請問一下關於量子光學、量子信息中的主方程問題？

01-02

我看到一個關於主方程的介紹（圖片附件），但是有一個地方沒看懂：
他說等號右邊的求和項表示系統可能發生的躍遷，但是在隨後的解釋中，再次說了求和項中的第一項表示可能的量子躍遷，可是第二、三項他卻說是are needed to normalize properly the case in which no jumps occurs。這句話是什麼意思呢，我的理解有些跟不上來，他上文不是說整個求和項不都是代表著可能的躍遷嗎，為什麼求和中的第二三項的解釋中竟然有no jumps這樣的字眼呢。
請哪位大神來幫忙解釋下唄，謝謝啦。要是能在說明一下關於主方程的意思以及用法那就更好了哦。謝謝，謝謝。

居然在知乎上看到本行問題。驚呆。

從主方程看出是否有躍遷的方式就是左右作用 $langle i|,|i angle$ 看 $frac{dlangle i| ho|i angle}{dt}$ 是否和 $langle i$ 有關。你去看下維基百科（英文）就發現，你給出的是對角化的Lindblad equation，最原始的，也就是通常大家所用的是非對角化的形式：

（之所以有 $N^2-1$ 項是因為 $A_n=|i anglelangle j|， i,j=1sim N$ ，共 $N^2$ 項，而由於 $Sigma|i anglelangle i|=1$ ,所以其中一項如 $|1 anglelangle 1|$ 可以用單位矩陣 $I$ 和其餘的 $|i anglelangle i|$ 表示，而 $I ho I-frac{1}{2}{I, ho}=0$ ，所以 $|1 anglelangle 1|$ 這一項可以合併入其他 $|i anglelangle i|$ 項中，這才變成了 $N^2-1$ ）。考慮一個二能級系統，基矢 $|a angle,|b angle$ ， $A_1,A_2$ 分別為 $|a anglelangle b|,|b anglelangle a|$ ，係數 $h_{mn}$ 就是躍遷速率。Lindblad equation耗散項的第一項是： $dot hosim|b anglelangle a| ho|a anglelangle b|+|a anglelangle b| ho|b anglelangle a|+|a anglelangle b| ho|a anglelangle b|+|b anglelangle a| ho|b anglelangle a|$ ，方程兩邊作用 $langle i|,|i angle$ 得 $langle a|dot ho|a angle simlangle b| ho|b angle$ ， $langle b|dot ho|b angle simlangle a| ho|a angle$ ，即激發態（基態）的佔據數變化和基態（激發態）佔據數成正比，激發態（基態）的佔據數從基態（激發態）來，所以第一項叫躍遷項。二、三項為 $dot ho sim -frac{1}{2}( |a anglelangle a| ho+|b anglelangle b| ho+ ho|a anglelangle a|+ ho|b anglelangle b|)$ ，所以 $langle a|dot ho|a angle sim-langle a| ho|a angle$ ，這一項並沒有告訴我們減少的 $langle a| ho|a angle$ 去哪了，但和第一項合併可得 $ho$ 是traceless，所以叫"normalize" 。這裡"jumps"指的是電子躍遷至高能級，事實上，這裡無論是jumps還是decays，整個主方程都被"normalized"了，所以作者這裡的表述確實引起了誤解。

關於主方程的幾點：

1，Lindblad主方程是把最原始的主方程（長得像海森堡方程的那個）像Born近似那樣做一個二階展開，自然而然的推出的結果。

2，用能量本徵態寫出的主方程一般都是非對角化的，對角化的主方程的作用是用來判斷主方程是否具有正定性。

3，主方程的用法可以參照Scully的Quantum Optics第八章（菜鳥向），或者Ficek的Quantum Interference and Coherence第二章（進階項），以及Agarwal的Quantum Statistical Theories of Spontaneous Emission and their Relation to Other Approaches（大師級，然而沒啥用）

謝邀。

我的理解就是這個項得保證 $0leq Tr{ ho}leq1$ 。也就是某些時候你需要在 $mathcal{M}[ ho]$ (Kraus operator)作用之後對態normalize一下: $ho ightarrow frac{ ho}{Tr{ ho}}$ ，或者說，就是保證 $ho ^dagger = ho ightarrow mathcal{M}[ ho]^dagger=mathcal{M}[ ho]$ 。如果我猜的沒錯，你看的是preskill的講義的舊版本，就是講義里的 $K$ 得是厄米的。

實際上的quantum noise很多種類，時常是要按需求決定的，你這裡寫得是比較通用的，最簡單的一種，適用條件是:

1、初態是可分的，系統和環境在初始狀態下沒有糾纏，即總密度算符可以寫成系統和環境的直積: $ho_{total}= ho_{sys}(0) otimes ho_{env}$

2、相互作用足夠弱，環境的尺寸足夠大，系統的變換不足以導致環境的躍遷，以致於任何時候環境和系統是可分的: $ho_{total}(t)= ho_{sys}(t) otimes ho_{env}$

3、馬爾科夫近似，耗散的等效作用時間極短，或者說環境的關聯函數衰減得很快，即 $<O^{dagger}_{env}O_{env}>sim e^{-1/ au_{env}}$ ， $au_{sys}>> au_{env}$

4、旋波項全部可以忽略，即 $au_{sys}<<frac{1}{left| w_{final}-w_{initial} ight|}$

preskill的quantum noise講得令我不是特別滿意啊。

在現實世界中，一個量子系統總會和其它系統（經典/量子）發生耦合，因而被稱之為開放系統，其演化一般不滿足薛定諤方程，而由主方程來描述。

圖中的方程是非含時的Lindblad主方程。它有兩個推導思路。

數學上，可以直接由系統的dynamical map出發，假設其半群性質而推導出來。這一般是數學物理學家喜歡的方式。

物理上，從模型的哈密頓量出發，藉助所謂Born-Markov近似，可以推導出來。在量子光學中，這一形式的方程被大量使用。一般用於描述某類Markovian過程，比如Spin-Boson模型下簡單的pure-dephasing過程。

但這個方程本身並不是最一般的主方程形式，即使是Markovian過程，它也僅刻畫了非含時的情況。大概因為這本書是入門介紹，所以只考慮了這一種可能。但幾乎所有的time-local主方程，在弱耦合條件下，都和這個方程形式上類似。

至於方程本身的解釋，第一項 $[H , ho]$ 中的 $H$ 是與系統有關的哈密頓量（並不是系統的全部自由哈密頓量），描述U演化過程；後面三項整體用於描述由環境耦合引起的退相干/耗散過程（一般是非U的過程），而不是考慮單個項的物理意義，因而主方程也通常記為

$dot{ ho} = - i [H, ho] +sum_j {mathcal D}[L_j] ho , ; quad {cal D}[L] ho = L ho L^dagger - frac{1}{2}L^dagger L ho - frac{1}{2} ho L^dagger L$

這裡每個 $L_j$ 都是系統的運算元，表徵系統和環境耦合的通道，而並不局限於描述quantum jumps；j則是用於標記通道。實際上，jumps在這裡的使用並不準確。開放系統中jump/diffusion過程的刻畫，涉及到quantum trajectory理論，後者不依賴於密度矩陣，而是考慮態矢量在希爾伯特空間中的隨機演化。

如果想更深入的理解，推薦參考The Theory of Open Quantum Systems這本書。

Lindblad是做了Markov近似以後的系統演化方程，對於non-markopian的環境，可以參考

Colloquium

Dynamics of non-Markovian open quantum systems

從Lindblad master equation對於系統在non-Markovian環境下的演化，可以讀到一組Kraus operators, 這組Kraus operators可以看成是對系統演化的unravel,即解釋系統發生哪些jump以及各自的概率是多大。並且Kraus operators的選取是不唯一的，即同一個Lindbald master equation,可以許多不同的unravel的方式。

The point is that one unravel the Lindblad master equation with a set of Kraus operators and the choice of the Kraus operators are not unique. This allows one to have physical interpretation what the Lindblad master equation means. The concept of unravelling a master equation is also mentioned somewhere in BreuerPetruccione"s book The Theory of Open Quantum Systems. But I don"t remember where in the book.

舉一個簡單的例子建立intuition

如果一個qubit（沒有哈密頓量演化）在收到bit flip channel下的Lindblad master equation是

很容易驗證，一組Kraus operators

可以用來unravel 這個Lindblad master equation。原因如下：

First, check the normalization of the Kraus operator:

The probability of having measurement outcome 0 is

, the state after measurement given measurement outcome 0 is

and the probability of having measurement outcome 1 is

the state after measurement given measurement outcome 1 is

the Kraus operators provide a physical intepretation of the Lindbald master equation of the bit flip channel:

For small time interval dt, there is probability

that no jump operator

will act on the qubit (which is trivial, just change the normalization) and probability

that the jump operator

will flip the qubit.

Furthermore, in the no jump channel, the state does not change. However, this is not the general case. In the unravelling of the Lindbald master equation of spontaneous emission, the state still undergo dephasing even if no jump happens. This is also why in quantum optics both pure dephasing and spontaneous emission will contribute to

(A misconception is that spontaneous emission only leads to

I think what preskill means is that in the general case the state for no jump process still undergo evolution, so renormalize the state in no jump process is necessary. More on this issue, Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons

抱歉辦公室電腦，中英文切換太麻煩。有空再來細答和補充。你需要的話，我上一個自己的note.