數學上有什麼有名的結論是利用另一個數學分支上的知識得到的?

01-02

我們知道數學研究很多時候是隔行如隔山的，然而有些有趣奇妙的結論也許穿插了不同的數學分支，就比如代數基本定理的證明是利用複變函數的知識，而沒有純代數的證明。我想問各位大神，還有什麼那種讓人感覺驚為天人的結論，比如是利用一個完全完全不相干的數學分支中得到的，能讓人頓時讚歎數學的奇妙莫測

各種不動點定理就不說了。

簡單的：中心極限定理，用到了 Fourier 變換（就是特徵函數）及其相關性質。

證明：參見 Central limit theorem

當然更廣泛地，還有穿插了不同分支的一整套方法（比如組合中的Generating function），和穿插了不同分支的分支。

更新：今天看到一本書 Complex Proofs of Real Theorems，列了許多用複分析方法證明其他領域問題的例子。

更新：什麼函數的原函數（不定積分）是初等函數？

這實質上是個代數問題（域的擴張）。思考方式跟歷史上兩個經典的問題類似：1. 尺規作圖三等分任意角的不可能性；2. 五次以上一般多項式方程求根公式的不存在性。下面先簡單介紹一下這兩個問題。

尺規作圖三等分任意角，切入點是：給定單位長的線段，通過有限次的尺規作圖我能作出什麼長度的線段？有理數長的線段是沒問題的。另外利用射影定理或切割線定理之類的還能作出某線段長度的平方根長的線段。於是給定單位長度的線段後，能作出的線段長度的集合是且只能是「有理數∪某個有理數的平方根∪這些數之間四則運算後形成的集合∪新集合中某個數的平方根∪再把它們之間做四則運算後形成的集合……」（有限次！）。每做一次「加入集合（域）中某個數的平方根+加入新集合所有數之間四則運算後的結果」就是對原來的域 $mathcal{F}$ 做了一次擴張（ $mathcal{F}(sqrt{a})$ ，即 $x^2-a$ 的分裂域， $ainmathcal{F}$ ）。好了，那麼 $cos 20^circ$ 在不在這個集合中呢？從三倍角公式出發，我們知道答案是不在，因此我們不能用尺規三等分 $60^circ$ ，從而不能三等分任意角。

五次以上一般多項式方程求根公式的不存在性也是類似。插個背景知識，域的Galois 擴張（一種性質比較好但要求比較容易滿足的域擴張）跟這個擴張對應的Galois 群有關係：Galois擴張的子擴張（難以描述）跟Galois群的子群（容易描述）一一對應，從而我們可以通過研究Galois群來研究（Galois）域擴張。具體到求根公式，我們關心什麼域的什麼擴張？求根公式（代數解）由方程係數跟有理數之間的四則運算及求 $n$ 次方根運算的結果組成，所以我們應該關心「加上域中元素的 $n$ 次方根」的那種擴張（根式擴張）。根式擴張對應的Galois群有比較簡單的結構。另一方面，一般 $n$ 次多項式的分裂域對應的Galois群，根據 Vieta 定理，它們就是對稱群 $S_n$ 。對稱群 $S_1sim S_4$ 結構比較簡單，滿足根式擴張的Galois群的條件，但到了 $S_5$ 結構就變複雜了，不能由根式擴張得到，所以五次以上的一般多項式方程沒有求根公式。

簡單來說，思路就是：考慮合適的域擴張→看看我們關心的那個東西在不在這個有限次域擴張里（一般叫擴域塔）。

現在回到原函數是否為初等函數的問題。初等函數由常函數、冪函數、指數函數、對數函數經過有限次的有理運算（四則運算、有理數次乘方、有理數次開方）及有限次函數複合所產生（指數函數和對數函數已經包含了三角函數和反三角函數）。除去有理的部分，我們需要把域擴張至包含指數運算和對數運算的結果的擴域里。為此，定義一個微分運算 $D$ ，使其滿足Leibniz法則： $D(uv)=uD(v)+D(u)v$ 。則對數擴張相當於包含一個 $t$ 使得對某些 $sinmathcal{F}$ 滿足 $Dt = Ds/s$ ；而指數擴張則相當於包含一個 $t$ 使得對某些 $sinmathcal{F}$ 滿足 $Dt = tDs$ 。把帶這種微分運算的函數域叫微分域。設微分域 $mathcal{G}$ 是微分域 $mathcal{F}$ 的域擴張（加一些相容性條件），且 $finmathcal{F}$ 、 $ginmathcal{G}$ 。 Liouville"s theorem 給出了 $Dg=f$ 的條件，從而解決了這個問題。

數學分支沒什麼完全完全不相干的吧。。。

另外，誰說代數基本定理沒有純代數證明？題主還是見得太少啦，要學習一個。

代數基本定理的推廣

定理若 $R$ 為實閉域， $C=R(i)$ , 其中 $i=sqrt{-1}$ , 則 $C$ 為代數閉域。

證明：考慮 $C$ 的一個有限Galois擴張 $E$ , 下證 $E=C$ . 取 $G={ m Gal}(E/R)$ 的Sylow-2子群 $G$ , 考察 $E^{G$ ; 注意到 $[E^{G$ 為奇數，而實閉域無奇次擴張，所以 $E^{G$ , 故 $[E:R]$ 為2的冪， $[E:C]$ 亦然。設 $[E:C]=2^n$ , 下證 $n=0$ .

若 $n>0$ , 由Sylow定理取 ${ m Gal}(E/C)$ 的 $2^{n-1}$ 階子群 $H$ , 考察 $E^H$ ; 由 $[E^H:C]=2$ 且 ${ m Char} C e2$ 知 $E^H=C(sqrt{d})$ , 其中 $d=a+ibin C$ 在 $C$ 中無平方根，其中 $a,bin R$ ; 然而不難驗證 $left(sqrt{frac{a+sqrt{a^2+b^2}}{2}}+isqrt{frac{-a+sqrt{a^2+b^2}}{2}} ight)^2=d$ , 其中 $a^2+b^2ge a^2ge 0$ 保證了 $sqrt{frac{a+sqrt{a^2+b^2}}{2}},sqrt{frac{-a+sqrt{a^2+b^2}}{2}}in R$ , $sqrt{frac{a+sqrt{a^2+b^2}}{2}}+isqrt{frac{-a+sqrt{a^2+b^2}}{2}}in C$ （實閉域中平方非負，非負數皆有平方根），矛盾！

所以 $n=0$ , $E=C$ , $C$ 為代數閉域。

不討論方法的唯一性。比較有名的例子有：

平面幾何與解析幾何（由此推出算術相容性決定平面幾何相容性），代數基本定理與複變函數，素數定理與複變函數，實數域上可除代數分類（1248）與拓撲K理論，微分拓撲中的Donaldson對角化定理與規範場理論，費馬大定理與模形式，龐加萊猜想與幾何分析等。

兩個例子。

4維微分拓撲中的Donaldson對角化定理由規範場理論導出：

下面簡單談談費馬大定理與模形式之間的聯繫：

博弈論中的納什均衡存在性證明源於拓撲學中的角谷靜夫不動點定理

第一個想到的是Mori的 Bend-and-Break。模p後利用Frobenius。

還有就是Hrushovski的twist 的Lang-Weil逼近。用模型論的方法。

雖然現在越來越多結果用模到有限域的方法或模型論的方法做，但剛出來的時候還是很震撼的。

Monsky定理：正方形不能被分割成奇數個等面積的三角形

用到了實數域上的非阿基米德賦值，我也是前幾天從知乎http://www.zhihu.com/question/37470096/answer/114829318

學的

怎麼可能，拓撲群論泛函這些基本的理論無論你研究哪個領域都會天天用到的

想起兩個例子。

Nielsen–Schreier 定理：自由群的子群也是自由群。

用拓撲學裡的基本群和覆曡空間知識，可以很容易地證明這個定理。一般在拓撲學裡，代數只是一個有用的工具，但是這個定理卻是拓撲「反哺」代數的例子。

三等分任意角、倍立方是不可能的。

原本是平面幾何、立體幾何的問題。問題的本質是用四則運算和開平方來求解三次方程，最後是使用純代數（群論）解決的。

素數定理的證明用到黎曼 zeta-函數的解析性質

Jacquet-Langlands 對應的一種證明方法用到跡公式跡公式本身就是 spectral side 和 geometric side 兩方面的對應

Langlands program 就是希望找到數論約化群表示論代數幾何等分支之間的聯繫並且用某些分支的知識工具解決其他分支的問題另外還有近年很熱的 geometric Langlands 這個我不懂就不亂說了

Sarnak 的猜想將數論里很多重要的問題劃入統一的框架其中用到一些動力系統的工具解決數論問題當然這不是Sarna

k 首創之前就有 Margulis, Furstenberg 等人的工作比較有趣的包括動力系統版本的素數定理證明當然還有 Oppenheim 猜想的證明

總的來說數學在很大程度上可以說是找聯繫

首先數學分支真的沒那麼明確，

中學數學裡數形結合的問題可以算作比較初級的「用到了另外一個分支」，比如說各種構造圖形證明不等式，或者說建坐標系做幾何問題。（這個很初級不過對我入數學坑影響挺大）

到了大學我覺得有幾個問題很有代表性

1.不動點定理（拓撲解決分析問題）

2.代數基本定理（複分析解決代數問題）

3.三大尺規作圖不可能問題（抽象代數解決古典幾何問題）

4.Burnside定理：p^aq^b階群不可解（表示論解決純群論問題）

事實上這個有純群論證明，似乎有60多頁。

5.微分流形中的M-V序列，藉助於同調代數的結論解決了很多幾何上的問題（代拓里也有M-V序列不過沒系統學過......）

以上例子我覺得是挺典型的。

還有很多僅僅是我聽說過的問題，如果了解的有問題請指證一下。

比如說14年有一個關於PDE的進展是運用了代數拓撲（聽講座提到的，具體是什麼忘了）

解決Moonshine猜想好像借用了理論物理（弦論？）

費馬大定理是通過溝通數論和代數幾何證明的

我覺得現代數學大部分只懂一門是很難解決問題的，而且數學中溝通兩門看起來「無關」的分支也是十分引人入勝的。所以趁本科期間多學一些吧。（你自己不就是個分析盲嘛！）

Dennis Sullivan的No-wandering-domain theorem，用的是Teichmuller space

化圓為方問題無解是通過群論來解決的。

存在一個n-point metric，使得任何L1 embedding的distortion 都大於O(log n)。具體的構造是由expander graph的 graph metric 給出的。

四色定理，利用機械證明，證明了拓撲學的定理！

我的第一聯想是相對論。全稱是：狹義的，廣義的相對論以及愛因斯坦方程。分別受益於幾何學，動力學以及方程論。

正多邊形尺規作圖 與 費馬素數 的等價關係

高斯證明了正十七邊形可以用尺規作圖，因為 F2 = 2^{2^2}+1 = 17

數學各個分支區分有那麼嚴格嗎？幾乎所有牛的定理，都是讓你意想不到的。比如高斯朋尼定理，阿提亞辛格指標定理…

費馬大定理，是用橢圓曲線證明的。

高數，兩個重要極限，其中關於sinx/x（x→0）極限為一的證明藉助了幾何分析，沒有純代數證明

曾經被掃盲過，一個小猜想。

好像說是任何一個3*3的復矩陣(Aij)都可以化成一個滿足A_{13}=A_{22}=A_{31}=0的形式(好像是這樣，忘記了，但肯定是一個只知道線性代數的人完全能懂，並且敢於親手嘗試證明的東西)

當年沒人會證，後來我們一個老師做博士的時候被問了這個問題，然後他做出來了。

當然，用的是Chern Class！

這是他用來說明Chern Class是好的數學時舉得例子。

龐加萊猜想，用微分幾何/幾何分析的工具解決（證明）的，龐猜這個拓撲問題至今還沒有純拓撲的證明。

代數基本定理，用復變證，用拓撲證.....就是沒見過純代數的證明

誰告訴你代數基本定理只有複變函數的證明沒有純數學的證明？？高斯剛剛提出代數基本定理時就用純數學的方法證明了它。