如何理解拓撲超導和 Majorana 費米子？

01-02

Pinceton大學Yazdani等研究組先後報道在拓撲超導中觀測到了Majorana費米子（Majorana費米型元激發）[1]。拓撲超導區別於普通超導的拓撲本性（topological nature）如何體現（數學/固體理論角度）？Majorana費米子和Majorana費米型元激發又該如何理解？
[1] Nadj-Perge S, Drozdov I K, Li J, et al. Observation of Majorana fermions in ferromagnetic atomic chains on a superconductor[J]. Science, 2014, 346(6209): 602-607.

現有的答案都沒怎麼仔細講，我試著做一個最簡單介紹吧。

首先，Majorana fermion的定義是一個粒子是它自身的反粒子。用二次量子化的語言，可以寫成

$gamma=gamma^dagger$

從這一點出發我們可以在最簡單的模型中構造Majorana fermion。

考慮一個Hamiltonian具有single bound state

$H=-frac{1}{2m}frac{partial^2}{partial x^2}-Vdelta(x)$

它只有一個負能量的態

$psi(x)=exp(-|x|/xi)$

以下我們只考慮系統的這個負能量束縛態。在many-body Hilbert space中，它的energy spectra為

$|0 angle, E=0$ $|1 angle=c^dagger|0 angle, E=-epsilon$ $egin{aligned}$

這個Hamiltonian中實際上就隱藏著Majorana。我們可以定義算符

$gamma_+=c+c^dagger, gamma_-=-i(c-c^dagger)$

它們都是實算符

$gamma_pm=gamma_pm^dagger$

平方為1

$gamma_pm^2=cc^dagger+c^dagger c=1$

滿足反對易關係

${gamma_+,gamma_-}=0$

顯然這兩個就是Majorana算符。但是這兩個算符完全沒有意義，因為它們互相耦合在一起，同時出現。用這兩個算符可以把Hamiltonian寫作

$H=-epsilon c^dagger c=-epsilon/2cdotgamma_+gamma_-+ m{const}$

再考慮一個稍微複雜的情形。如果有兩個 $delta$ 勢阱，Hamiltonian寫作

$H=-frac{1}{2m}frac{partial^2}{partial x^2}-Vleft(delta(x-L/2)+delta(x+L/2) ight)$

對這個問題取兩個基函數

$psi_{l,r}=exp(-|xmp L/2|/xi)$

進一步把Hamiltonian寫成二次量子化形式

$H=-epsiloncdot(c_l^dagger c_l+c_r^dagger c_r)-J(c_l^dagger c_r+ m{h.c})$

這其實與固體物理中的緊束縛近似非常相似。變換成Majorana算符的形式

$H=-epsilon(igamma_{l+}gamma_{l-}+igamma_{r+}gamma_{r-})-J/2(igamma_{l-}gamma_{r+}-igamma_{l+}gamma_{r-})$

我們此時有了一個toy model，這個玩具所有的參數都是可以人為調節的。可以看到如果令 $epsilon=0$ ，Majorana算符l-和r+ couple在一起，l+和r- couple在一起，而不是同一個site的Majorana算符配對的平凡情形。

我們的目的就是把兩個Majorana算符分離開。考慮減掉上圖的一條相互作用線，把模型寫作一個鏈，Hamiltonian為

$H=frac{1}{2}sumlimits_i {(-iepsilongamma_{i+}gamma_{i-}-iJgamma_{i+}gamma_{(i+1)-})}$

再次令 $epsilon=0$ 。Majorana算符現在是分離的。再重新定義新的產生湮滅算符

$d_i=gamma_{i+}+igamma_{(i+1)-},d_i^dagger=gamma_{i+}-igamma_{(i+1)-}$

此時在兩邊剩下了兩個zero modes

$[H,gamma_{0-}]=[H,gamma_{L+}]=0$

這時我們找到了兩個Majorana edge modes. 如果反過來，令 $J=0,~epsilon e 0$ 又會變成平凡的情形。這兩個情形分別對應topological non-trivial和trivial的相。

再回到原來的Hamiltonian。對同一個site的Majorana算符定義產生湮滅算符

$c_i=frac{1}{2}(gamma_{i+}+igamma_{i-}),c_i^dagger=frac{1}{2}(gamma_{i+}-igamma_{i-})$

得到Hamiltonian的形式為

$egin{aligned}H=sumlimits_i{left[-epsilon c_i^dagger c_i-frac{J}{2}(c_{i+1}-c_{i+1}^dagger)(c_i+c_i^dagger) ight]}\=sumlimits_i {left[-epsilon c_i^dagger c_i-frac{J}{2}(c_{i+1}^dagger c_i+ m{h.c.})+frac{Delta}{2}(c_{i+1}^dagger c_i^dagger+ m{h.c.}) ight]}end{aligned}$

這裡假設了 $Delta=J$ 。這就是所謂的Kitaev chain。更通常的寫法是

$H=-musumlimits_i {c_i^dagger c_i}-frac{1}{2}sumlimits_i{(tc_i^dagger c_{i+1}+Delta e^{iphi}c_{i+1}^dagger c_i^dagger+ m{h.c})}$

每一項都有非常清楚的物理意義。第二項求和中第一個是nearest neighbor hopping，第二個是proximity effect induced superconductivity。注意到我們從頭到尾都沒有標自旋指標，也就是模型是spinless的，暗示著超導必須是p-wave形式才可以。

上面已經說明了這個Hamiltonian可以有兩個不同的拓撲相，接下來仔細分析這個Hamiltonian。

它具有Bogoliubov-de Gennes方程的形式，引入Nambu spinor

$C_k^dagger=[c_k^dagger,c_{-k}]$

把Hamiltonian寫成標準BdG方程形式

$H=frac{1}{2}sumlimits_{kin m{B.Z.}}{C_k^dagger {mathcal H}_{ m BdG}C_k}$ ${mathcal H}_{ m BdG}=left(egin{array}{cc}epsilon_k{ ildeDelta}_k^*\{ ildeDelta}_k-epsilon_kend{array} ight)$

其中

$egin{aligned}epsilon_k=-tcos k-mu\{ ildeDelta}_k=-iDelta e^{iphi}sin kend{aligned}$

對角化得到

$H=sumlimits_{kin m{B.Z.}}{E_{bulk}(k)a_k^dagger a_k}$

其中 $a_k$ 是Bogoliubov准粒子

$a_k=u_kc_k+v_kc_k^dagger$ $u_k=frac{{ ildeDelta}_k}{|{ ildeDelta}_k|}frac{sqrt{E_{bulk}+epsilon_k}}{sqrt{2E_{bulk}}},v_k=frac{E_{bulk}-epsilon_k}{{ ildeDelta}_k}u_k$

bulk激發譜為

$E_{bulk}(k)=sqrt{epsilon_k^2+|{ ildeDelta}_k|^2}$

當體系的化學勢調為

$mu=t~{ m or}~-t$

系統是無能隙的，暗示可能會發生拓撲相變。

體系的拓撲性質可以由winding number來確定。Hamiltonian寫成Pauli矩陣之和

${mathcal H}_{ m BdG}={m h}_(k)cdot {msigma}$

在 $msigma$ 空間中有以下可能的情況

由於體系的對稱性可以用一個更簡單的公式來確定拓撲

$u={hat{m h}}(0)cdot{hat{m h}}(pi)$

+1和-1分別對應strong paring state和weak paring state。

實際上可以進一步解出topological non-trivail的態在兩邊具有Majorana zero modes。此時的體系的狀態是拓撲超導體。

以上就是1D Kitaev chain的介紹。說明了在1維p-wave超導體中可以有兩種拓撲不同的相。非平凡的拓撲可以在邊界處產生Majorana zero modes。

拓撲超導體是更廣義的SPT(symmetry-protected topological) order中的一類。序(order)是凝聚態物理中很重要的一個概念。通常人們最熟悉的Landau理論中的序參量。隨著對高溫超導和分數量子霍爾效應等現象的了解，人們意識到Landau理論不能描述所有可能的order，提出了Topological order的概念。而Symmetry protected topological order顧名思義是由對稱性保護的拓撲序（嚴格的說SPT order和topological order並不一樣，可以參考wikipedia的解釋）。

p-wave超導體中具有particle-hole symmetry，可以參考KaneHasan在Review of Modern Physics上的文章，這裡簡要摘錄一下

當然這種對稱性對Hamiltonian還有更具體的要求，詳情請閱讀原文章。

上圖描述的是一維超導體的邊界態。由於particle-hole symmetry的要求，能量E處如果有edge states則-E處也會有。一維拓撲超導體則有拓撲保護的零能態，即在兩端存在Majorana zero modes。

更多SPT態的分類見下表

上面的小字解釋了如何看這張表。表的最左邊是系統對稱性的分類。 $Theta$ , $Xi$ 和 $Pi$ 分別表示不同的對稱性。舉幾個例子，在A類中沒有任何對稱性，只有在二維情況下有拓撲分類，比如IQHE。Z2拓撲絕緣體有時間反演對稱性，對應於AII類，二維和三維都有Z2拓撲類。剛才描述的拓撲超導體則屬於D類或DIII類，一維都具有Z2拓撲類，分別是trivial和non-trivial兩種。

待續

Ref:

[1] A. Yu Kitaev, Unpaired Majorana fermions in quantum wires, Phys. Usp. 44, 131 (2001).

[2] J. Alicea, New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems, Rep. Prog. Phys. 75, 076501 (2012).

[3] M. Z. Hasan and C. L. Kane, Colloquium: Topological insulators, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).

[4] Gil Refael"s notes on Majorana physics.

王少莘寫的詳細回答很好，可以當作不錯的入門介紹。因此以下內容承接他的回答作深化介紹，感興趣的人歡迎閱讀和交流。[*]

實際上凝聚態裡面關於Majorana這個概念被提出來還有著更為深刻的圖像和意義，而更進一步的認識比較難（至少我個人這麼覺得），然而卻非常美妙。這種更深層次的思考角度就如問題下面Andrew Shen的評論："why we need Majorana fermions in CMP? What insight does these emergent particles give us?"

所以在談及對這個概念的理解之前，我們要先明白自己在研究什麼問題，因此把握這裡面的物理圖像十分重要；然後我們才能進一步思考這意味著什麼：

Majorana費米子與超導體

什麼是Majorana費米子，先從量子場論裡面最初描述費米子場的Dirac方程來講起：

$(igamma^mupartial_mu-m)psi=0$

在Dirac表象 $gamma^mu$ 下（Clidfford代數的一種表示），得到復費米子場解，稱為Dirac費米子。後來 Ettore Majorana 提出了Majorana表象 $widetilde{gamma}^mu$ ，在這種表象下面Dirac方程變為實的場方程，於是費米子場解也變成了實的 $widetilde{psi}=widetilde{psi}^*$ 。而Majorana表象和所有其他的gamma矩陣表示總能通過一個幺正變換聯繫起來 $gamma^mu=Uwidetilde{gamma}^mu U^dagger$ ，也意味著廣義上所有gamma矩陣表示下解出的普遍的費米子場都可通過對在Majorana表象下的Dirac方程的實費米子場解作相應的幺正變換得到 $psi=Uwidetilde{psi}$ 。那麼為了讓實費米子場條件在任何的gamma矩陣表示下都成立，就要求 $U^daggerpsi=(U^daggerpsi)^*$ ，於是直接導出了費米子場的電荷共軛等於自身 $psi^c=mathcal{C}psi^*=psi$ 的條件，滿足這樣電荷自軛條件的費米子就是Majorana費米子 ${}^{[1]}$ 。所以說Majroana費米子和Dirac費米子一樣也是有自旋1/2的電中性費米子場，它符合自旋-統計定理。接下來，那超導體裡面的Majorana費米子又是什麼？從描述所有超導的4×4含時BdG方程來看，它也可以通過一個幺正變換化成實形式，或者說BdG哈密頓量本身具有電荷自軛條件——粒子空-穴對稱性 $mathcal{C}^{-1}hmathcal{C}=-h^*$ （在凝聚態系統裡面我們的理論失去了Lorentz對稱性，因此這裡的電荷共軛算符以及場旋量表示都和標準的量子場論有所不同）。那麼BdG方程的場解描述的就是Bogoliubov准粒子場（四分量Nambu旋量波函數） $psi=(psi_e,psi_h)^T$ ，直接類比於Majorana費米子場自軛條件說明它具有Majorana費米子性質的本質，這就可以說超導體中Majorana費米子其實正是具有粒子-空穴對稱的Bogoliubov准粒子（而這在任何超導體裡面都存在）。所以不是因為別的正是費米子統計性質加上超導屬性使得Majorana費米子出現 ${}^{[2]}$ 。只不過在近幾十年科研中，凝聚態物理學家們通過類比Majorana方程的實費米子場解把電中性的並且其反粒子是自身的實費米型准粒子稱作Majorana費米子（也即波函數是實的），這等價表述為要求粒子態的算符厄米共軛等於反粒子態的算符，因為這兩個態必須是等價的（因此粒子-空穴對稱性也稱為數學冗餘）。

那容易檢查普的電子對單重自旋態配對s-波超導裡面Bogoliubov准粒子（電子和空穴的疊加態）算符 $gamma_{ksigma}=u_k c_{ksigma}+v_{-k}c_{-k,-sigma}^dagger$ 並不符合這樣的性質（同樣BdG方程解出來的波函數也是復的），但是非常接近了，只差在自旋上——這是由於普通s-波超導體具有自旋旋轉對稱性。于是之前雖然說Bogoliubov准粒子是電荷自共軛的，但在這樣的定義下其Majorana性質被自旋旋轉對稱性隱藏了起來 ${}^{[16]}$ 。因此只要在破壞此對稱性使得自旋不守恆（例如存在自旋極化或者自旋耦合機制）的體系裡面，就可以確切嚴格地通過粒子-空穴對稱性證明BdG方程是實的（其解也就是實的），於是就跟Majorana方程完全對應起來 ${}^{[3],[15]}$ 。最早的例子是在自旋三重態的 $p$ -波超導體和 $^3 ext{He}$ 超流體裡面的Bogoliubov准粒子就可等效視為無自旋粒子，然後由於粒子-空穴對稱性滿足 $gamma^dagger_E=gamma_{-E}$ [**]。這就可以實現如此物理圖像的Majorana費米子，因而理論描述上也可以不需要旋量構造。另外這種中性無自旋的費米子顯然也不遵守具有Lorentz對稱性的量子場論裡面的自旋-統計定理，這是自然的，畢竟這裡的凝聚態系統裡面本來就不具有Lorentz對稱性。由此可見，現在人們對凝聚態系統裡面說的Majorana費米子實際上算是對一般標準的（或者有人說這是高能物理的）量子場論對Majorana費米子場定義的放寬或弱化。

Majorana束縛態/零模

進一步我們已經知道超導在加磁場時可以出現渦旋結構，而且這種拓撲缺陷可以束縛准粒子在裡面：加了磁通後出現的渦旋中區域序參量就接近零，因此圍繞著渦旋也就形成邊緣態，這些低能的束縛態的空間分布隨著離渦芯的距離增大呈指數衰減。而這個閉合的邊緣態的動量取值因為邊界條件而離散化——也即量子化能級的束縛態；而渦芯中磁通量子數的奇偶則影響著費米子波函數 $Psi(x)sim e^{i q_mcdot x}$ 轉一圈的邊界條件，如果邊界條件取為反周期性的 $Psi(L)=(-1)^{p+1}Psi(0)$

束縛態波函數能級 $E_{q_m}sim v q_m$ 中離散動量根據邊界條件產生移動為 $q_m=frac{pi}{L}(2m+p+1)$ ，於是就有零能態（所謂的費米子零模）出現的可能。

而實現這個情況，BdG方程中超導配對勢必須是反對稱的，也就是說BCS波函數的軌道部分是反對稱的（最簡單的情況為 $l=1$ p波），而我們知道波函數是滿足費米子反對稱的，於是軌道部分與自旋部分的奇偶性相反，所以自旋部分就得是自旋三重態。在這樣的 $p_x+ip_y$ 超導體裡面解帶有渦旋序參量的BdG方程就會得到零能解 $^{[12]}$ （對於費米子零模，最早的研究來自於高能物理領域中R. Jackie和C. Rebbi對Dirac費米子與Yang-Mills場論的孤子解 $^{[13]}$ ）。

這就是人們在所謂拓撲超導系統（如上面提及的手征 $p$ -波超導體）裡面提出以及發現的是所謂Majorana束縛態（Majorana零模）。那麼其算符這個時候從之前的Bogoliubov准粒子算符約束到零能得出 $gamma_0=gamma_0^dagger$ ，正好是厄米共軛等於自身 $^{[4]}$ 。只不過實現這種奇特的相態的材料本身都相當不尋常：例如最早的手征 $p$ -波超導體材料是銣氧化合物 $ext{Sr}_2 ext{RuO}_4$ ； $^3 ext{He}$ 超流相有A、B兩相，Majorana零模則作為Andreev束縛態出現在B相表面。於是物理家們一直致力於提出更容易實現的材料以及結構，這就有了後面一系列拓撲超導體的理論工作。[***]

Majorana零模的量子特性與拓撲量子計算

拓撲超導/超流體裡面出現的Majorana零模的性質和之前我們熟知的Majorana費米子的性質實際上很不一樣；由於它也還遵守費米子算符的反對易規則 ${gamma,gamma^dagger}={gamma,gamma}=1$ ，所以我目前為了大家的習慣還是暫時繼續稱這樣的實費米子算符描述著一種Majorana費米子（看到後面會知道它到底是什麼）。而相對於Dirac費米子（復費米子），這種Majorana(實)費米子只有一半自由度；這可以從其構成的Hilbert空間來看，一個二維Hilbert空間有兩個基矢 $|0 angle,|1 angle$ （也就是一個量子比特），這個空間可以描述一個復費米子

$c^dagger=|1 anglelangle 0|=sigma^-$

$c=|0 anglelangle 1|=sigma^+$

或者等價地描述兩個Majorana(實)費米子

$gamma_1=c+c^dagger=|1 anglelangle 0|+|0 anglelangle 1|=sigma^x$

$gamma_2=-i(c-c^dagger)=sigma^y$

推廣到 $N$ -復費米子系統 $|n_1,n_2,cdots,n_N angle$ ，相應地有 $2^N$ 維Hilbert空間 $mathcal{H}=igotimes_{i=1}^Nmathcal{H}_i$ ，於是也同樣可以拆成 $2N$ -實費米子算符表示

$gamma_{2i-1}=c_i+c_i^dagger=underbrace{sigma^zotimescdotsotimessigma^z}_{i-1}otimessigma^xotimesunderbrace{Iotimescdotsotimes I}_{N-i}$

$gamma_{2i}=-i(c_i-c_i^dagger)=underbrace{sigma^zotimescdotsotimessigma^z}_{i-1}otimessigma^yotimesunderbrace{Iotimescdotsotimes I}_{N-i}$

從這可以看到該Majorana費米子算符的非局域性特徵：由多個子空間共同決定這樣一個態。

費米子宇稱(fermion parity)算符可寫為：

$mathcal{P}=(-1)^{F}=(-1)^{sum_{i=1}^Nn_i}=iprod_{i=1}^Ngamma_{2i}gamma_{2i-1}=(-i)^Nprod_{i=1}^{2N}gamma_i=underbrace{sigma^zotimescdotsotimessigma^z}_{N}$

任何費米子系統的費米子數都守恆，所以哈密頓量也就保持費米子宇稱 $[mathcal{P},H]=0$ ；而單個Majorana費米子算符與費米子宇稱反對易 ${gamma_i,mathcal{P}}=0$ ，所以這樣用這樣的Majorana費米子表示的系統中，Majorana費米子總是成對出現， $2N$ 個Majorana費米子的Hilbert空間也就可以分為奇、偶個費米子數部分的兩個子空間構成，每個維度都為 $2^{N-1}$ ；當這 $2N$ 個Majorana費米子之間都沒有相互作用時候（或者嚴格來說在之前的超導系統裡面各個渦旋相距較遠因此波函數重疊趨近於零 $[H,gamma_i]sim e^{-x/xi} o 0$ ），就構成了 $2^N$ 重（准）簡併基態 ${}^{[5]}$ 。

在這樣的相態體系裡面這種非局域的簡併態很穩定，任何局部微擾或擾動都不能破壞這些簡併態（即解除簡併使簡併度降低）；有全局的影響讓體系整個都變成平庸的相態時，這些簡併態才消失。因此這種簡併結構也就被稱為拓撲簡併(topological degneracy)，這樣非平庸的相態被稱為拓撲有序相(topological ordered phase)。這 $2N$ 個Majorana零模也就構成一個Clifford代數表示，不過注意和標準的3+1維量子場論裡面的Dirac或者Majorana費米子不同，那裡的Clifford代數來源於Lorentz對稱性；而這裡這個Clifford代數 ${gamma_i,gamma_j}=2delta_{ij}$ 就來源於一個抽象的 $2N$ 維歐式空間中的轉動對稱性 $SO(2N)$ （這個構了轉動群的旋量表示，生成元為 $sigma_{ij}=frac{i}{4}[gamma_i,gamma_j]$ ），也因此對這些簡併的零模操作就是在這個空間里做一個抽象的轉動——例如 $pi/2$ 轉動 $e^{-ifrac{pi}{2}sigma_{ij}}$ $^{[11]}$ 。

接下來考察任意兩個這種Majorana費米子之間的交換統計性質就發現

$egin{align*} B_{ij}:gamma_i ogamma_j;,;gamma_j o-gamma_i end{align*}$

這種纏繞(braiding)操作在相應Hibert空間里寫成幺正變換為 $egin{align*} U(B_{ij})gamma_i U^{-1}(B_{ij})=B_{ij}gamma_i;,;U(B_{ij})=e^{-frac{pi}{4}gamma_igamma_j}=frac{1}{sqrt{2}}(1-gamma_igamma_j) end{align*}$

和普通費米子態對比，兩個復費米子之間遵循標準的費米子反交換阿貝爾統計

$|Psi angle=c_1^dagger c_2^dagger|0 anglexrightarrow{ ext{exchange}} c_2^dagger c_1^dagger|0 angle=-|Psi angle=e^{ipi/2}|Psi angle$

而這裡的兩個所謂的Majorana費米子之間交換後為

$egin{align*} |Psi anglexrightarrow{ ext{exchange}}U(B_{12})|Psi angle=e^{-frac{pi}{4}gamma_1gamma_2}|Psi angle=e^{ifrac{pi}{4}sigma^z}|Psi angle end{align*}$

很明顯它們之間具有的是非阿貝爾統計性質 $^{[6]}$ 。所以這種所謂的Majorana「費米子」（零模）根本不是費米子，而是一種非阿貝爾任意子(non-abelian anyon)，然後按其纏繞統計Majorana零模屬於所謂Ising任意子。

這種通過Ising任意子進行非阿貝爾纏繞（辮子）操作可以實現一些量子運算，例如目前提出實現Hadamard-門和Z控制門（也稱 $pi/2$ -相位門），但這仍然不能完成通用量子計算（例如不能實現T門或稱 $pi/8$ -相位門） $^{[7]}$ 。因而需要引入更複雜的非阿貝爾任意子或者想辦法對Majorana零模構造更複雜的操作方式 $^{[8]}$ 。除了 $p_x+ip_y$ 超導，更早在研究 $u=5/2$ 分數量子Hall液體中人們就發現其基態Moore-Read態上帶有分數電荷的 $e/4$ 准空穴激發也具有非阿貝爾統計性質，正好也是Ising任意子 $^{[9]}$ 。實際上手征p波超導的BCS波函數就和 $u=5/2$ FQH的MR波函數是基本一致的：都是具有同樣的Pfaffian反對稱結構。在研究分數量子Hall效應（例如最先的 $u=1/3$ FQH）人們就通過引入Chern-Simons規範場來得到複合費米子理論（外磁場和Chern-Simons場相互抵消映射成零磁場的有效理論），從中出現分數荷以及任意子統計；而重新考慮自旋以後，在低能區和一些相互作用參數區中這些複合費米子就在能量選擇上傾向於類似超導那樣結合成Cooper對，對於 $u=5/2$ FQH，假設自旋極化的話（這在磁場與粒子數密度分別趨於無限大的情形下一定成立），那麼複合費米子配對就不能是s波了而只能是p波，這也就導致了p波超導和 $u=5/2$ FQH有著相似的基態和激發 $^{[14]}$ 。除此以外其他填充因子分數量子Hall態還能有更多非阿貝爾任意子激發存在（例如 $u=12/5$ FQH中含有Fibonacci任意子這一支子集），除此以外其他填充因子分數量子Hall態還能有更多非阿貝爾任意子激發存在，因此得以實現拓撲通用量子計算；目前也提出了一些實驗上具有可行性的設備構造設計——分數量子Hall效應干涉器件 $^{[10]}$ 。

CFT，TQFT和Ising任意子

(to be continued...)

拓撲超導體與拓撲序

(to be continued...)

Remark

[*]這些內容主要是寫給我自己的，打算對這些內容簡單地寫個review article作為自己對這兩年以來在這課題以及領域所接觸的知識和思想的總結，所以分享出來對我而言也不賴，所以持續不定時更新（目前有了很大一部分內容的更新，在 凝聚態物理中的Majorana費米子 - 超理論壇 ，以後寫得差不多可能會考慮再把知乎這裡的更新完整）。

[**]祁曉亮，許岑珂和文小剛最近寫了一篇關於這個主題的科普文章：量子粒子大觀：狄拉克、外爾和馬約拉納

[***]關於這段科研史以及思想歷程，程蒙前輩曾經寫過幾篇精彩的介紹文章，本人初學時從中受益匪淺，十分推薦各位閱讀：

1. 閑話Majorana

2. Race for Majorana I

3. Race for Majorana II

4. Race for Majorana III

Acknowledgment

感謝程蒙前輩，尤亦庄前輩還有文小剛教授的幫助和指點。

References:

$[1]$ Palash B. Pal, Am. J. Phys. 79 (2011) 485-498; arXiv:1006.1718.
$[2]$ C.?W.?J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 112, 070604 (2014).
$[3]$ C. Chamon, R. Jackiw, Y. Nishida, S.-Y. Pi, and L. Santos, Phys. Rev. B 81, 224515 (2010).
$[4]$ Charles Kane, Topological Superconductors, Majorana Fermions and Topological Quantum Computation.
$[5]$ Fa Wang, Introduction to Majorana fermions: part I.
$[6]$ D. A. Ivanov, Phys. Rev. Lett. 86, 268 (2001).
$[7]$ Sankar Das Sarma, Michael Freedman and Chetan Nayak, npj Quantum Information 1,15001 (2015).
$[8]$ M. Barkeshli, Jay D. arXiv:1509.07135 (2015).
$[9]$ L.S. Georgiev, Nucl. Phys. B 789 (2008) 552.
$[10]$ Michael Freedman, Chetan Nayak, and Kevin Walker, Phys. Rev. B 73, 245307 (2006).
$[11]$ Chetan Nayak, Frank Wilczek, Nuclear Physics B 479 [FS] (1996) 529-553.
$[12]$ Meng Cheng, Roman M. Lutchyn, Victor Galitski, and S. Das Sarma, Phys. Rev. B. 82. 094504 (2010).
$[13]$ R. Jackiw and C. Rebbi, Phys. Rev. D.13. 3398 (1976).
$[14]$ N. Read, D. Green, Phys. Rev. B 61, 10267 (2006) .
$[15]$ Senthil, T., Fisher, M. P. A. Phys. Rev. B 61, 9690–9698 (2000).
$[16]$ C.W.J. Beenakker, L.P. Kouwenhoven, Nature Physics 12, 618-621 (2016).

這個答案作為回歸知乎首答好了，順便可以理一下我半年來一直尋找拓撲超導體的思路；

首先提到topological materials，必須要提對稱性保護的問題；比如topological insulator是time-reversal-symmetry保護的，dirac/wely semi-metal是平移對稱保護的，對於topological superconductor來說是particle-hole symmetry保護的；不同的symmetry-protect都會導致零能態，從而使得拓撲序發生變化，這就是為什麼說它是topological materials的原因；

Majarona費米子與topological superconductor的關係其實可以看看Kane和Hasan的那篇Rev. of Mod. Phy. 這篇是從topological band theory引入的，比較直觀適合初學者看，雖然當時我刷的時候也沒看懂多少；Xiaoliang Qi和Shoucheng Zhang的那篇RMP是從topological field theory引入的，比較適合有一定底子的人去看；

至於TSC在實驗上的實現，現在為止還是一筆糊塗賬；三維TSC的話，有人說CuxBi2Se3是TSC，但是也有人說不是；實驗上確定這個是不是TSC其實是觀察（零點漂移）zero-bias，如果有零點漂移的話，就證明這個超導體可能是p-wave 超導體，也就是拓撲超導體；p-wave就是拓撲超導體這個結論在香港大學Shunqing Shen的那一本講拓撲絕緣體的書裡面講的很詳細，在此就不拆開說了；

關於CuxBi2Se3這個體系其實有個很有意思的故事，是講當年University of Osaka的Yochi Ando（此人發了70+的PRL貌似）說用STM觀察到了零點漂移，但是過了一年有一個叫Tong Zhang的人說這個零點漂移其實是因為針尖污染（囧），其實CuxBi2Se3是普通的s-wave 超導體，總之這個架打來打去，誰也沒辦法說服誰，現在大家基本上都不去做這個體系了；

TSC其實還有一些別的實現方法，這也是我一直以來工作相關的東西，在此就不細說了，誰有興趣可以私戳我討論；

這次排版比較亂- -回答也比較隨意，如果哪位知友看了覺得還是改改排版比較好那儘管跟我說好啦，雖然我不一定會改www

以一維Kitaev模型為例，一維拓撲超導在兩端有零能的束縛態，這兩個束縛態就是Majorana費米子。

一個複數可以分解為實部和虛部，一個復費米子可以分解為兩個實的Majorana費米子

最早Liang Fu和Kane提出的拓撲超導模型，是基於超導的鄰近效應，從而使庫伯對進入拓撲絕緣體表面態得到的。一般3D TI的表面態是無能隙的Dirac-like Hamiltonian，p-wave配對勢的進入使得在能量為0的地方打開一個能隙，整個能譜關於E=0的軸對稱，事實上這也是particle-hole symmetry的必然結果。在開邊界下，Majorana zero mode會出現在這個能隙中，當然前提是這個體系必須處於拓撲態。

我自己做過的一個工作中，發現一個有趣的現象，當 multi-band Chern insulator with chiral edge states體系遇到p-wave配對勢，一些原本是chiral edge state原本出現的地方會被抹平（不過僅限於particle-symmetric band gap，due to the BdG form of the Hamiltonian），替換為Majorana zero mode，我把這種現象解釋為chiral edge state本質上是需要U(1)對稱性保護的，一旦破壞了U(1)，那麼會在PHS對稱的gap裡面被抹平成Majorana zero mode。

理論上，Majorana很簡單，簡單到所需要的所有elements都是如此直觀，而且實驗上很容易確認這些elements的存在。但實驗上卻是如此之難。目前所有實驗上的Majorana文章，不管文章題目怎麼claim（observation也好，evidence也罷），都是有爭議的。即使有可能是Majorana，距離所謂的拓撲量子計算還很遠很遠

這個。。。拓撲超導的review都一大把了。。。你需要什麼程度的介紹呢？而且那篇文章的實驗結果還是可能是有爭議的，也就是說可以有不用Majorana fermion的理論來解釋。

其實實驗上看到的都是MZM，源於p-wave配對。當然d波的會麻煩一些。這也是區別於普通超導的地方。目前比較清晰的就是三大實驗，你看一下相關文獻會形成一個圖像。他們又發了一篇文章，是double eye的。