什麼叫內蘊幾何？

所謂微分幾何就是向量叢上有一個聯絡。為了簡單起見，可以假設流形上有個Riemann度量，而切叢上的聯絡和度量compatible。內蘊幾何就是Riemann流形本身固有的幾何性質。最簡單的例子是曲線永遠可以展平，而曲面大多數都不行，比如球面。這是因為曲線沒有曲率，而大多數曲面的Gauss曲率都不是0。Gauss曲率就是個內蘊的幾何不變數。然而它的定義卻是外蘊的。因為你要知道曲面的曲率怎樣變化，最簡單的方法就是給每一點associate一個標架，然後跟蹤這個標架的基向量的變化情況。Gauss通過計算證明了用外蘊方式定義的曲率是內蘊量，也就是獨立於標架的選取，這是個non-trivial的結果。

因為在高維標架可以在更多的方向上移動，所以導致Gauss曲率在高維有很多種推廣。其中最精緻的叫做Riemann曲率張量，最粗糙的叫做標量曲率，scalar curvature。這些也都是內蘊的幾何不變數。

但是這些內蘊的不變數都是局部的，給定一個流形，每一點上都存在一個tensor作為不變數，這未免太難研究了，所以我們要忘掉一些信息。最簡單的方法就是取平均值，而在可測集合上的平均值就是積分，所以可以談論流形上的曲率積分，這導致一門學科，叫做積分幾何。其中最經典的例子，就是Chern對Gauss-Bonnet公式的證明。他證明了對任何even dimensional closed Riemannian manifold，假如把曲率形式放到Pfaffian中積分，就給出一個整體的拓撲不變數，Euler示性數。這個結果是expected，因為積分就去掉了對infinitesimal property的依賴性，一定會給你一個關於流形的整體不變數，關鍵是要算出這個不變數就是Euler示性數，計算方法是用向量場做localization，這個方法後來被Atiyah和Bott發展為計算不變數的強有力工具。當然，積分幾何也包含了一些更深刻的內容，例如，可以證明假如完備Riemann流形的sectional curvature有lower bound，則scalar curvature的積分有一個upper bound，只依賴於流形的整體性質，即流形的維數和直徑。這個事實的證明用到曲面的Gauss-Bonnet公式。我本科時候研究的Nevanlinna理論，本質上是示性式（characteristic form）的積分，其中first main theorem的證明可以看作是一些積分不等式的證明。當然，還有一種看法，就是Ahlfors的看法，即看作負曲率對holomorphic map施加了很強的限制。如果持這種看法，那麼Nevanlinna的值分布理論就可以解釋為流形的內蘊性質造成了對外蘊的holomorphic map的限制。

從某種意義上說，微分幾何學家認為美妙的結果很大一部分都是證明用外蘊方式定義的幾何量是內蘊量，或者從局部定義出來的幾何量，其實是整體不變數。這種從外蘊到內蘊，從局部到整體的哲學不僅僅是微分幾何，也是整個數學中的基本哲學之一。

解決數學問題的過程就是忘掉信息的過程，因此必須要判斷什麼對於問題而言是重要的。微分幾何是要研究流形本身的性質，至於嵌入方式，只是一種輔助，因此就有了從外蘊到內蘊的過程。而曲率這樣的幾何不變數雖然是內蘊的，卻很難處理，所以要進一步簡化之，於是就有了從局部到整體的過渡。從某種意義上說，Chern的證明和Gauss的證明有異曲同工之妙。

整體的內蘊不變數未必要是拓撲不變數，比如上面的標量曲率積分，流形的diameter就不是一個拓撲不變數。另一個重要的例子是secondary characteristic classes，起源於帶邊流形的Gauss-Bonnet公式。假如曲面帶邊，則Gauss-Bonnet公式中會有一項測地曲率，這就是associate to測地三角形的幾何不變數，在高維，這就被推廣為諸如Chern-Simons，Bott-Chern form，eta invariant等著名的幾何不變數。

同樣的思想也出現在代數幾何里。最早的代數幾何研究從寫方程開始，依賴於在projective space或者affine space中的嵌入，後來人們就開始研究local ring ，並使用交換代數，這就是從外蘊到內蘊的過渡。再後來人們知道要研究coherent sheaf和各種上同調，這就是從局部到整體的進展。

內蘊幾何就是那些源於內在結構而不是其所在空間的幾何。

考慮一張A4紙，如果你把它放平在桌子上，紙就是平的，把它捲起來，人們就會說它是彎的。這裡所謂的「彎」就是非內蘊的。彎取決於二維的紙如何在三維空間中放置而不是二維紙本身的性質。如果你是A4紙上的二維小人，跳不出二維，那麼你是無法知道紙是平還是彎的。

再考慮一個地球儀的表面，我們很明顯看出來它不是平的。但是，和上面的捲曲A4紙不一樣，地球儀錶面的彎曲是內蘊的。地球儀上的小人不用跳出二維就可以知道表面不平！怎麼知道呢？在表面上取三個點並把它們從表面上用最短的線連起來，三條線之間的三個夾角不是180度！注意，夾角度數，距離都是不必依賴於外在空間的。

廣義相對論就是內蘊幾何的一個精彩例子。我們生活的宇宙空間是彎曲的就是我們直接在空間之內測量大質量星體旁光的夾角得到的。

如同拓撲空間圍繞鄰域這一概念，希爾伯特空間圍繞內積，內蘊幾何的彎曲和聯絡(connection)息息相關，聯絡描述的是微觀上我們如何「平行」的從一個點移動到另一個點。這裡我再次推薦北京大學出版社出版的伍鴻熙教授寫的&<黎曼幾何初步&>。搞幾何需要培育直覺，這本書是最佳之一。

一個幾何體（未必是微分流形，也可以是積分流形甚至是分形）M，

在坐標系A1中表現為方程X1，

可見這些方程並不只是體現了幾何體的信息，還包括外部坐標的信息，這時坐標就是「外蘊」的

那麼諸X所共有的性質才是純粹的M的性質，這就叫做「內蘊」性質

絕對積分（黎曼度量）；

前面的回答已經講得很好了, 雖然我覺得點贊的人裡面讀懂的人數不會超過十個.. 因為確實很散.

內蘊幾何簡單來說就是無視物體在空間中的位置, 而著重於其本身的性質, 比較典型的例子是Gaussian curvature. (他的Theorema Egregium是其中最為重要的發現與證明) 以及廣義相對論中的應用. 在微分幾何中, 一個內蘊的幾何論斷可以無視坐標系而用一個流形上的tensor field表示.

空間內的內蘊性質形象一點來說, 就是觀察者在自己所處空間中能夠觀察測量到的幾何物體的性質特點. 而把空間的限制擴展開來後, 物體本身性質也隨之擴展開來. 比如說我們有一條空間曲線, 對於二維生物和三維生物來說, 弧長都是確定的, 而其中curvature和torsion的變化只有三維生物能察覺到不同; 所以這種弧長是內蘊幾何量因為它與曲線嵌入空間中的彎曲情況無關. 與此相反curvature和torsion就不是, 表現在它影響不了二維生物看待曲線的方式. 這些結論歸根結底就在於內蘊幾何發現曲面不僅是嵌入歐氏空間中的一個子圖形，而它本身就是一個擁有自身內在的幾何學的空間.