除了1和144，還有哪個斐波那契數是平方數?

01-02

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233…
真的233了…
還有哪些平方數?如何求出所有平方數?

還有如果改變一下初始兩項有沒有可能在a(n+2)=a(n+1)+a(n)中找到無窮的平方數?

設第n項為 $d^2$ ，則 $(frac{1+sqrt{5}}{2})^n=frac{c+d^2sqrt{5}}{2}$

於是 $frac{c^2-5d^4}{4}=pm 1$

設 $x=5d^2,y=5cd$ 則

$y^2=x^3pm 20x$

然後查表得到所有的整點，最後得到 $x=5,720, d^2=1,144$

幫題主寫了一個小程序，從中可以看出進行100億數量級的斐波那契數列的運算也只有144和1啦

至於嚴謹的數學證明，還是各路大神來發現就好了

使用Mathematica在前20萬個斐波那契數進行了驗算，只有第1，2，12項是平方數：

fi = Table[Fibonacci[i], {i, 2 10^5}]; SqrtQ[num_, power_: 2] := Round@Surd[N@num, power]^power == num; li = SqrtQ[#, 2] /@ fi; Position[li, True]

至於第20萬個的斐波那契數長啥樣，讓你們感受一下：