如何利用Fourier級數理論證明等周問題？

01-02

也就是關於這個問題的Hurwitz在1902年提出的第一個嚴格證明。
等周問題表述如下（摘自百度百科）
等周定理，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的「等周」指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。

來填坑。

原命題等價為：當光滑閉曲線L的長度為2π時，L所圍的面積小於等於π，等號成立當且僅當L為r=1的圓。以弧長s為參數：

此後證明分三步。

1、闡述曲線參數方程的性質。

設 $x=f(s),y=g(s)$ ，其中 $sin [0,2pi]$ 與L正方向一致， $f$ 、 $g$ 有連續的導數。作變換 $s=t+pi$ ，那麼 $tin [-pi,pi]$ 。

於是有 $x=f(t+pi)=x(t)$ ， $y=g(t+pi)=y(t)$

由於 $[d{x^2} + d{y^2} = d{s^2}]$ ，可以知道 $[{left[ {x$

如果 $[int_{ - pi }^pi {xleft( t ight)dt = k e 0} ]$ ，取坐標系平移 $[left{ egin{array}{l} overline x = xleft( t ight) - k/2pi \ overline y = yleft( t ight) \ end{array} ight.]$ ，此時並不改變形狀也不改變結論。所以我們直接設 $int_{-pi}^{pi} x(t)dt=0$ 。另外L封閉，所以 $xleft( pi ight) = xleft( { - pi } ight)$

準備工作結束。

2、傅里葉級數出場。

我們先來證一個不等式：假定 $[fleft( x ight) sim frac{{{a_0}}}{2} + sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}cos nx} + {b_n}sin nx]$ ， $[f$ ，係數具體計算方法不多贅述。

在 $[fleft( pi ight) = fleft( { - pi } ight)]$ 條件下，可以知道 $[{a_0}$ ，

$[{a_n}$ ，同理 $[{b_n}$ 。那 $f$

（我不得不說，傅里葉級數的逐項求導看上去可以得到這個結果，但實際上需要條件。這就是準備工作要做的事情。）

根據封閉性公式 $frac{1}{pi }int_{ - pi }^pi {{f^2}left( x ight)} dx = sumlimits_{n = 1}^infty {left( {{a_n}^2 + {b_n}^2} ight)}$ ， $frac{1}{pi }int_{ - pi }^pi {f{$ ，(想一想，和你熟悉的封閉性公式長得是一樣的嘛？)

就得到了：

$[frac{1}{pi }int_{ - pi }^pi {{f^2}left( x ight)} dx = sumlimits_{n = 1}^infty {left( {{a_n}^2 + {b_n}^2} ight)} le sumlimits_{n = 1}^infty {left( {{n^2}{a_n}^2 + {n^2}{b_n}^2} ight)} = frac{1}{pi }int_{ - pi }^pi {f{$