傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫？為什麼要進行這些變換。研究的都是什麼？

01-02

通信工程學生。對這些有些不解。

第一次回答一個跟自己的專業相關的題目。

首先，為什麼要進行變換？因為很多時候，頻率域比時域直觀得多。

傅里葉級數和傅里葉變換，表明時域的信號可以分解為不同頻率的正弦波的疊加。而如果我們把兩個沒有公共頻率成分的信號相加，一同發送。在接收端接收到之後，用濾波器把兩個信號分開，就可以還原出發送的兩個信號。這就是通信過程的實質。

而在這個過程中，發送端發送出去的信號的最大頻率和最小頻率是否在接收端的帶通濾波器的上下邊界頻率之內？如果超出了濾波器的頻率範圍，接收端接收到的信號就會丟失一部分信息，接收端接收到的消息就會有錯誤。

但這個問題從時域是很難看出來的，不過，從頻率域就一目了然。

因此傅里葉變換得到了廣泛應用，它的地位也非常重要。

然而，可以進行傅里葉變換的信號似乎不那麼夠用，傅里葉變換的收斂有一個狄利克雷條件，要求信號絕對可積/絕對可和。

為了使不滿足這一條件的信號，也能讀出它的「頻率」，拉普拉斯變換和Z變換，對「頻率」的含義做出了擴充，使得大多數有用信號都具有了對應的「頻率」域表達式，方便了對各個器件的設計。

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接下來一個問題，傅氏變換、拉氏變換、Z變換之間到底有什麼關係？

首先，傅里葉變換粗略分來包括連續時間傅里葉變換（CTFT）、離散時間傅里葉變換（DTFT）。

CTFT是將連續時間信號變換到頻域，將頻率的含義擴充之後，就得到拉普拉斯變換。

DTFT是將離散時間信號變換到頻域，將頻率的含義擴充之後，就得到Z變換。

這裡解釋一下，很多教材對於頻率的含義沒有明確規定，由於CTFT和DTFT的形式分別為 $Xleft( jomega ight)$ 和 $Xleft( e^{jomega} ight)$ ，因此很多人誤將頻率理解為 $jomega$ 和 $e^{jomega}$ 。

但事實上我們在繪製頻譜圖的時候，取的自變數都是 $omega$ ，這樣才能畫出函數圖像。否則CTFT和DTFT都將變成複平面上變化的函數，無法畫出函數圖像了。
而且我們日常用到頻率這一概念時所說的 $f$ ，都是 $f=frac{omega}{2pi}$ .其對應的角頻率恰恰是實數 $omega$ ，而不是複數 $jomega$ 或 $e^{jomega}$ 。
因此，我們所說的頻率指的應當是 $omega$ 而不是 $jomega$ 或 $e^{jomega}$ 。

1、連續時間傅里葉變換與拉普拉斯變換的關係

連續時間傅里葉變換的公式是： $int_{-infty}^{infty } x(t)e^{-jomega t} dt$ ，這裡的 $omega$ 是實數。

傅里葉變換要求時域信號絕對可積，即 $int_{-infty }^{infty } left| x(t) ight| dt<infty$ 。

為了讓不符合這個條件的信號，也能變換到頻率域，我們給x(t)乘上一個指數函數 $e^{-sigma t}$ ， $sigma$ 為任意實數。

可以發現， $x(t)e^{-sigma t}$ 這個函數，就滿足了絕對可積的條件，即 $int_{-infty }^{infty } left| x(t)e^{-sigma t} ight| dt<infty$ 。

關於為什麼 $xleft( t ight)e^{-sigma t}$ 滿足絕對可積條件，這裡提一下，感性地說，我們知道負指數函數隨t的增大，趨於零的速度是所有函數中最快的，這也是為什麼我們描述某個現象暴漲的時候會說指數上升。因此大多數一般的函數 $xleft( t ight)$ 乘上某個負指數函數之後，一定絕對可積。
用更加嚴謹的數學表達，對於大多數 $x(t)$ ， $exists sigmain Re$ ，使得 $lim_{t ightarrow infty}{e^{-sigma t}}$ 是 $lim_{t ightarrow infty}{xleft( t ight)}$ 的高階無窮小。即 $lim_{t ightarrow infty}{frac{e^{-sigma t}}{xleft( t ight)}}=0$ 。因此在 $e^{-sigma t}$ 的壓迫下， $x(t)e^{-sigma t}$ 就滿足了絕對可積的條件。後文DTFT中的絕對可和條件與此類似，後文不再贅述。

於是這個新函數的傅立葉變換就是： $int_{-infty }^{infty } x(t)e^{-sigma t} e^{-jomega t} dt$ ，

化簡得 $int_{-infty }^{infty } x(t)e^{-(sigma +jomega )t}$ 。

顯然 $sigma +jomega$ 是一個複數，我們把這個複數定義為一個新的變數——復頻率，記為s。

於是便得到了拉普拉斯變換的公式： $int_{-infty }^{infty } x(t)e^{-st} dt$

拉普拉斯變換解決了不滿足絕對可積條件的連續信號，變換到頻率域的問題，同時也對「頻率」的定義進行了擴充。

所以拉普拉斯變換與連續時間傅里葉變換的關係是：

拉普拉斯變換將頻率從實數推廣為複數，因而傅里葉變換變成了拉普拉斯變換的一個特例。

當s為純虛數時，x(t)的拉普拉斯變換，即為x(t)的傅里葉變換。

從圖像的角度來說，拉普拉斯變換得到的頻譜是一個複平面上的函數，（為方便作圖，這裡只給出了拉氏變換的幅度譜和傅氏變換的幅度譜的關係。相位譜具有類似的關係。）

而傅里葉變換得到的頻譜，則是從虛軸上切一刀，得到的函數的剖面。

2、離散時間傅里葉變換（DTFT）與Z變換的關係

DTFT的公式是 $sum_{n=-infty }^{infty }{x[n]e^{-jomega n} }$ ，這裡的 $omega$ 是連續變化的實數。

同樣的，DTFT需要滿足絕對可和的條件，即 $sum_{n=-infty }^{infty }{left| x[n] ight| } <infty$ 。

為了讓不滿足絕對可和條件的函數x[n]，也能變換到頻率域，我們乘一個指數函數 $a^{-n}$ ， $a$ 為任意實數。

則函數 $x[n]a^{-n}$ 的DTFT為： $sum_{n=-infty }^{infty }{x[n]a^{-n}e^{-jomega n} }$ ，

化簡得： $sum_{n=-infty }^{infty }{x[n](acdot e^{jomega })^{-n} }$

顯然， $acdot e^{jomega }$ 是一個極坐標形式的複數，我們把這個複數定義為離散信號的復頻率，記為z。

則得到Z變換的公式： $sum_{n=-infty }^{infty }{x[n]z^{-n} }$ 。

Z變換解決了不滿足絕對可和條件的離散信號，變換到頻率域的問題，同時也同樣對「頻率」的定義進行了擴充。

所以Z變換與離散時間傅里葉變換（DTFT）的關係是：

Z變換將頻率從實數推廣為複數，因而DTFT變成了Z變換的一個特例。

當z的模為1時，x[n]的Z變換即為x[n]的DTFT。

從圖像的角度來說，Z變換得到的頻譜，是一個複平面上的函數，而DTFT得到的頻譜，則是沿著單位圓切一刀，得到的函數的剖面，從負實軸切斷展開的圖像。（為方便作圖，這裡只給出了Z變換的幅度譜和傅氏變換的幅度譜的關係。相位譜具有類似的關係。）

感謝評論區 @蔡世勛提供的圖片。

這三種變換都非常重要！任何理工學科都不可避免需要這些變換。

這三種變換的本質是將信號從時域轉換為頻域。傅里葉變換的出現顛覆了人類對世界的認知：世界不僅可以看作雖時間的變化，也可以看做各種頻率不同加權的組合。舉個不太恰當的例子：一首鋼琴曲的聲音波形是時域表達，而他的鋼琴譜則是頻域表達。

三種變換由於可以將微分方程或者差分方程轉化為多項式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的計算成本。

另外，在通信領域，沒有信號的頻域分析，將很難在時域理解一個信號。因為通信領域中經常需要用頻率劃分信道，所以一個信號的頻域特性要比時域特性重要的多。

具體三種變換的分析（應該是四種）是這樣的：

傅里葉分析包含傅里葉級數與傅里葉變換。傅里葉級數用於對周期信號轉換，傅里葉變換用於對非周期信號轉換。

但是對於不收斂信號，傅里葉變換無能為力，只能藉助拉普拉斯變換。（主要用於計算微分方程）

而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。（主要用於計算差分方程）

從複平面來說，傅里葉分析直注意虛數部分，拉普拉斯變換則關注全部複平面，而z變換則是將拉普拉斯的複平面投影到z平面，將虛軸變為一個圓環。（不恰當的比方就是那種一幅畫只能通過在固定位置放一個金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。）

2017年更新：將這個答案整理了一下，寫了篇博客，加了一些理解和圖示，可以參考深入理解傅里葉變換

曾經和同學上課時深入探討過此問題，占坑，有空再來回答！！

我來說些不一樣的東西吧。

我假定樓主對這些變換已有一些了解，至少知道這些變換怎麼算。好了，接下來我將從幾個不同的角度來闡述這些變換。

一個信號，通常用一個時間的函數 $x(t)$ 來表示，這樣簡單直觀，因為它的函數圖像可以看做信號的波形，比如聲波和水波等等。很多時候，對信號的處理是很特殊的，比如說線性電路會將輸入的正弦信號處理後，輸出仍然是正弦信號，只是幅度和相位有一個變化（實際上從數學上看是因為指數函數是線性微分方程的特徵函數，就好像矩陣的特徵向量一樣，而這個復幅度對應特徵值）。因此，如果我們將信號全部分解成正弦信號的線性組合（傅里葉變換） $x(t)=Sigma_omega X(omega ) e^{i omega t}$ ，那麼就可以用一個傳遞函數 $H(w)=Y(w)/X(w)$ 來描述這個線性系統。倘若這個信號很特殊，例如 $e^{2t} sin(t)$ ，傅里葉變換在數學上不存在，這個時候就引入拉普拉斯變換來解決這個問題 $x(t)=Sigma _s X(s) e^{st}$ 。這樣一個線性系統都可以用一個傳遞函數 $H(s)=Y(s)/X(s)$

來表示。所以，從這裡可以看到將信號分解為正弦函數（傅里葉變換）或者復指數函數（拉普拉斯變換）對分析線性系統至關重要。

如果只關心信號本身，不關心系統，這幾個變換的關係可以通過這樣一個過程聯繫起來。

首先需要明確一個觀點，不管使用時域還是頻域（或s域）來表示一個信號，他們表示的都是同一個信號！關於這一點，你可以從線性空間的角度理解。同一個信號，如果採用不同的坐標框架（或者說基向量），那麼他們的坐標就不同。例如，採用 ${delta(t- au )| au in R}$ 作為坐標，那麼信號就可以表示為 $x(t)$ ，而採用 ${e^{i w t}|win R}$ 則表示為傅里葉變換的形式 $X(w)$

。線性代數裡面講過，兩個不同坐標框架下，同一個向量的坐標可以通過一個線性變換聯繫起來，如果是有限維的空間，則可以表示為一個矩陣，在這裡是無限維，這個線性變換就是傅里葉變換。

如果我們將拉普拉斯的 $s=sigma+j w$ 域畫出來，他是一個複平面，拉普拉斯變換 $X(s)$ 是這個複平面上的一個複變函數。而這個函數沿虛軸 $j w$ 的值 $X(jw)$ 就是傅里葉變換。到現在，對信號的形式還沒有多少假定，如果信號是帶寬受限信號，也就是說 $X(jw)$ 只在一個小範圍內（如 $-B<w<B$

）不為0。

根據採樣定理，可以對時域採樣，只要採樣的頻率足夠高，就可以無失真地將信號還原出來。那麼採樣對信號的影響是什麼呢？從s平面來看，時域的採樣將 $X(s)$

沿虛軸方向作周期延拓！這個性質從數學上可以很容易驗證。

z變換可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個代換 $z=e^{sT}$ ，T是採樣的周期。這個變換將信號從s域變換到z域。請記住前面說的那個觀點，s域和z域表示的是同一個信號，即採樣完了之後的信號。只有採樣才會改變信號本身！從複平面上來看，這個變換將與 $sigma$ 軸平行的條帶變換到z平面的一個單葉分支 $2kpile heta le 2(k+1)pi$ 。你會看到前面採樣導致的周期延拓產生的條帶重疊在一起了，因為具有周期性，所以z域不同的分支的函數值 $X(z)$

是相同的。換句話說，如果沒有採樣，直接進行z變換，將會得到一個多值的複變函數！所以一般只對採樣完了後的信號做z變換！

這裡講了時域的採樣，時域採樣後，信號只有 $-f_s/2 ightarrow f_s/2$

間的頻譜，即最高頻率只有採樣頻率一半，但是要記錄這樣一個信號，仍然需要無限大的存儲空間，可以進一步對頻域進行採樣。如果時間有限（這與頻率受限互相矛盾）的信號，那麼通過頻域採樣（時域做周期擴展）可以不失真地從採樣的信號中恢復原始信號。並且信號長度是有限的，這就是離散傅里葉變換(DFT)，它有著名的快速演算法快速傅里葉變換(FFT)。為什麼我要說DFT呢，因為計算機要有效地對一般的信號做傅里葉變換，都是用DFT來實現的。除非信號具有簡單的解析表達式！

總結起來說，就是對於一個線性系統，輸入輸出是線性關係的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個系統的特性，比單純從時域分析要強大得多！兩個著名的應用例子就是線性電路和傅里葉光學（信息光學）。甚至非線性系統，也在很多情況裡面使用線性系統的東西！所以傅里葉變換才這麼重要！你看最早傅里葉最早也是為了求解熱傳導方程（那裡其實也可以看做一個線性系統）！

傅里葉變換的思想還在不同領域有很多演變，比如在信號處理中的小波變換，它也是採用一組基函數來表達信號，只不過克服了傅里葉變換不能同時做時頻分析的問題。

最後，我從純數學的角度說一下傅里葉變化到底是什麼。還記得線性代數中的代數方程 $Ax=b$ 嗎？如果A是對稱方陣，可以找到矩陣A的所有互相正交的特徵向量 ${v_i,i=1..n}$ 和特徵值 $lambda_i,i=1..n$ ，然後將向量x和b表示成特徵向量的組合 $x=Sigma_i x_i v_i, b=Sigma_i b_i v_i$ 。由於特徵向量的正交關係，矩陣的代數方程可以化為n個標量代數方程 $lambda_i x_i = b_i$ ，是不是很神奇！！你會問這跟傅里葉變換有毛關係啊？別急，再看非齊次線性常微分方程 $y$ ，可以驗證指數函數 $y=e^{sx}$ 是他的特徵函數，如果把方程改寫為運算元表示 $Lambda y = z$ ，那麼有 $Lambda y = lambda y$ ，這是不是和線性方程的特徵向量特徵值很像。把y 和 z都表示為指數函數的線性組合，那麼經過這種變換之後，常微分方程變為標量代數方程了！！而將y和z表示成指數函數的線性組合的過程就是傅里葉變換（或拉普拉斯變換）。在偏微分方程如波動方程中也有類似結論！這是我在上數理方程課程的時候體會到的。歸納起來，就是說傅里葉變換就是線性空間中的一個特殊的正交變換！他之所以特殊是因為指數函數是微分運算元的特徵函數！

第一個問題，為什麼要進行著三種變換。（理解這一點很關鍵）

三種變化均是將原先在時域表示的信號變換到頻域進行表示，在頻率域分析信號的特徵。當信號變換到頻域後，就會出現很多時域中無法直接觀察到的現象。

（圖片來源：時域頻域_百度百科）

第二個問題：三種變化的關係

之前說了三種變換都是講原先在時域中表示的信號，變換到頻域中表示。但是根據傅里葉變化的定義，只能對能量有限的信號進行變換（也就是可以收斂的信號），無法對能量無限的信號進行變換（無法收斂的），所以就出現了拉氏變換，在原先的傅里葉變換公式中乘以一個衰減因子，使得能量無限的信號也能進行時頻變換。

Z變換就是離散信號的拉氏變換。

第三個問題：研究的什麼？

還是之前說的研究的就是信號的時頻變換。拉氏變換和Z變換都是傅里葉變換的延伸。

一點都不誇張的說，沒有傅里葉變換就沒有現代通信技術，進一步說就沒有現代文明！

作為一個通信專業的學生，這三種變換是基礎的基礎，建議題主不要想太多，先把基礎理論學紮實。

一切的變換的意義，都是為了能在數學上面表達一個波的形狀到底是什麼。一開始我們可以用一個衝激函數以時間的順序排成一排，再每個乘以各自的係數（線性組合），就能得到紙面上一個波的形狀。後來，偉大的傅里葉同學發現，不僅使衝激函數，用復指數信號疊加之後乘上各自的係數，也可以表達幾乎所有的波的波形。而且！用復指數信號表達的輸出計算方式比卷積有規律很多，而這個規律可以從頻域上面看出來。這個發現，使得信號的變換進步了一大步。

周期信號可以用傅里葉級數表示，非周期信號用傅里葉變換表示。這個再展開講就偏題了。奉上以前的傅里葉公式筆記一張(*^__^*)

拉普拉斯變換：傅里葉變換對信號的要求比較高，適應於本身衰減得快的信號。為了擴大傅里葉變換的應用範圍，使其能用於更多不穩定系統的分析，人們在計算過程中人為的添上一個負指數函數作為係數，讓一些不衰減的信號更快衰減，方便換算。這就是拉布拉斯變換的由來。拉普拉斯變換用於連續信號。

拉布拉斯變換： $Xleft(s ight) =int_{-infty }^{+infty } xleft( t ight) ex^{-st} dt$ 其中 $s=sigma +jw$ 。

把 $s$ 帶回公式可得 $Xleft( sigma +jw ight) =int_{-infty }^{+infty } left[ xleft( t ight)e^{-sigma t} ight] ex^{-jwt} dt$

跟傅里葉變換的公式對比起來看，是不是只差了個係數？

因為變換要收斂才有意義，所以收斂域討論的是讓 $e^{-st}$ 積分之後有意義。這個稍微涉及了一點微積分的知識。最後的答案在直角坐標系看，分界線平行於Y軸。

Z變換：和拉普拉斯變換的目的類似，把離散時間傅里葉變換公式的 $e^{jw}$ 替換成為z，再乘以一個加權係數表示z的模（通常等於1），就進化成了z變換。z變換用於離散信號。

z變換： $Xleft( z ight)=$ $sum_{n=-infty }^{+infty }{xleft[ n ight] } z^{-n}$ 其中 $z=e^{jw}$

帶進去就可以還原了。

同樣，Z變換的收斂域是要讓算出的值有意義，通過等比公式展開之後可以看到，需要z小於或者大於某個值才可以，用極坐標來看，就是個圓域。

這個就是我以最通俗的方法理解的變換.

橫看成嶺側成峰。有些東西的代數表示很複雜，但是經過初等變換，平移，旋轉，balbalbal 怎麼廬山就變得很簡單了啊。。

研究問題，首先要找「不變數」，其次找「不會變的關係」或者叫「規律」。換句話說就是找「恆等量」和「恆等式」。或者說對你的模型來講，哪些東西變了，你不care，一定要先明確。

比如說信號，是個功率或者電壓的時間函數。如果我們把時間軸左右平移下，影響我們對這信號的認知嗎？不會，畢竟信號傳輸總會有延時的。如果我們把整個信號曲線都加一個值，影響我們對這信號的認知嗎？不會，畢竟信號的0電平是我們自己規定的。同理把信號乘以一個值也不影響，因為信號強度的度量單位是我們自己規定的。。。哎喲喲這就是個線性的研究對象啊。

線性的研究對象，我們就可以使用具有線性不變性的變換來對研究對象進行變換（如上所說，不會改變研究對象的本質）。

題主提到的3種變換就是3種典型的具有線性不變性的函數，即f(x)+f(y)=f(x+y)， f(Ax)=Af(x)的。注意這些玩意兒處理的對象書本上往往只講連續的變換過程（包括有周期和沒周期的），裡面的x，y需要看成是一段曲線。而實際我們更經常處理離散的信號，此時x,y就是矢量而f往往都可以轉換成矩陣乘法來進行分析了，而離散信號矢量本身也可以看成是衝擊函數矩陣和那個曲線本身的卷積（採樣）了。

矩陣這麼多，為什麼我們愛用傅立葉矩陣，拉普拉斯矩陣這些呢？沒啥原因，因為進行了這些矩陣乘法之後，很多物理量的表示方法就簡單化了，例如音頻，圖像，視頻信號等，說他們沒原因的緣故是：我們也不知道為何造物主和人類在演變中都認為頻繁變化的東西都是沒用的，雜訊。。有用的東西，都是有規律或者有周期的進行變化的，變化是不那麼劇烈和經常的無規律的。我們只研究有用的東西而沒人去研究沒規律的電子熱雜訊，而如何度量「不變的規律或者周期」呢？對不起，就是上面提到的傅立葉矩陣以及其它變換。

傅立葉變換可以理解為，用定量分析去研究「規律性」的。想必問題主學到的第一個周期函數就是正弦餘弦函數吧，，沒錯，傅立葉同學就用它們來做基準，定義了「規律性」（例如規律0的值是5伏，叫做以5伏時刻不變的規律；規律1的值是10，叫做每秒以最大值最小值為10/-10的正弦函數的變化曲線變1周期的規律）。如果一個信號同時具有多個不同「規律」，那麼他們的值的相對比例標明了幾個規律之間的相對強弱性，而信號則視為這些正弦信號的線性相加（注意本文開頭強調信號是個線性的研究對象，這下就被排上用場了）。而正弦餘弦信號可以認為只有一個規律N，即每秒以正弦函數的變化曲線變N周期。然後人類就進一步用這個工具，先把有規律的信號線性的分解出了他們的規律，叫做頻譜（把信號認為是很多個「不同規律」正弦波的和），，然後再進一步對看起來沒有周期沒有規律的信號，也進行上面說到的線性分解，發現他們有無限條規律。。。這時候，人類就可以用「有規律」的方法去研究這些「沒有規律」的東西了（在頻域這個視角下，抓住主要規律，捨棄不重要的功率小的規律）,而且很多時候正弦分解看出來的規律指向性還是很強的，例如色彩變化明顯的圖像低頻分量低，女子男子說同一段話的話，基本女子高頻分量會更高而這又和聲帶震動頻率女子更高相符合。

用正弦函數來做分解得到的頻譜，我們把他叫做"正弦頻譜"。選擇正弦函數來做「規律描述」，還有一個好處，就是可以使用「相位」這個概念來描述：各個正弦規律他們在時間0時候的狀態。有相位來描述狀態，那麼我們就可以從規律譜（正弦頻譜）和初始狀態譜（各個正弦曲線的初始相位譜）來完整的復原一個信號在任何時刻的值了。為什麼說正弦函數和相位很有用呢？因為相位譜和正弦譜，橫坐標都是一樣的，我們可以合起來用一個量的變化去描述這2個縱坐標：複數。所以如果我們允許「頻譜」的值是複數 $z=re^{i heta}$ 的話（原來的正弦頻譜的縱坐標用來表示現在頻譜的r部分，初始相位譜縱坐標用來表示現在頻譜的 $heta$ ），我們就可以用一個「複數頻譜」完整的描述前面說的正弦譜和相位譜，或者復原一個信號的信息了。以上這就是現在主要大學課本傅里葉變換公式的基本模型（沒見過？平心而論，中國90%的本科老師應該都沒歸納過我這份回答類似的東西，絕對不是吹的，絕大多數人都只會甩出來一個公式，然後莫名其妙的冒出來複數（我當年真心不明白為何電學的世界突然闖進來個複數...））。

至於為什麼正反傅里葉變換公式這麼像，這完全就是另外一個數學的阿貝爾群論問題了，這裡不討論了，收嘴。

綜上，這個世界大部分東西都是易變的，未知的。當你需要研究某個物理量相對於時間，或者長度等另一個物理量的「規律」卻絲毫看不出來有任何關係或者規律時（相信這也是絕大多數研究所面對的問題），請使用但不限於上面提到的傅立葉變換去分析這個物理量「基於正弦或者XX函數的周期性規律的分布」吧。

問題主完全可以嘗試著把這個某些你要研究的信號，試下根據周期性方波而不是正弦波來分解，說不定還可以得到以你命名的XX變換喔哈哈。事實上有規律的可以用來度量「規律」的東西很多，比如說 $x^{n}=1$ 的n個根所採樣的單位元（離散傅立葉變換，x也可以不一定是複數），比如說 $X^{2}=I$ 的X矩陣(元素可以是實數域，甚至計算機上的0-1有限域) 等等。

分析信號用

傅里葉變換

分析系統用

連續系統：拉普拉斯變換

離散系統：Z變換

----------更新1---------

《信號與系統》讀薄了，也就講了4種域：時域，頻域，s域和z域。現在理清一下它們與「信號」和「系統」的關係，及它們間的轉換：

1. 描述信號

時域

連續信號：x(t)

離散信號：x[n]

頻域

連續信號： $X(jw)$

離散信號： $X(e^{jw})$

2 描述系統

時域

—連續系統：

顯性描述：單位衝激響應——h(t)

隱性描述：微分方程

—離散系統：

顯性描述：單位脈衝響應——h[n]

隱性描述：差分方程

頻域（存在局限性）

頻率響應(連續)： $H(jw)$

頻率響應(離散)： $H(e^{jw})$

其他域：s域和z域

系統函數(連續)： $H(s)$

系統函數(離散)： $H(z)$

3. 各域之間的轉換

時域和頻域互轉：傅里葉變換
時域和s域互轉：拉普拉斯變化
時域和z域互轉：z變換
頻域和s域互轉： $jw=s$
頻域和z域互轉： $e^{jw}=z$
s域和z域互轉：(有兩種轉法，公式忘了，回頭補充)

----------更新2---------

上面沒有結合應用，可能會讓人看得懵逼，接下來結合應用說說

應用1（信號）：分析信號頻譜

利用傅里葉變換，將時域信號轉成頻域頻譜，查看信號主要頻率成份及其分布
比如分析感測器所獲得的含噪信號的噪音頻譜範圍，以確定去噪方法

應用2（系統）：查看濾波器通帶

已知低通濾波器的單位脈衝響應，想查看它的通帶，利用傅里葉變換轉成頻域查看通帶。
比如，對應用1的信號進行去噪，就要設計一個濾波器，設計完後，要查看濾波器通帶是否正確，就要轉成頻域來查看（可能使用傅里葉變換將時域轉成頻域，也可能用 $z=e^{jw}$ 將z域轉成頻域查看頻譜幅值）。

應用3（系統）：電路分析

已知一個包含各種電容，電感，電阻和運算放大器模塊，以及各種反饋的電路系統。如果知道其微分方程，可以直接通過傅里葉變換分析該系統對輸入信號頻譜的影響。然而傅里葉變換卻不能分析系統的穩定性，所以需用拉普拉斯變換轉成s域就能分析，而且轉換更方便。
比如，電路中的某些反饋很可能導致意想不到的放大，在s域就能分析出。

應用4（系統）：自動控制

已知一個PID演算法，及其差分方程，需要分析其是否穩定，直接用z變換轉成z域分析。
比如用單片機控制小車的速度，就需要PID。只有z域才能分析出其是否穩定，如果不穩定，可能造成小車不斷加速。

PS: 以上的應用如果出現描述錯誤，請各位看官指出

這是傅里葉變換的錯過這篇文章，可能你這輩子不懂什麼叫傅里葉變換了（一）

，如果看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧（二） - 與時間無關的故事 - 知乎專欄看完了再不懂，先把作者掐死再找塊豆腐把自己撞死吧

傅立葉級數：針對周期信號提出。本質在於一個周期信號可以表示成正弦信號的疊加。

傅立葉變換：推倒過程來源於傅立葉級數。

周期信號和非周期信號都存在傅立葉變換。

拉普拉斯變換：只談物理意義，一個增幅信號可以表示成增幅正弦信號的疊加。一個減幅信號可以表示成減幅正弦信號的疊加。

Z變換：針對離散信號提出。物理意義同拉普拉斯變換。

我從歷史變換思想的出發點以及用途談談我的看法

首先，可以把拉普拉斯變換和z 變換（生成函數）視為一體，兩者都是拉普拉斯提出的。

拉普拉斯作為傅立葉的導師，並不認同復立葉提出的復立葉變換，直到拉普拉斯去世，傅立葉才正式發表，直到柯西提出了關於極限的嚴格收斂條件，傅立葉才放心大膽使用它的理論。

從歷史的角度來講，傅立葉變換出現在拉普拉斯變換之後，從形式上說，他們是類似的，但是出發點是不相同的。

拉普拉斯變換：拉普拉斯變換的基本思想其實是源於函數的冪級數分解。

對於微分方程，或者線性系統的分析，拉普拉斯變換（z變換）都是單邊的。

z變換（生成函數）一定程度上可以視為是函數冪級數展開的逆運算，也就是已知係數，求原函數，它是一個累加的形式。當把累加形式變成積分形式，就有了拉普拉斯變換。這是一個自然的過程，這是也歷史，當然最初的形式和信號分析中的形式也有區別。在信號處理中，則通常是先引入對信號的拉普拉斯變換，然後對此信號採樣後再進行拉普拉斯變換，得到z變換。很多書本直接給出拉普拉斯變換的形式，其實應該有一些過渡。

傅立葉變換：傅立葉變換的基本思想源於正交分解。

傅立葉變換一生下來就是雙邊的。

如果說Laplace是從冪級數展開的思想發展出來的拉普拉斯變換，那麼傅立葉更加有針對性地研究周期信號的三角級數展開（或者說是分解）。從線性空間的角度來看，這是在使用不同基對信號進行分解。

應用：

拉普拉斯變換更多的是針對系統的分析和處理，主要是微分方程（差分方程），衝擊響應，傳遞函數，零點極點和頻率響應，穩定性分析。很多書，在講解復立葉變換時，也把諸如微分方程，傳遞函數塞進去，包括奧本海姆的書，原則上說沒什麼問題，但是對於系統的分析，濾波器設計，SD modulator分析，開環閉環穩定性分析，通常還是使用拉普拉斯變換或z變換。

傅立葉變換更多的是針對信號的分析和處理，主要是頻譜分析。

我學了一學期，並沒有悟到多少道理，唯一有感覺的地方在於積分變換解偏微分方程和常微分方程，積分變換的性質，竟然可以把微分方程化為代數方程，簡直pefect

或許這種能把積分和微分化為數乘就是積分變換的初始目的吧，我猜的。

補充一下，對於通信專業，傅里葉變換是最重要的變換，代表了時域和頻域的轉換，4G通信系統中使用的OFDM，甚至會直接將一組信息直接放到頻率上一組正交的頻點上，然後IFFT變換到時域，再發送出去，而不是單獨把信號調製到每個頻點上，接收時再FFT回到頻域。

這些變換實質就是域的映射，方便計算，方便判斷系統性質，信號性質，方便計算機實現。

看了上面各位的解釋，我個人的觀點是，好的解答一定要短而且言簡意賅，捨去一些具體的專業知識，即使是一個門外漢也能看懂你的描述。

對於別的兩種變幻我的了解程度不夠，對於laplace transformation我的經驗以及知識，還是可以說道說道的。為森么這個很重要，首先這是一種工具，沒有這個工具，可能很多複雜的電路都是沒有辦法解答的。簡單電路我們用的解決方法就是結合基爾霍夫方程，用modified nodal anaglysis 去分析，簡單來說，就是每一個電路中的分叉口我們都可以假設電壓，然後分析電流在這個點的公式，那麼一個簡單的lr circuit 就可以寫成這個樣子：?u + L＊i" + ri = 0，如果你學習過基礎的微分方程，這個當然就有很多種解法，其中一種就是laplace transformation。當然，個人而言，如果代數學的不是很好，大部分人還是喜歡用variation of parameter 或者 Wrońskian determinant。因為後者只需要一個計算器，就可以了並不需要複雜的代數變幻。

那麼問題來了，為什麼需要發明這個laplace呢？我找到了一段話很好的描述了這個問題：

The purpose of the Laplace Transform is to transform ordinary differential equations (ODEs) into algebraic equations, which makes it easier to solve ODEs.（來源於：What exactly is Laplace transform?）

同樣的，當一個複雜的微分方程出現的時候，如果我們可以用基本代數一樣的方法，就會輕鬆很多很多，這就是為什麼電子工程需要學習和使用laplace的原因。

現在科學很多都不是建立在現象之上了，很多都是建立在對於定義的解剖和使用上，電路分析也是一樣，我們需要擺脫這個傳統的電路觀念，用非微分方程的思維模式，比如說比擬的方式去思考，我們更應該從電學的效應本質去思考，不如說，i＝c（dv／dt），在我們想要運用電容的時候。

希望我的回答可以解決你的疑惑，也希望你能為你的專業感到一種責任，工程師的責任。

實際上，當我們的研究對象是線性時不變系統linear invariant system時，這類(傅里葉，拉普拉斯，z變換等)變換使用的基，或者相當於坐標系，是最自然的。什麼叫最自然。即連續線性時不變系統的本徵函數就是e^x, 用歐拉公式展開就是sin x和cos x。對應離散形式也是如此。我們有了好的坐標系，分析線性時不變系統用的記號就更加清晰明了。

從一個不同角度來聊聊——從更抽象的數學角度解釋一下『為什麼要進行這些變換』。

先說向量的內積。向量的內積的定義是 $old xullet old y=(a,b)ullet(c,d)=a imes c+b imes d$ ，其中x和y是向量。記為&。

內積表示了什麼呢？內積表示了向量A在向量B上的投影。比如&<(2,1),(1,0)&>表示的就是(2,1)在(1,0)上的投影，算出來是2。表示(2,1)有x軸的分量值為2。更一般的，不僅是坐標軸，內積運算可以用來表示一個向量在另一個向量的投影。請看下圖。

我們為什麼要進行投影呢？很多時候是因為我們想要將一個複雜的東西分解為不同基礎事物來表示。這些不同的基礎事物被稱為基底。比如你想表示一個物體的空間位置，你表示為(x,y,z)就是投影在了不同的三個不同的基底上。而大家會一般會選擇正交基底（x,y,z互相垂直），讓基底之間完全沒有關係。舉個更廣泛的例子，化學家們將物質分為不同元素也可以看做將物質投影到不同的正交基底中，這樣就可以分析物質：這個未知的物質由78%的N元素構成，21%的O元素組成……等等。

當向量變為n維時，向量的內積就變成了 $<old x, old y>=(x_1,x_2,...,x_n)ullet (y_1,y_2,...,y_n)=Sigma_{i=1}^nx_iy_i$ 。當分解的維度無限時，求和符號就變成了積分。實際上，兩個實函數的內積定義為：

$<f,g>=int_{a}^{b}f(x)g(x) dx$

這形式就很像傅里葉/拉普拉斯/z變換了。考慮傅里葉變換 $int_{-infty}^{infty } x(t)e^{-jomega t} dt$ 。意思是求信號x(t)在不同基底上的投影。那麼為什麼用 $e^{-jwt}$ 作為基底呢？因為信號理論中，認為不同頻率的cos(wt)可以用來表示信號。（ $e^{-jwt}$ 根據歐拉公式就是cos函數）。大家希望能夠像用元素分解物質一樣，用cos來分解不同的信號，而且也在大部分情況下的確做到了。而且在下面的答案中也寫到了傅里葉級數中，cos(nt)是互相正交的，這是一個很好的性質。

在圖上表示，考慮一個函數（或是信號）在信號空間中，你想要知道這個信號是怎麼分解成不同的基本信號單元，那麼將它投影到不同的軸（每個軸是不同的信號單元）上。這和向量是一樣的。

那麼也許有人還要繼續追問，OK我了解這些性質了，但是為什麼要用這組基底呢？這問題就很像化學家們為什麼用電子排布為元素分類而不是用別的分類方法。我只能說，好的你可以找一組新的分類方法，只要有效能解決問題就好。

事實上，也的確有很多種變換方式（用不同的基底）。做傅里葉變換/拉普拉斯變換/z變換就是信號在不同基底上的分解。

因此我覺得從直觀的物理意義來理解「傅里葉變換」是可以的，但是在深入學習信號處理時，還會遇到不同的變換，這些變化沒有直觀的物理含義。我的理解是：這些不同的變換隻是構成信號的不同的分類方法（基底），而這種分類方法可以幫助看到信號不同的特性。

我在看信號與系統，大概有這幾個，視頻源是MIT 的，可以在網易公開課找到，奧本海默的教材裡面，大概第三章是傅立葉變換，後面另外是拉普拉斯變換和Z變換，我現在再看第一章的指數信號，裡面的老師也說「你付出越多，你得到的絕對不是失望」，不過複數的運算的知識我有一點遺忘了，搞得我補了點史記懷的複變函數課，我希望能夠用Pythonxy把所有的函數都繪製出來。另外我在高等數學的同濟教材的下冊的多元函數的微分中看過兩個，我翻了一下，大概在P68，有兩個拉普拉斯方程，另外，在複變函數的P53的指數函數推導，居然把高數的Mu函數用到了，我當時學習的時候，居然沒有一點感覺，時間有限，我只能採用跳島戰術了，知識是死的，人是活的，但是如果人能夠操作一下知識，知識就活了，公式的話，沒有考試就不要記了，一是用多了自然記得，而是腦子容量有限，記得太多，騰不出空間，大不了下載個pdf,看一看，刷一刷就行了

簡單來說，傅里葉變換是將時域的信號變成頻域。但是為什麼我們需要呢？而所謂的頻域是什麼呢？

其實，所謂的傅里葉變換無非是用一個固定頻率的正弦波來表示任意一個波。相信你肯定了解時域，因為他就是我們看到的最簡單的二維世界。一個不斷舞動的波，就好像飄揚的旗子一樣。我們很明顯的看到了它的舞動的大小（振幅），那麼其實它還有另一個性質，那就是頻率，對於固定周期的波，那麼我們可以肯定在下一個周期的同一點一定會重現在同一個位置。而這個時間就是它的頻率，那麼非周期性的波呢？我們發現任何非周期性的波都可以用不同周期性的波相加後來表示（除了矩形波和三角波），那麼多少個波呢？每個波的周期又是多少呢？

傅里葉變換/級數就是數學上的對時域信號的展開，但是因為它是有限個周期波的展開，也就是有限個不同頻率的波的疊加。有些人就稱之為頻域，這其實就是人創造的說法，其實是頻域還是什麼有什麼關係，無非就是用一些信號的疊加罷了。

當然，一些天才隨後又發明了碼這種東西，又創造了碼域成功的增加了吞吐量，試想在時域上加了一個頻域我們就創造出了OFDM這種高容量的演算法，那麼進一步優化的CDMA創造出的三維容量將會增大多少呢？

我來胡說一下。

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我認為上面的一切答案都沒有奧本海姆的《信號與系統》上面能夠把問題闡述清楚。也可以去看看他的視頻，雖然很早，但是絕對是經典中的經典。

如果想要理解以上所說的三大變換，如果你了解級數的概念和時域卷積，那麼這一切很難成為你理解三大變幻的絆腳石。

從生活角度談起，我們處理問題是總是會把一個大事化解會許多小事來進行處理，處理完之後，進行整合，這樣可以提高做事的效率。從數學的角度談起，再處理複雜的關係會用到微-積分，通常先微分，後積分。將問題的規模進行無限的劃分，然後逐個處理，然後在進行積分，這樣就可處理很大不一部分問題。從編程角度來看。。。。。。。等等，都是講問題規模變成一個可以處理的基本單元，然後進行處理，最後進行整合。

假設lz已經了解什麼叫線性時不變系統（LTI）。去看看奧本海姆的《信號與系統》，千萬別看什麼鄭君里，管（等等國內的大俠）。。

線性時不變系統能解決部分信號處理的問題。信號時不變系統適合計算並且處理我上面所說的基本單元分割，然後整合的思想。什麼平移，翻轉，相乘，求和，就不解釋，這是依靠純數學辦法解決分割處理整合的問題。

對於線性時不變系統，這裡先說模擬信號（即連續信號，而函數的表示就代表的信號的類型），輸入到系統時，會把這些信號按照時間單位進行分割，分割到最小的基本單元，然後對每個最小的單元進行處理，最後進行整合。最後把信號這樣輸出來。這就是所謂的時域處理信號的方式，然而，有時這樣的信號很難進行處理。

後來有人里提出了用正（余）弦函數可以作為最小單位去處理問題，因為正弦函數可以去近似大部分函數。這下知道傅立葉級數的重要性了吧。只要滿足一定的條件，都可以使用傅立葉級數去表示這一類信號。對於系統來講就可以將信號分解成許多用正弦函數去擬合，這樣就滿足了處理問題的前提（先分割），再對每一個正弦信號進行相應的系統處理，最後整合。每個正弦信號都有自己的頻率，例如sin（wt），對就是那個w頻率。

如果你願意你也可以自創一個基本的單位去表示其他信號，前提是這樣的基本單位可以滿足你解決問題。然後你可以實現時域-》x域的變換。

這樣就是所謂的從時域到頻域的跨越。其實本質就是用另一種方式來表示分割信號的方法，然後進行單位化處理，最後整合。

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以上所談能幫助你理解從時域到頻域的跨越。其他的，有時間再來補。

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稍微讀讀背景知識應該會更好點吧。

最後，

強烈推薦奧本海姆《信號與系統》

簡直就是通信/電子信息/自動化等等學生的必備品，入門必讀的良藥啊。

變換的本質是從另一個維度去刻畫信號，從而更方便描述信號特性和進行工程實現。