什麼是 Arrow-Debreu Security？如何用它來定價？

01-02

哈，這個其實是個宏觀經濟學的概念，所以我修改了話題分類。 @林釗文回答的蠻簡略，我詳細說一下。

所謂的阿羅德布魯證券，其實就是針對未來每一種可能存在的情況有一種證券。比如考慮一個簡單的兩期模型，我們處在第零期，第一期可能有3種情況{H,M,L}，這三種情況分別代表三種可能的經濟狀態。對應這三種狀態，分別有三種證券{sh,sm,sl}。在第零期，用{ph,pm,pl}塊錢來購買這種證券，第一期，{H,M,L}實現的時候，分別得到回報1塊錢。比如第一期H實現了，我就可以得到1/ph的回報率。

以上可以擴充到無限期的情形。

注意在這個建模裡面，實際上是把未來的可能離散化了。擴展到連續的情形非常自然，這裡用離散的情形加以說明。

與A-D security對應的還有Arrow security，是sequential trade，兩者在完備的金融市場下是等價的，不展開敘述。

為什麼引入阿羅德布魯證券？引入了阿羅德布魯證券之後，我們就引入了完備的金融市場。與之相對應的，不完備的金融市場，比如市場上只存在債券的例子。

有了阿羅德布魯證券之後，我們就可以用阿羅德布魯證券來模擬任何的其他證券。比如債券就是{H,M,L}的一個組合，債券實際上就是第一期無論是HML的任何一種，都支付1塊錢。所以一單位債券代表一單位H+一單位M+一單位L：{sh,sm,sl}={1,1,1}。這樣債券的價格不就是ph+pm+pl么？因為均衡的時候買債券和買那個阿羅德布魯證券的組合{sh,sm,sl}={1,1,1}是等價的。

奧，差點忘了{ph,pm,pl}是怎麼確定的。思路是先解出個體的最優化問題，就是歐拉方程，完了之後代入市場均衡，出清，三個價格就解出來了。

如果想深入下去，可以參考Sargent的Recursive Macroeconomic Theory吧。

另外補充說明，個人覺著如果你是做金融的，這個內容知道一點就好，因為很容易的就可以從阿羅德布魯證券的一般均衡模型推導出諸如CAPM之類的定價模型。現實應用的話都是用宏觀裡面這套理論的結論的，沒有人再去推一遍這個一般均衡模型。當然你要是做定價的理論除外。

實在無法忍受各種堆砌概念答案，怒答！

現實中與AD Security最接近的債券是intrade上交易的各種賭博債券，這是種什麼東西呢？舉個例子：

2012年美國總統大選的時候，在intrade上你可以買奧巴馬或者羅姆尼贏的債券。這種債券價格在0-1美元之間。如果你買奧巴馬的債券，而最後奧巴馬贏了，交易所就給你一塊錢。如果輸了則一分錢都沒有。

隨著各種新聞消息的不斷放出，人們對奧巴馬贏的概率的估測不斷變化，他的債券的價格會在0-1之間不斷波動。接近1時表示人們認為他贏得概率大（因此如果真的賭贏了利潤也少），反之亦然。

這個債券就是"世界處於奧巴馬贏得競選」這種狀態的價格，也就是這種狀態的AD-security.

有了它之後怎麼給衍生品定價呢？

實際上有了它以所有衍生品的價格都是AD-security價格的線性組合。

舉個例子：

假如現在時間是2012年初，有人要賣張債券給你，這種債券在奧巴馬贏得總統大選後，會給你3塊錢。同時如果敘利亞的阿薩德倒台了，它給你5塊錢。假設此時intrade上奧巴馬贏的競選的債券價格為0.7元錢，阿薩德倒台的債券價格為0.3元錢，請問最開始提到那個債券應該賣多少錢才合理？

答案很簡單： 3 * 0.7 + 5 * 0.3 = 3.6元。這是無風險套利價格，如果不是這個價格的話可以輕易的利用做空來套利。

你肯定會說，能不能不要講賭博，而講點實實在在的衍生品？

當然可以。假如有人賣你一張binary option,告訴你說股票大於K時給你K元錢，否則則一分錢不給你。此時市場上交易著一種AD-Security，價格為A，它能在股票大於K時付你一塊錢，請問這種債券價格應賣多錢？

答案很簡答：就是K*A.

實際上，在價格股價分布是指數正態的black-scholes模型里，這種AD-Security的價格為e^-rt*N(d_2)，因此在歐式看漲期權里第二項為-K[e^-rt*N(d_2)]，實際上就是在表示，「當股票價格大於K元時，你會損失K元錢（拿去買股票套利了）」這個規則的價格。

說白了，AD-security把世界的每種狀態都給予了一個價格，而衍生品則規定好了每種狀態下你的利潤，所以衍生品的價格必然是各種狀態的價格的線性組合。

最後說下， AD-security實際上更多的是個學術概念，所以一開始才不得不用賭博市場的東西來做例子。現實中因為世界是連續性的，AD-security的價格在數學上逼近0。但是用期權可以組建出非常接近AD-security的組合。例如利用看漲和看跌期權，可以組建出一種投資組合，這種組合在股價處於49.5和50.5之間支付一定利潤，但一旦超過了利潤則為0。前面幾個答案提到的完整市場，實際指的是可以通過公開交易的債券組合出AD-security的市場，即能把這個世界所有狀態都給出價格的一種市場。

A-D Security 及其相關理論奠定了資產定價這門學科的基礎：

即資產的當前價格可以分解為未來不同狀態下回報的當前價格。有個關鍵的東西叫做 $zeta$ ，即state-price deflator，它對每個狀態的回報進行定價，這個就是資金定價的「金鑰匙」，定價實際上就靠這個。

基於這個基礎，可以有幾種方法來做資產定價：

1.我不知道 $zeta$ 到底是什麼，但是我可以推導無套利條件。那麼OK，只要市場完備，資產定價基本定理告訴你，滿足無套利就可以定價。那怎麼定價呢？請使用測度變換，使用風險中性定價。（也可以是其他滿足無套利條件的測度）。

2.我想從消費者的行為出發，推導整個金融市場的定價問題，直接尋找 $zeta$ 。那麼OK，你去推導吧，比如消費CCAPM之類的，你可以直接找出一個 $zeta$ ，如果滿足完備性，那麼整個金融市場是帕累托最優的。可是，當你拿真實數據來檢驗你的模型，你經常會發現錯的一塌糊塗。原因肯定就兩種：一、模型不對；二、消費數據不對。那你就繼續研究吧....

3.推導宏觀模型太吃力了，而且實證也很難做，能不能不從消費出發，找找別的途徑。當然可以，因為第一個資產定價模型CAPM就是這麼乾的，從均方有效出發，就可以定價。這種方法叫做因子（factor）模型，實際上你找的就是 $zeta$ ，它和factor可以互相轉化，但是如果不滿足完備性的話，會存在問題。因子你可以隨便找，通過理論找，比如CCAPM，因為知道 $zeta$ 就知道facor；通過實證找，比如Fama-French 三因子。去年諾獎的工作就跟這有關。

方法1在主要應用衍生品定價之類的，學術界算不上很主流。

方法2和方法3是主流領域，各種大牛小牛堆積。

又寫了這麼多沒用的東西，隨便看吧。

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這是個高級宏觀經濟學的問題。Arrow-Debreu Security是這樣的，未來是不確定的，比如說有n（t)種可能的狀態，在當期你可以購買未來的債券，賭未來某一種狀態會發生，1單位的債券在所購買的狀態真的發生的時候就會得到s(t,n)的回報。最簡單的計算中假設只在0期開放AD Security的市場。這個債券在宏觀經濟學中主要用來當做簡化的bond來研究，因為它基本可以表示一切債券，對宏觀經濟模型的研究來說意義重大。

關於利用這個定價，理論上主要是考慮當期的AD Security市場平衡，也就是說AD的購買量與出售量相等，以及市場參與者的預算約束平衡。

實際中具體怎麼應用AD Security定價我還不是很清楚。

It"s a security that pays 1 unit of output in a particular state of the economy. It can be used to synthesize any other security with a different payoff.