請推薦黎曼幾何的教材?

01-02

我問一個愚蠢的問題。我以前學黎曼幾何用的是Docarmo寫的書，說實話，我沒有學懂。我覺得關鍵在於我對這本書上的用的語言比較抵觸吧。而後來我試圖系統的學了下復幾何，主要看的是Daniel Huybrechts這本書，同時看GH和Demailly的書作為補充材料，復幾何研究的對象是複流形或者更特殊，凱勒流形，當然也會定義connection，curvature form，holomorphic sectional curvature這些概念。這本書上用的語言比較現代，比如說一個vector field會說成是section of tangent bundle,一個form會說成是section of cotangent bundle,從我個人的背景來說，我對這種語言比較舒服，Demailly的書上也有部分內容把covariant derivative看成是一個pull back of tangent bundle along geodesic上誘導的connection.總之就是各種概念，形式上比較統一，或者說比較compact，或者說語言更代數一些，正是由於語言更代數一些，所以有時候可以假裝是代數幾何中的對象，然後可以知道某些map把什麼東西打到什麼地方，比較清楚。所以我的問題是，有沒有用比較現代的語言講黎曼幾何的書或者notes，語言比較統一的，還是說壓根就不存在這樣的treatment，因為加了復結構的黎曼流形，比如Kahler manifold就更容易研究一些，更加代數一些。我是微分幾何小白，謝謝

我學幾何，第一本書是陳省身的《微分幾何講義》，感覺很喜歡他的風格，然後就一直看，最後發現並沒有講黎曼幾何，而是把黎曼幾何中很多內容放在最後一章芬斯勒框架下了。

一開始覺得不喜歡伍鴻熙的，感覺沒什麼計算，操作性不強。就一直沒讀，就讀了點Gallot的《Riemannian geometry》，計算豐富。也因為需要看過一部分Peterson，這本真是經典之作，內容全面，計算多並且脈絡也清晰，相比其他經典黎曼幾何教材，作者加入了比較新的東西(應該最新是截止到02年左右的文章)。

再後來，覺得伍鴻熙的書真的很棒，一點點經驗就是，如果不想讀大部頭，讀黎曼幾何入門就找一本計算比較豐富的，然後會算以後再讀伍鴻熙。

最後，就是到現在回頭總結的話，最喜歡的微分幾何書就是KobayashiNomizu兩卷本了。真正的微分幾何角度，包括寫複流形的時候，也是站在微分幾何立場，側重聯絡和曲率。讀起來和Kodaira完全不一樣的感覺了，感覺Kodaira看起來是以他的消滅和嵌入為目的來寫複流形的(個人見解瞎說的╮(╯▽╰)╭您比我懂多了2333)。另外我也很喜歡Demailly「Complex Analytic and Differential Geometry」的風格，但是沒看過多少。

額，沒有現代一些的。

最基本的，第0步就是定義導數也就是定義聯絡，

在全純bundle給一個上Hermite度量有一個唯一的Chern connection

在黎曼流形的切從上有一個唯一的Levi Civita connection

你學習第一步是明白Kahler manifold是很特殊的黎曼流形,因為他切從的一半 $T^{1,0}$ 上面有兩個Connection,一個來自於度量誘導的Hermite度量產生的Chern connection,另外來自於自身度量誘導的Levi Civita connection的復化，兩個Connection一樣的。

這樣就是為什麼黎曼幾何可以在Kahler geometry 上一展身手。

不知是否理解對，任何關於Gauge theory的幾何的書都會採用更高級的語言，

比如起始，一個metric 就是一個從GL(n) principal bundle 到 O(n)的reduction. 如果是oriented的話，就可進一步到SO(n). 還可以lifting到Spin(n)就有了spin structure,可以定義Dirac operator.

Coviariant derivative也就是Lie algebra-valued的1-form. Curvature就是它的外微分再加個項.　再往上就可以用curvature定義示性類(chern-weil theory), 如果有橢圓微分運算元的話就可以計算指標了.

可以參見differential analysis on complex manifolds,我覺得是從黎曼幾何入手，但第二章就專門引入了sheaf. 或許對於題主來說還是太不代數了?

Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity

Barrett O"Neill

如果想學黎曼幾何與相對論，一定不要錯過這本。在Petersen的書中都提到過，這是他見過的寫的最好的黎曼幾何教材。完爆梁燦彬。

我看的書不多，絕大部分是中文的（英語不好外加沒錢買原版書的傷不起）。不清楚哪些可以算是題主所說的「現代語言」，我就我看過的說一下哈。

比如在我看過的書里，陳省身的那本用語就比較統一，統一用外微分式的語言來寫聯絡曲率等的，不知道這個是否符合題主所說的「現代語言」。但我總感覺那個書內容太少了，每一章剛看出點感覺它就結束了。伍鴻熙的書用語不是很講究，但比較有啟發性。

就我的個人感覺（只是個人感覺哈）而言。一個書如果需要講很多纖維叢幾何的東東，往往對各種section呀bundle呀projection的描述比較仔細和準確，因為如果用語比較隨便的話，寫著寫著就亂套了。如果一個書主要想介紹幾何分析，這方面描述就不那麼將就了，涉及到的大部分是分析和pde。對於他們的問題而言，用向量場張量場來寫，還是用外微分式來寫，還是用bundle和section來寫，沒有多少差別。

基礎的就不說了上課好好聽就行

Morse Theory (Annals of Mathematic Studies AM-51) (豆瓣) 這本書基本self contained。算是一本好的引導書，學幾何的必看。

Riemannian Geometry (豆瓣) 很多人看黎曼幾何其他書看了半天看不懂的看這個肯定懂

Riemannian Geometry and Geometric Analysis (豆瓣) 現代的教科書

Riemannian Geometry (豆瓣) 可以翻翻

黎曼幾何 (豆瓣) 缺點就是太老了

1，2必看其他隨便翻翻就行

docarmo的書都不能看明白的話，我很懷疑題主後面描述的那些東西你能看懂。因為後面的東西更加抽象。

學幾何，基本的黎曼幾何（含經典微分幾何）是繞不過去的。

推薦j m Lee，很薄很簡單。或者milnor，絕對有用。

我不確定kobayshi-Nomizu是不是適合你？那兩卷書想對會形式化很多

對黎曼幾何而言，語言什麼的並不那麼重要。

我就不說甚至各種書里曲率的定義都不一樣(有時候差一個符號)……這都沒關係，能明白就是了，沒必要太過追求語言的一般化。

因為黎曼幾何中真正困難的地方不是因為語言不夠廣泛，而是因為那裡面繞不過去的東西往往是很艱深的分析(pde)，真的不是別的什麼…題主不用太糾結，隨便找本書念懂了就行了。

弱弱答一下，伍鴻熙那本行嗎？

講道理，覺得Huybrechts不是特別好讀吧，語言太精練了。

我覺得是不是可以直接看一些講義？

Joyce的講義我覺得可以，不知是否能試一下？

推薦Gallot-Hulin-lafontain.

我是一個無比痛恨微分幾何的人，其程度甚至超過分析。而這本書甚至對我來說都是讀起來比較舒服的。所以不妨試試看？

為什麼沒有人說白正國的那本

Jost的書寫的挺好的。

沒有人提John Lee難道是因為太簡單了么。。我覺得他的書都寫的蠻好的

kobayashi（小林）的FDG應該是BIBLE級別的