群論和拓撲學有什麼關係？

01-02

求問，科普一下……
順便再問一下：中學學的數論，幾何；大學學的微積分，線性代數，圖論等內容，這些是不是都是建立在群論和拓撲學的基礎上的？

謝邀。

群屬於代數結構。拓撲裡面自然的有代數結構，比如拓撲空間上可以定義基本群、（上）同調群，還有拓撲空間的自同胚群，等等。代數結構的特點在於方便計算，方便比較；比如要確定兩個拓撲空間不同胚，你只需要算一下它們的基本群不一樣就行了；當然要證明兩個東西同胚就麻煩很多。。

群上面也可以帶拓撲結構，也就是所謂的拓撲群，一個群上面帶拓撲結構，或者說一個拓撲空間上面帶群結構，取決於你怎麼看，重點在於群運算要是連續的。拓撲群裡面有一個重要的子類是所謂的李群，裡面又有一個重要的子類叫做典型群（矩陣群），比如你在線代裡面可能接觸到的 GL(n), O(n), U(n)，等等，皆屬於這一類。

「中學學的數論，幾何；大學學的微積分，線性代數，圖論等內容，這些是不是都是建立在群論和拓撲學的基礎上的？」

這個問題我不知道怎麼回答。。因為問得太泛了。。中學學的數論主要用到的就是整除性質和同餘理論，並沒有牽扯到太多高層次的數學；中學的幾何主要是平面幾何、解析幾何、立體幾何，也是比較初等的數學，並不需要很現代的觀點；微積分跟拓撲有關，或者說微積分裡面的 $mathbb{R}^n$ 及其上的連續函數是一般拓撲學的「原型」；線代考慮的對象主要就是線性空間和線性映射，這裡面自然包含群，比如我上面提到的GL(n)等等，當然還有它自帶的加法群，不過這也太平凡了。。圖論的話，其實更多算是組合的範疇，圖論的命題並不需要你一定學過群論或者拓撲學才能看懂，當然圖論可以和它們扯上關係；數學裡面有交叉學科並不奇怪，圖論還可以和分析產生聯繫呢，比如圖上可以定義離散的調和函數，這個在領域內恐怕都是比較熟知的理論了。

最後說一句，為什麼老是要討論「學科之間的聯繫」這種虛頭巴腦的東西呢，自己去學、去體會，不是更有意思么？

和拓撲中的基本群（fundamental group）有許多關係。

比如：由 Cartan-Hadamard定理： the universal cover of a complete m-dimensional Riemannian manifold X of non-positive sectional curvature is diffeomorphic to R^m, in particular its universal cover is contractible.

由此人們會關注於 aspherical space: A manifold M is aspherical if it』s path connected and its universal cover is contractible.

再由 Whitehead』s Theorem： If a map f : X → Y between connected CW complexes induces

isomorphisms f? : πn(X) → πn(Y ) for all n, then f is a homotopy equivalence.

由 Whitehead』s Theorem, an aspherical CW-complex 由它的fundamental group決定, 由此，關於基本群就可以展開很多討論，相反人們會把一個群看成一個基本群，進而研究其對應manifold的性質進而研究這個群，Eilenberg–MacLane space就保證了這個的可行性。

又比如， Milnor-Sˇvarc Lemma，保證了在一定條件下（群G acts properly

and coboundedly on the geodesic metric space）這個群的Cayley graph就與這個geodesic metric space「相似」 (quasi-isometric).

這類的問題，基本上是屬於幾何群論的範疇，上世紀Gromov把很多微分幾何方面的想法概念引入了群論，做出了許多相關工作。

實際上，群論與拓撲學是描述空間的兩個性質。群論本質是描述空間的代數結構。而拓撲學描述的是拓撲結構。兩者有聯繫也有區別。

代數結構，通俗的說就是加減乘除。抽象一點說說，運算就是兩個集合A,B上元素到集合C上的一個映射。代數運算則是同一個集合A，其直積A×A到自身A映射。

而拓撲結構，簡單的說就是指一個空間B有沒有開集，實際上開集的抽象定義是一個集合（集族）中的元素，這個集合中一定包括B和空集，而且任意的集合中的元素，他們的無限交集，有限並集也在這個集族裡面。拓撲結構決定了空間點集的性質，其中一個就是極限。而代數結構則是點與點的關係。

因此，映射和集合是數學的基礎。

微積分是討論R到R上的映射（函數）的。也是比較簡單的理論。因為實數集R性質非常好，比如他是完備的。就是一個數列｛Xn｝，如果他們每個元素之間足夠接近（我們稱為柯西列），那麼他一定有極限。而線性代數中的矩陣，如果討論加法是一種特殊的群，討論乘法和加法是一個環。而n階可逆方陣組成的集合對於乘法又是群。

可見群的範疇很廣泛。

圖論跟群論，拓撲也有關係。但是本人還沒學到相關知識。

最後重複下，數學的基礎是集合和映射。但是不同的數學強調不同的側面。所以沒必要糾結什麼最重要。

線性代數指的是《線性代數》課程，還是線性代數這門學問？

廣義的講，線性代數就是主理想整環上的模論。所謂模，就是環在一個交換群上的作用。

數學系學線性代數的課程叫做《高等代數》，講到課程中最深刻的問題——矩陣在相似關係下的分類時，大多數教材規避了模的語言，用$lambda$-矩陣的方式講。

工科線性代數課程的所有問題都能歸為對線性方程組解的討論。

題主大概可能是高中生吧……隨便說兩句，不要追求弄懂一些高大上的名詞，踏實學下去。有朝一日回頭看自然會有一覽眾山小的感覺。什麼是群，什麼是拓撲，讓一個高中生要明白定義也不難，但是越看越迷糊是一定的。還沒有充足的例子來理解，也沒有足夠的數學素養。其實高中生就有了群論（抽象代數）大部分的預備知識，但是很少有高中生學的會，這也是數學專業在本科高年級才開設這些課的原因。