地球發射一枚火箭，與太陽保持相對靜止，一年後地球和火箭重逢，火箭上的時鐘和地球上的時鐘，誰快些？

01-02

謝邀。這種問題的難點在於加速度和引力場都會導致時間流逝率發生變化。不過這種程度的問題完全屬於廣義相對論課後習題，就是看你廣義相對論學沒學到家。這個問題的結論必須定量計算以後才知道，不過如果簡化一些條件，我估測了一下應該是地球上的鐘慢。其實這個問題只是雙子問題在彎曲時空的版本。凡是問誰過的時間快，誰過的時間慢，無非就是比較二者在時空中的世界線誰長誰短而已，因為世界線代表固有時，所以說白了就是個幾何問題，不用區分什麼不同情況，只要二者最後相遇，相遇的時候就可以比較誰的鐘快誰的鐘慢。我這裡簡單演示一下這種問題的計算方法，至於具體代數計算，這個留給題主自己去算。計算之前需要如下簡化：

1、太陽是球對稱的，其引力場也是球對稱的。

2、相對於太陽而言，地球可簡化成質點，並可以忽略地球自身的引力。

然後這個問題可重新表述為：地球上A,B兩個鍾計時率同步，在 $t_0$ 時刻，兩個鍾突然分離，A在太陽系裡保持靜止，而B隨著地球繞著太陽公轉，問A,B再次相遇的時候，誰的時間快？

那麼解答是，按照第一點假設，取一個靜態觀者的坐標系 $left{ x^mu ight}=left{ t,r, heta,phi ight}$ ，則太陽產生的時空彎曲是Schwarzchild解來描述，其時空度規為：

$ds^2=g_{mu u}dx^mu dx^ u=-f(r)dt^2+f(r)^{-1}dr^2+r^2d heta^2+r^2sin heta^2dphi^2$ ...(1)

其中： $f(r)=1-frac{2M}{r}$ 。太陽位於 $r=0$ 的地方，其質量為 $M$ 。這是廣義相對論作用量的解:

$S=int_{}^{}sqrt{-g}mathcal{R}+S_{GH}$ .

然後下面要做的就是算出A,B的世界線從分開到相遇的過程中各多長。線元在(1)式子已經給了，那麼你算曲線長度只要會積分就行了，即

$s=int_{t=t_0}^{t=T}sqrt{g_{mu u}dx^mu dx^ u}$ ...(2)

這裡的 $T$ 代表A,B相遇時候的時間，當然是在 $left{ x^mu ight}=left{ t,r, heta,phi ight}$ 坐標系下的時間。換句話說A,B在 $left{ t,r, heta,phi ight}=left{ t_0,R,Theta,Phi ight}$ 的分開，然後在 $left{ t,r, heta,phi ight}=left{ T,R,Theta,Phi ight}$ 的時候再次相遇，因為A始終靜止所以其空間坐標一直不變，那麼A,B相遇時候的空間坐標也是跟A的空間坐標一樣。然後你只要把度規的分量(1)以及A,B的軌跡方程分別帶入(2)就可以算出A,B的世界線各多長。比如對於A,它由於是靜止的，那麼它空間坐標 $r, heta,phi$ 始終是 $R,Theta,Phi$ 都是常數，因此你帶入(2)式就能得到：

$s_A=int_{t_0}^{T}dtsqrt{f(r=R)}$ ...(3)

這裡用的度規號差是{-,+,+,+}，所以算類時曲線的時候我在開方的時候多加了個負號。然後對於B由於它只是受到太陽引力作用，因此在時空中做測地線運動。原則上你要先解出他的運動方程。對於質點，其作用量為(2)式的樣子，然後你變分得到的就是測地線方程：

$frac{d^2x^mu}{ds^2}+Gamma^mu_{ usigma}frac{dx^ u}{ds} frac{dx^sigma}{ds}=0$ ...(4)

如果你真嚴格去解(4)，你會得到B的運動軌跡，它的軌跡其實不是閉合的橢圓或者圓形軌跡，而是有一個進動角，這個你可以參考水星進動的計算。這個進動角取決於行星距離太陽的距離，這裡的計算，由於地球距離太陽比較遠，所以進動並不明顯，我就用牛頓理論近似的軌跡好了，那麼B就是個勻速圓周運動。那麼B的軌跡方程就是： $left{ t,r, heta,phi ight}=left{ t,R,Theta,omega t ight}$ ，這裡的 $omega$ 是B的角速度，顯然牛頓近似下這是個常數。然後你把B的軌跡方程帶入(3)可得：

$s_B=int_{t=t_0}^{t=T}dtsqrt{f(r=R)-sinTheta^2left( frac{dphi}{dt} ight)^2}$ ...(5)

考慮B的軌跡的牛頓近似來自於(4)，這要求 $Theta=frac{pi}{2}$ ，具體原因你去查看球對稱時空上的killing矢量的性質，我就不說原因了。然後利用牛頓近似，你可以把B的角速度 $omega$ 以及相遇時間 $T$ 用 $M$ 和 $R$ 表達出來。剩下要做的就是算出(3),(5)然後比較 $s_A$ 和 $s_B$ 誰大。顯然牛頓近似的結果是 $s_A>s_B$ ，那麼說明相遇的時候是B的時間慢。就是我之前估測的結果。但這只是利用了牛頓近似的結果，如果嚴格求解(4)式，那麼顯然不能再用牛頓近似得到的B的軌跡，算出來的結果 $r$ 跟 $phi$ 都是 $t$ 的函數，並且不能簡單的用 $phi=omega t$ ,因為我之前說了，B的軌跡會有進動。具體計算結果會與 $R,M$ 具體大小有關，注意這裡的 $R>2M$ 因為這是外部解。但是我看了一下，如果是太陽這種星體，地球離太陽又比較遠的話，那麼結果來看都應該是牛頓近似的結果。除非 $R$ 可以足夠小，比如這裡說的不是太陽而是黑洞。一般時空的情況，可也可如法炮製的做，比如換個度規什麼的。

解是確定的，運動的地球慢，靜止的衛星快

單就這個問題而言，考慮進動是沒必要的。

這個題類似於Carroll的 Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity 3.11第六題第三問

首先，太陽外部的度規可以近似寫成

$ds^2=-(1+2Phi)dt^2+(1-2Phi)dr^2+r^2(d heta^2+sin^2 heta dphi^2)$

這裡 $Phi=-M/r$ 是牛頓引力勢（G=c=1）

對於靜止的衛星，固有時為 $Delta au_{sat}=sqrt{1+2Phi}Delta tapprox(1+Phi)Delta t$ ,這裡 $Delta t$ 是坐標系時間

對於圓形軌道 $r={ m const }, heta=pi/2$ ,測地線方程可以寫成

$-frac{d^2r}{d au^2}=Gamma^r_{tt}(frac{dt}{d au})^2+Gamma^{r}_{phiphi}(frac{dphi}{d au})^2=0$ .

Christoffel 符號經計算可得 $Gamma^{r}_{tt}=frac{dPhi/dr}{1-2Phi}, Gamma^{r}_{phiphi}=-frac{r}{1-2Phi}$

從測地線方程可得 $frac{dphi}{d{t}}=sqrt{-frac{Gamma^{r}_{tt}}{Gamma^{r}_{phiphi}}}=sqrt{M/r^3}$

於是地球經過一個圓周，相對太陽靜止的衛星所經過固有時為

$Delta au_{sat}=(1+Phi)2pisqrt{r^3/M}$

現在看相對於太陽做圓周運動的地球，假設其四維速度為 $mathcal U=(U^t,0,0,U^{phi})$

接下來就是要求出 $U^t$ ,因為 $U^t=dt/d au_E$ , 而我們的最終目的是求出固有時 $au_E$ 對於坐標時 $t$ 的依賴關係。

所有的四維速度滿足

$mathcal Ucdotmathcal U=-1=g_{tt}(U^t)^2+g_{phiphi}(U^{phi})^2=-(1+2Phi)(U^{t})^2+r^2(U^phi)^2$

同時從測地線方程，我們有

$U^phi/U^t=dphi/dt=sqrt{M/r^3}$

可以解得 $U^t=dt/d au_E=(1+3Phi)^{-1/2}$

於是經過一個圓周，地球所經過固有時為

$au_E=sqrt{1+3Phi}Delta t=sqrt{1+2Phi}2pisqrt{r^3/M}$

最後 $frac{ au_E}{ au_{sat}}=sqrt{frac{1+3Phi}{1+2Phi}}=sqrt{frac{1-3M/r}{1-2M/r}}<1$

因此公轉的地球的固有時要慢一些

這還得取決於最終的觀測，是直接由地球望向靜止的火箭，還是回收火箭，火箭與地球達到共速後再觀測。

僅定性分析，定量計算已經有答主寫了。

地球發射一枚火箭，與太陽保持相對靜止，一年後地球和火箭重逢，請問火箭上的時鐘和地球上的時鐘，誰快些？

答：地球沿測地線運動，火箭的世界線不是測地線，所以重逢後對鍾，火箭的鐘快。

「分析：地球沿太陽周圍的彎曲時空的測地線運動，因為地球除「引力」外不受任何力的作用，是「自由粒子」。火箭沒有繞太陽運動，為了不墜落到太陽上，必須一直發動引擎，推力和太陽引力相等，或者，有一個外力作用在火箭上，剛好和太陽「引力」平衡，使火箭保持對太陽靜止，也就是說火箭不是「自由」的，世界線也就不是測地線。而固有時等於世界線長度，兩點之間測地線長度最短(一般來說，這裡沒有不是情況)，所以地球經歷的固有時比火箭短，也就是說，火箭的鐘快。」

主要想問的是，廣義相對論中不受力的物體時間流逝最快對嗎，這裡的受力包括引力嗎？

答：不對，不受力的粒子，就是自由粒子，沿測地線運動，時間流逝比較慢(上文提到了)。引力不是力，是時空彎曲。(所以上文我說引力，有加引號)。

或許要分兩種情況，第一種一年後地球靜止了和火箭比較，第二種重逢時地球照常轉，火箭追上地球和地球比較。

答：沒必要，重逢即可對鍾。

地球走測地線，時間長

小白有個疑問，鐘錶的計時，在與太陽保持相對靜止的火箭上，會不會因為引力的關係（或者其它原因），與在地球上有差異？

機械的、電子的

我們的時間定義是什麼，一年是繞太陽一圈，那地球上的一年後就比導彈快了一年呀（滑稽）

物體受到引力越大，時間流逝越慢，在其他外力作用下物體產生加速度等同於引力

火箭在地球軌道與太陽保持相對靜止的時候，火箭與地球受到太陽的引力影響是一樣的

火箭離開地球時以及火箭再次回到地球時會有加速度變化，具體變化我不知道

借樓，同問

以前在別的地方問，沒人回答

這個圖是我之前簡化錯了模型才會這麼問，卻刪不掉圖。我的回答里把火箭換成了「太陽自身的同步衛星」，可參考地球同步衛星的定義。

首先要肯定的是作為四種基本力的引力一定在討論範圍內的，在太空中，考慮最多的就是引力

接下來只需要對比「太陽自身的同步衛星」和地球所受引力大小即可（簡單點可以對比太陽自轉角速度和地球公轉角速度F=mr×角速度的二次方）

具體數據題主就自己去查吧

地球發射一枚火箭，與太陽保持相對靜止，一年後地球和火箭重逢， 火箭上的時鐘和地球上的時鐘，誰快些？

地球發射一枚火箭，與太陽保持相對靜止，一年後地球和火箭重逢，火箭上的時鐘和地球上的時鐘，誰快些？