σ-代數為什麼叫代數？它有代數結構嗎？

能想到的就是給X的冪集P(X)賦予對稱差運算（加法）和交運算（乘法）構成環，接著自然是Z2上的向量空間，從而是代數，而X上的σ-代數是這個代數的子代數。有限情況下有一組很直觀的基（參考維恩圖，所有不能再分解的「小塊」構成一組基，雖然它們之中有些可能為空），無限情況感覺沒這麼簡單。

這樣定義的代數結構有意義嗎？是否有助於研究σ-代數？

謝邀：我一個做分析怎麼就來回答代數了呢？於是我念了一首詩。

因為它是一個特殊的boolean algebra， 這是一類只能取0或者1的代數，這類代數的運算一般不是加法和乘法，而是取交，並以及取補

Boolean algebra - Wikipedia
In mathematics and mathematical logic, Boolean algebra is the branch of algebra in which the values of the variables are the truth values true and false, usually denoted 1 and 0 respectively. Instead of elementary algebra where the values of the variables are numbers, and the main operations are addition and multiplication, the main operations of Boolean algebra are the conjunction and denoted as ∧, the disjunction or denoted as ∨, and the negation not denoted as ?. It is thus a formalism for describing logical relations in the same way that ordinary algebra describes numeric relations

sigma代數又叫sigma域, 用在測度的代數

全集是交集的單位元, 空集是聯集的單位元, 差集同時是聯集跟交集的逆. 聯集跟交集互相滿足分配律, 且在這些運算下封閉, 於是構成代數域

可以跟格Lattice代數比較一下, 格我覺得比較好理解, 但沒有定義出測度但比較一般化, sigma是為測度而存在的

域，然後群環域，噢耶

題主基本上自問自答了。 我再給解釋一下。

代數的定義，這裡的代數確實滿足 algebra over a field (or ring) 的定義 i.e. 有乘法的線性空間（模）。但我不覺的這是在強調 sigma-代數 是 algebra over a field。我瞎猜：這裡的代數應該更加 泛指，可以理解成一個有（代數）結構的集合。就像在 universal algebra 里， algebra 指的不僅僅是 algebra over a field，可以是別的代數結構。不過這裡它確實是algebra，我猜這是個happy coincidence.

冪集代數的子代數，題主說 sigma-代數 可以看成 冪集代數的子代數，而且給出了有限情況下的一組基。我給解釋一下，數乘是這麼定義的： 0 * Y = empty, 1 * Y = Y, forall Y in P(X)。如果把0 映到 empty, 1 映到 X， 數乘恰好是 ∩。向量加法是對稱差，乘法是 ∩。 X 有限的時候，所有的singleton { {x} | x in X } 是 P(X)的一組基。題主說無限情況不簡單，確實也是，即使 X 是可數的，基的個數也是 2^|X| ( Theorem of Erd?s-Kaplansky )，i.e. 不可數。要找基的話，估計要用選擇公理，從而 "In general, if the existence of some object requires the axiom of choice, then the object cannot usually be concretely described. " 當然，不好構造基並不妨礙它是線性空間，無論X是無限還是有限的，P(X)總是代數。

不看成子代數，既然sigma-代數是子代數，它本身就是代數，也就是說我們可以直接從sigma-代數的定義去證明它是代數。這樣的話，當X無限，但sigma-代數有限的話，我們可以構造出一組基。不過沒什麼用，sigma-代數一般都是無限的。

直積/直和，冪集代數是Z2上的線性空間，從而是一些個 Z2 的直積（不是直和）。X無限時，直和是所有X的有限子集，是線性空間，也是代數，只不過乘法沒有單位元了，不是sigma-代數，因為它不包含X。

代數是由非空集合某些子集組成的集類， 最重要的性質是對可數交和可數並封閉，對集合的交、並、補、差和對稱差是滿足代數運算的，所以可能對這種集類取名為 代數吧（希臘字母 對應的大寫字母是 ，是求和符號，有可數集合併的意思）； 代數的用處很多，在實分析、概論論都有