學習複變函數與積分變換有什麼用途？

01-02

這個問題只是問該學科的用途，並沒有反問意味。

反對樓上 @陳一定@lijun@童哲等人的答案. 這些答案只是藉助複分析解釋了一些看似不可思議的數學現象. 儘管這些解釋很漂亮, 但不能算是複分析的應用. 所謂"應用", 永遠都不可能那麼簡潔, 不論是之於數學本身還是其它學科的應用. 數學的妙處也就在於這種"不簡潔".

從題主的提問方式來看, 題主學習的是工科生的複變函數課程, 所以我略去(一點也不簡潔的)數學原理, 只講結果, 並且盡量貼近工程應用.

先說複變函數.

算定積分等等其實都只是留數定理(Cauchy定理)最簡單直接的用處. 比如說著名的Laplace積分:

$int_{-infty}^{+infty}frac{e^{itx}}{1+x^2}dx=pi e^{-|t|}.$

往這個方向再多走幾步, 可以得到許多有用的東西, 例如估計參數積分的漸近表達式. 比較常見的例子有Bessel函數:

$J_n(x)=frac{1}{2pi i}int_{|zeta|=1}e^{frac{x}{2}left(z-frac{1}{z} ight)}frac{dz}{z^{n+1}}.$

由Cauchy定理, 這個積分的圍道可以取成任何正向繞原點一周的Jordan曲線. 於是可以應用鞍點方法(Laplace方法)來得到積分當 $x$ 很大時的漸近表達式. 類似的思路在研究特殊函數的性質時很常用. 這些特殊函數往往都是從數學物理方程中來的.

參考書: 王竹溪, 郭敦仁《特殊函數概論》.

複變函數在物理和工程中最大的應用是處理數學物理方程中的平面邊值問題. 這是因為, 一個復解析函數(全純函數)的實部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程組, 而這一方程組恰巧就是平面向量場的無源和無旋條件. 因此藉助全純函數可以描述很多理想化的平面向量場問題. 更重要的是, 全純函數作為平面區域之間的映射而言是保角(共形)的, 於是它保持Laplace方程不變. 於是複變函數在解平面Laplace方程的邊值問題時就顯得十分有用.

兩個例子:

1)水流. 考慮理想平面流體在割去線段 $[0,i]$ 的上半複平面的定常流動, 流體負無窮遠出發, 出發時的速度是 $v_0$ 且速度方向平行於實軸. 要求解在這區域上的流線方程.

邊界的形狀比較詭異. 但藉助共形映射 $z ightarrowsqrt{z^2+1}$ , 我們可以把區域變成上半平面. 再變回去就得到流線方程:

$y=v_0tsqrt{1+frac{1}{x^2+t^2}}.$

當 $t$ 跑遍所有正實數的時候, 上面的曲線方程就給出了所有的流線.

更著名的例子應該屬於Joukowsky(茹科夫斯基). 他藉助複變函數方法首先研究了機翼截面的流體力學問題, 核心思想是藉助Joukowsky函數 $z ightarrow z+frac{1}{z}$ 將圓盤變成機翼截面.

2)溫度分布的邊值問題. 為了具體些, 假設 $D$ 是 $z$ 平面上一塊橢圓型的平板, 已知平衡狀態下邊界上溫度的分布, 要求解內部的溫度分布. 這翻譯成數學語言應當是如下的平面Laplace方程邊值問題:

$Delta u=0, u|_{partial D}=varphi.$

在這裡邊界的形狀依舊非常詭異. 然而依舊藉助Joukowsky變換, 我們還是可以解決這個問題. 實際上, Joukowsky變換 $z=w+frac{k^2}{w}$ 將 $w$ 平面上的圓盤 $|w|< r(r>k)$ 變成 $z$ 平面上以橢圓 $z=frac{(r^2+k^2)cos heta}{r^2}+ifrac{(r^2-k^2)sin heta}{r^2}$ 為邊界的橢圓盤. 圓盤上的邊值問題可以藉助Poisson公式求解, 解完了之後複合上這個Joukowsky變換就可以得到原問題的解.

以上只是最簡單的例子. 更豐富的例子可以參考下面的書:

參考書: 拉夫連季耶夫, 沙巴特《複變函數論方法》.

然後說積分變換. 常見的(一維, 當然推廣到高維不會有本質的困難)積分變換如Fourier變換, Laplace變換, Melin變換等等, 涉及到的都是將直線上的一個Borel測度變換成一個函數. 因為積分之後Borel測度的"壞"性質往往可以抹掉, 所以它們的積分變換往往都具有更高的正則性. 同時根據簡單的唯一性定理, Borel測度同它們的積分變換是一一對應的, 所以就可以藉助研究積分變換來反推測度本身的性質.

概率論中比較常用Fourier變換來刻畫直線上的概率測度. 在那裡, 人們管一個概率測度的Fourier變換叫做它的特徵函數:

$hat{mu}(t)=int_{mathbb{R}}e^{itx}dmu(x).$

根據簡單的測度論知識, 一列概率測度弱收斂當且僅當它們的Fourier變換逐點收斂. 這個簡單的定理有極其豐富的應用, 例如概率論中著名的中心極限定理. 這個收斂定理也有各種各樣的推廣; 尤其是研究無窮維線性空間上的概率測度時, Fourier變換幾乎成了唯一一樣可用的工具.

Laplace變換和Fourier變換也常常用來解數學物理方程, 這是因為求微分在積分變換之後不過是對應於簡單的乘法. 例如熟悉的常係數方程

$u$ ,

經過Laplace變換之後大致就成了

$z^2hat{u}+zphat{u}+qhat{u}=hat{f}+C$ ,

其中常數 $C$ 由初始條件給定. 這樣的方程很容易解. 解出來之後藉助反演就可以得到原來問題的解. 積分變換的常見工程應用同樣可見拉夫連季耶夫和沙巴特的《複變函數論方法》.

最後提一句數論上的應用. Melin變換在解析數論中有相當基本的地位. 藉助Melin變換和Cauchy定理, 經過一些精細的不等式放縮, 可以得到不少數論函數的漸近表達式. 著名的素數定理

$pi(x)sim frac{x}{log x}$

( $pi(x)$ 代表不大於 $x$ 的素數的個數, $log$ 是自然對數)就是按照這個思路證明出來的. 可惜它跟工程問題沒什麼直接的關係, 所以在這裡就不說了.

總結一下，應該有如下用處：

1. 留數定理計算定積分，這個方法非常重要，很多定積分用普通的微積分方法很難，或者不可能，計算出來，但是用留數定理計算就非常方便。留數定理給計算定積分或者無窮求和提供了一個具有高度可操作性的方案。

2. 傅里葉變換。這是一個具有重要意義的變換。很多微分方程，包括常微分和偏微分，在實空間求解非常困難，但是一旦用了傅里葉變換將方程變形到頻率空間或者動量空間，很多問題都迎刃而解了。傅里葉變換的應用極其廣泛，在數學和物理中都有著重要的地位。光是一個傅里葉變換就可以寫一本厚厚的教材了。

3. 拉普拉斯變換。拉普拉斯變換本質上是傅里葉變換的一種變形，而且拉普拉斯變換的反演就是通過傅里葉變換實現的。拉普拉斯變換解決微分方程的初值問題特別有效。所以拉普拉斯變換在信號處理，電路系統中都有著極為廣泛的應用。

以上只是本科水平的複變函數與積分變換。複變函數本身就是一個學科，積分變換也不限於傅里葉變換和拉普拉斯變換，例如還有Mellin變換，Hankel變換，Hilbert 變換等等。如果要學習進一步的課程，例如數學物理方法，特殊函數，量子力學，量子場論，量子多體理論，你就會發現複變函數和積分變換幾乎上充斥了以上這些學科。工科裡面的流體力學，彈性力學，振動力學，自動控制等課程也到處都是複變函數和積分變換的身影。總之，這是一個極其有用的學科，學好了這門課對將來的深造必然有極大的促進作用。

謝邀，（雖然也沒人邀請我，要是大家覺得寫的不錯請點贊，不要光收藏哦&<(*￣▽￣*)/

複變函數可以說是博大精深，是為數不多的讓我感覺到理論之美的學科。

首先，前面有知友說道這個函數，這個函數性質很好，可是冪級數收斂域卻為（-1,1），為什麼？因為在複數範圍內存在兩個奇點，i和-i，下面我來貼一張圖：

這個圖像就是該函數的模曲面，從實方向切過去，截面就是f（x）的圖像，由於實方向或者說是一維空間的局限性，只能看到這個圖像一部分，但放到複數域來看，在+i,-i兩個點形成了兩個巨大的凸起，所以只能在原點為圓心，1為半徑的圓收斂。真特么形象加震撼有木有！！！！！

還有一個類似的例子，就是雙曲函數與三角函數的完美統一，從歐拉公式的角度來看完成了統一，從模曲面來看則同樣震撼：

沒錯，在實數域範圍內圖像，表達式，性質完全不相干的兩個東西結果居然是一個東西。。。。。。。

複數域是最為完整的一個域，理論上可以解決所有問題，沒有再擴充數域的必要，本身也是很震撼有木有！

在複數域中，傅里葉級數與泰勒級數合二為一了，我看到這裡內心是崩潰的。。。。。

沒錯，你沒有看錯，就是這樣，實數域角度和長度（這裡長度可能用的不太貼切，但是我相信看了下面你們會懂得）是兩個完全不同的東西，可是在複數中，歐拉公式一用，立刻，角度和模長（長度）立刻就出現了，下面來解釋一下：

考慮一個複函數， $f（z）=1/（1-z）$ ，記 $z =re^{i heta }$

所以有

把其中一個看做參變數，比如 $heta$ ，讓z沿著 $heta$ 為一固定值的方向運動，則函數的自變數僅為 $r$ ，例如讓 $heta$ = $pi /4$ ，則有：

若半徑為固定值的時候，只沿著某半徑旋轉，則有：

有點門道了有木有，有木有有木有有沒有！！！！

表急，我們要求的是嚴格，慢慢來：

我們把 $f（z）$ 泰勒展開，有：先固定 $heta$ 的值，假如說是 $pi /4$ ，可以得到泰勒級數：

再固定r的值， $r=$ 1/2，可以得到：

利用上式，直接得到積分值：

傅里葉級數係數的簡單計算而已（逃。

然後，你要想，泰勒級數的係數怎麼求的，求導是吧，在想一下傅里葉級數的係數怎麼求的，積分是吧，但是這兩個級數是同一個東西，卧槽：沒錯，柯西積分公式和高階導數出來了：

積分和求導完美髮生了關係！！！！！

這是 $e^{x}$ 的冪級數的幾何解釋。。。。。。

以上都是一本名叫《複分析可視化方法》的書教給我的，我把鏈接貼在下面，歡迎大家和我一起交流，有些東西加入了自己的理解，可能不是那麼準確，但我相信你會懂得，覺得好了就請點歌贊(*^__^*)

http://pan.baidu.com/s/1jHmYi4A

@justlikemath 這位天神離開了知乎是一大惋惜，敬尊他老人家的教誨，黑貓自己做了一定量的練習，這篇答案要重答了，

作為最low逼的本科金融生，來講一下經濟金融類專業復變的應用吧。信息類專業多依賴這個樓上很多人都說過了。

PDE：

一般情況下，有顯示解的偏微分方程解出來全是一溜級數三角級數。我們大名鼎鼎的BSM其實本質也是熱傳導方程，只不過是個無界的傳導方程。他的解，本來是應該是個級數形式的：

$u(t,x) =sum_{n=1}^{infty }{D_n(sinfrac{npi x}{L}exp(-frac{n^2pi^2kt}{L^2} ) )}$

裡面的Dn也特么是個三角函數！

這跟Nd1，Nd2，正太分布有他娘個關係啊！

只有等到學了傅里葉變換之後這個三角級數能積出初等函數出來（一維標準熱傳導能積出正太分布，根源上擴散布朗運動積出來就應該是是個正太分布，但是在沒有傅里葉變換之前這一切都是沒有直觀意義的三角級數（這些三角級數就是在復域上展開每一個三角函數，「疊「到一起才有具體意義））

拉普拉斯變換能把大量巧妙偽裝成偏微的方程轉化成常微（補充，常微的拉普拉斯變換直接就是代數方程了），舉個例子：

$-g_ au^+ +mu g^+_x+1/2sigma^2g^+_{xx}=0$

這本來是個pde，然而我們經過變換：

$gamma^+(x,upsilon )=int_{0}^{infty } exp(-upsilon au)g^+( au,x)d au$

後，這貨突然好解了：

$-upsilon gamma^+ +mugamma^+_{x} +1/2sigma^2gamma^+_{xx}=0$

儘管逆變換回去是一件很煩的事情，但是我們嚴謹可以用留數定理，偷懶可以用數值積分，總之就是能把他解出來

特徵函數：

我們一般用概率密度函數刻畫連續分布，然而實際上，概率密度函數其實是個非常奢侈的東西。比如在t時間內平均發生lambda次跳躍的泊松過程，這貨幾乎處處是間斷的，根本沒有密度只有「點密度」（dirac delta）。對於這種貨色，我們如果還想研究他的分布性質就只能定義域更廣的特徵函數：

$psi (x) =E[exp(itX)]=int_{-infty}^{infty } exp(itx)p(x)dx$

這貨是在復域上定義的！而且正好就是傅立葉變換。應用上，可以刻畫股票漲跌停

卷積特性：

專門拎出來說的原因是，概率里有這麼一種分析：

已知pdf p(x), p(y), 求p（x+y）

不學的話兩個隨機變數和，積，差的分布密度卷積積分積死你。學了之後呢？

p(x) * p(y)

卷積不好求怎麼辦？

$psi (x)*psi (y)$

傅里葉變換之後卷積變成積（這個性質能用來解決一票諸如AB,A+B服從分布的問題）,盡情的用數值法偷懶吧！！

降噪：

學金融的各位一定聽過一種low到爆的交易策略叫移動均線吧～這種測率有很多弊端，其中一個就是會對短期的振蕩過於敏感而失效。

學EE的一幫畜生為了解決這個問題，非常有創造造力的想出了這麼一個思路：你們上上下下的錢老子不賺了，老子連均值回歸都懶的管，直接掛長期～

而這個降噪實際上，就是用三角級數替換原有的價格，過程中，我們只選取低頻交易的信息而無視頻率過高的震蕩。一看到三角級數，實際上這玩意就是傅立葉變換！

就這玩意～

最重要的一條，不學的話就會變得跟我這個本科學金融的一樣low逼……

後記：好久之後趁著複習傅立葉變換來把這答案更新了。 @justlikemath 老人家的教訓還歷歷在目……雖然嚴格上總是好的，但是畢竟搞理論，搞應用和我這種搞應用的應用的low逼是有區別的。側重點當然是不同而。

而且老的吐槽還是得保留一點：數學本是這個世界最好玩的遊戲，但如果一學數學就各種神湊給你來，尤其在初期，好奇心太容易丟失了……畢竟對於外專業的人，除了黑貓這種強行自虐的，趨利避害看到就跑用腳投票這些，還真是容易讓人忽視一些重要的東西，被秒了嚇跑了，就真的學不到了……

突然發現，大家都是因為狗帶這個梗，而不是因為回答在點贊。。。。我選擇狗帶。。

當初回答的時候狗帶這個梗還沒出來，不然早知道我就換個沒有歧義的詞了。。

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我舉個例子，復變中的儒歇（Rouché）定理。先敘述這個定理。

Rouché定理：

若 $f(z)$ 和 $h(z)$ 都在簡單閉曲線 $C$ 內和 $C$ 上全純，且在 $C$ 上有 $left| h(z) ight| <left| f(z) ight|$ ，則在 $C$ 內 $f(z)$ 和 $f(z)-h(z)$ 的零點總數（包括重數）相同。

這個定理有一個比較fashion的解釋：

事實上這類似於一個人牽著狗遛狗時的情形。如果人和狗遇到了一跟電線杆，而狗帶又較長時，狗就有可能會把狗帶纏繞到電線杆上。但是，如果主人在行走時不斷調整狗帶的長度，使得它不會拉長到杆子處，那麼狗和人將會圍繞杆子相同的次數而避免狗帶纏繞到電線杆上。如下圖。

我們把 $omega$ 平面的原點當做電線杆，曲線 $f(C)$ 是人的路徑， $g(C)$ 是狗的路徑，則狗帶就是 $h(z)=f(z)-g(z)$ ，條件是狗帶不會超過人到電線杆的距離，即 $left| h(z) ight| <left| f(z) ight|$ 。所以 $f(C)$ 和 $g(C)$ 繞原點 $O$ 的圈數相同。

另外，在工程里，像復變中留數定理之類的，一般是用來計算積分用的，學好復變對做金融也有好處啊，學電的人也需要學好復變。

復變或者複分析，總得來說，理論上和實際上都是非常有用的東西呀。

這個學好了，自動控制原理基本就不用學了。

將來對你有什麼用我不好說，我只能作為長者跟你提一點人生的經驗，那就是等你用到了再讀，那是來不及的 (′?_?`)

恩，這個問題很有意思，也不可能有標準答案。在我自己看來，真正說服我複變函數很有用的，是它幫助我很好地理解了高數中的一個小問題:

為什麼一元函數 $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ 的泰勒展開的範圍是 $(-1,1)$ ？

這個問題之所以有趣，是因為這個函數 $f(x)$ 的泰勒展開是 $frac{1}{1+x^2} =1-x^2+x^4-x^6+...$

用高數的觀點看來，等式右邊展開範圍肯定是 $(-1,1)$ ，因為在-1 和1 這個點上，泰勒級數單項絕對值發散，所以肯定發散。但是看等式左邊，其實並沒有這個問題。

函數 $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ 在-1點和1點是非常完美的點，沒有任何的不光滑性質。它的函數圖像是：

光滑得可以溜冰了有木有！！！

所以非常奇怪啊，為什麼在 $pm 1$ 這兩個點上，泰勒展開等式右邊發散，但是等式左邊收斂？初看可能會覺得這是一個高數級別的問題，但是要真正回答清楚，則必須用到複變函數！

用複變函數的觀點來看，就是一句簡單的話：

$x=pm i$ 是 $f(x)=frac{1}{1+x^2}$ 的奇點，所以從原點進行泰勒展開的圓盤半徑為1，投影到實軸上就是 $(-1,1)$

所以我們會很驚訝地發現，學習複變函數可以幫助理解實函數。這就好像在高維世界看可以更容易理解低維投影一樣。

從此以後我就很喜歡復變，並且它也確實告訴了很多更厲害的東西，量子力學什麼的都要用到它。而積分變換，只是複變函數中的一小塊應用。順便說一句，複數是最完美的數域，因為它是世界上最大的數域。從實數到複數的擴展，是一次極大的跨越，而其中帶來的有趣結論也是極為豐富的。

知識創造樂趣，你是你的大學 www.wanmen.org

學習數學的第一步就是不要問學了它有什麼用.

樓上的各位都說明的很清楚了，常用的主要是傅里葉變換和拉普拉斯變換，一般學習複變函數的時候都會講。下面我來舉一個積分變換在圖像處理方面的栗子（主要是傅里葉變換）：

例如我在網上發現了一張圖片（2B小姐姐）：

可是圖像好小，於是我用了臨近插值的方法把圖片放大，得到了一張充滿了狗牙的小姐姐：

我想把狗牙濾除，怎麼辦哪？仔細想想，狗牙是鋸齒狀的，比較細小，在頻域中屬於高頻區域。上matlab大法，抽出一個通道，做2D傅里葉變換看看：

中心部分就是低頻信息，邊緣部分就是高頻信息。想要去除狗牙，怎麼辦那？把外圈的統統消掉吧，於是：

將剩下的通道都這麼做，然後合在一起保存成圖片：

得到一張有油畫風格的2B小姐姐。放大局部看看：

（原始）

（濾波後）

狗牙的確沒了，不過好像看起來壓縮過頭了？看看文件屬性

（原大小）

（濾波後）

因為扔掉了高頻信息已經被丟棄，所以文件大小變的小多了。而這種丟棄高頻信息方法也經常用來進行磨皮。因為通常照片裡面臉上顆粒狀的東西就屬於高頻信息，通過積分變換的方法，可以很方便地將這些信息進行濾除，或者為了保留邊緣信息，可以丟棄低頻信息。而這也僅僅是積分變換的一個極小的應用。

常用的拉普拉斯變換在自控中以及濾波器的設計中也起著非常重要的作用。通常在求解一個很複雜的微分方程時，利用積分變換可以極大地減輕工作量。打個比方，正常求解微分方程好比從A點到B點，你用走的，手裡只有一個地圖和指南針。雖然能走到目的地，但是常常會迷路（解不出來）或者走錯（解錯了），而利用積分變換的方法，就好像你開了車，還有GPS導航，可以快速地走到目的地（簡單，快捷），還不容易走丟（方便得到適合的解）。雖然積分變換有局限性（道太窄車過不去），但是在工程中，基本都是大道，車開的飛起。因此大家都很樂意使用積分變換。

所以複變函數與積分變換可以說是十分強力的武器。

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好想玩2B小姐姐啊！可是電腦帶不動（悲傷）

如有錯誤請指正呦。

美啊╮(╯_╰)╭

第一次感受到復變的用處是學電氣工程學的時候，答主非電類專業本科不要求學復變

交流電可以用餘弦函數或正弦函數表示。但是實函數中的餘弦函數和正弦函數在計算中極其不方便，有了複數之後就能把實正弦函數餘弦函數對應到一個解析的複變函數上 $e^{i heta } =cos heta +isin heta$ ，這個公式叫歐拉公式，對應的解析函數是復指數函數。用指數函數的好處在於其在做乘除、求導、積分上有超乎想像的方便性，另外用於描述電路阻抗上可以同時反應電路中發熱原件(電阻)的性質和不發熱原件(電感和電容)的性質，而實函數不容易直接反應出來這些信息。

當然這只是複變函數的冰山一角，複數強大就在於複數域是最大的數域，相當於你開了個上帝視角在更高的維度看低維世界的現象很好理解一樣。多說無益，歡迎體驗，另外可以放心

復變比高數簡單

講點稍微偏題的。概括性地講，微分與積分雖然互為逆運算，但你應該發現了——求導容易得多，求積則常常困難得多。這是因為微分關注的是局部性質，積分關注的則是全局性質。見既然微分和積分互為逆運算，為什麼積分比微分更難求解？ - 3dimensions 的回答

你應該也有感覺，積分比微分應用廣的多。微分能幹什麼？算個單調性，算個極值，畫個圖，整個泰勒展開。。。好像也沒什麼特別的了。積分則不同，積分能幹的事太多太豐富了對吧，可遠不止算個面積算個體積。數學從微積分開始的許多發展分支中都能看到積分的身影、比微分多很多，不僅僅是因為可積的條件比可導寬鬆，更根本的原因就是積分關注全局性質。所以積分相關的東西用途廣是情理之中的。所以像復變與積分變換這樣的學科，好好學還是很有用的，絕不僅僅是因為他們能解決工程、物理中的很多問題。

謝邀 @ss1N 知乎首答，大神太多先匿了。

首先說說這兩個變換在電子電路中的應用。

在一個複雜的電路網路中，如果所有元件的埠約束條件都是線性代數方程，則可以轉化為矩陣很方便的求解。那麼對於動態電路網路，系統的元件約束條件為微分方程，故無法用線性代數方程來求解，然而求解微分方程並不是一件十分容易的事。簡單的辦法是把元件約束條件用傅立葉變換或者拉普拉斯變換轉化到傅立葉頻率域或者拉普拉斯復頻域，這樣就可以變為線性代數方程很方便的求解了。畢竟人們最喜歡的還是線性的代數方程。

另外在力學中，需要進行各種簡諧波的疊加運算，還有逆運算，即諧波分析，用到了傅立葉級數，根據傅立葉的原理，周期函數都可以展開為常數與一組具有共同周期的正弦函數和餘弦函數之和，故可以把任意一個波展成簡諧波的疊加，其展開式中，常數表達的部分稱為直流分量，最小正周期等於原函數的周期的部分稱為基波或一次諧波，最小正周期的若干倍等於原函數的周期的部分稱為高次諧波，這就是諧波分析。而連續形式的傅立葉變換其實就是傅立葉級數的推廣，也就是可以把非周期的函數展開。傅立葉變換在很多領域都有強大的應用，特別是在處理信號時，傅立葉變換的典型用途是將信號分解成振幅分量和頻率分量。信號通常通過傅立葉變換從時域或者空間域轉換到頻域。傅立葉變換將信號信息轉換成每個成分頻率上的幅度和相位。傅立葉變換經常轉換成功率譜，功率譜是每個成分頻率幅度的平方。有一些通用的頻域變換方法，例如倒頻譜通過傅里葉變換將信號轉換到頻域、取對數、然後再進行傅里葉變換。這種方法加強了幅度較小的成分頻率但是保留了成分頻率幅度的順序。

而拉普拉斯變換其實是傅立葉的一種推廣，或者說用了兩種方法處理問題。傅立葉變換是將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉普拉斯變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。另外，在解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，從而求解。拉普拉斯的重大意義就在於將信號從時間域轉化為復頻域。

做電子學專業，和信號關係密切，深切體會到頻譜圖，相位，等等都深深的用到了複變函數里的虛數及相關計算。

比如時域信號必須通過傅里葉變換到頻域，這是最基本的信號分析

比如計算反饋時電容電感會不會導致信號相位平移180度讓負反饋變成正反饋導致系統崩潰

我和題主一樣，本科學的時候根本搞不懂什麼複變函數，線性代數，偏微分方程（我們叫數理方程）概率論以後有什麼用，等到讀研究生了發現這些東西就是常用工具，就跟學英語之於文獻閱讀一樣，沒有寸步難行

對於別的科不了解，但對於電氣自動化之類的學科用處大大滴，這是兩個很好的計算工具，會了這兩門課，你就能很好地理解很多專業課課本上的原理推倒過程。複變函數和積分變換用得最多的課程我印象中是自動控制原理，從頭到尾。總之，學習時很有用。

但畢業之後，記得的和用的也不多了。

傅立葉和拉普拉斯變換變換特別神奇，簡單的說就是你本身要做很多積分各種卷積他老人家整到頻率域一個相乘就解出來了，學過數字信號處理的應該都可以懂它的用途吧～

重要的是不要抱著數學無用論的態度去學習，有一瞬間你理解了之後會發現那些數學課本里的數學家真！牛！逼！

理工科大三大四學專業課的時候你就不用回頭去重新看書了。。。。。。過來人的血淚史。。。。。。

會很長臉?_?

數學渣渣，不請自來。

個人感受:數學是理科的基礎，學好數學不僅掌握解決問題的工具，更重要的是在學習的過程中培養嚴謹的思維。扯遠了，讓我們回到問題本身:學習複變函數有什麼用呢？

私以為:最大的用處是拿學分，學分不夠不能畢業啊╮(╯▽╰)╭

真實感受，別噴我...