撲不變的呢？

最簡單的是 連通性，不管怎麼捏，連著的還是連著，不連的也不會連起來。

還有個比較容易理解的是虧格 (genus, cc @經雷)，淺顯的說就是有幾個洞。http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8F%E6%A0%BC

一個笑話是：

我無法理解那些打耳洞的，為了漂亮，至於把身體的拓撲結構變掉嗎？

另一個很多人知道，但可能沒有意識到的拓撲不變數，是 歐拉示性數 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E7%A4%BA%E6%80%A7%E6%95%B0

對於一個三維多面體，頂點數－邊數＋面數＝2，幾乎不用管這個多面體具體長什麼樣。

這個定義可以推廣到其他東西上，這裡有一張歐拉示性數的表 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic#Examples 可以看到：

圓盤是 1，線段是 1。對拓撲學來說，他們是「一樣」的。
圓是 0，有個洞是 0（輪胎面），莫比烏斯帶是 0。對拓撲學來說，他們是「一樣」的
另外，球面是 2，兩個洞是 -2，三個洞是 -4，克萊因瓶是 0。

雖然拓撲不變，但是光靠一兩個拓撲性質，不能倒推出到底是什麼空間。不過，由這些拓撲不變性質，已經可以獲得很多信息了。而拓撲的動力，就是用盡量簡潔的形式，盡量全面地去描述拓撲空間。

拓撲學和很多其他數學分支緊密聯繫。

比如上面提到的多面體，就是組合學和幾何學的分支，經常會使用拓撲方法。這是我現在的專業。

Morse 理論是用微分方程來研究拓撲性質 http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory。

另外非常重要的同調論，用的是代數方法 http://en.wikipedia.org/wiki/Homology_theory。

拓撲的一大優勢是，民科幾乎從不出現。