矢量場的旋度的散度恆為零，它的物理意義是什麼，如何理解？還有標量場梯度的旋度恆為零。

01-02

梯度的旋度不為零得話。。

我通俗地說一下矢量場那個吧。矢量場的旋度是用來描述場圍繞中心旋轉的程度的量，就是看一堆矢量繞中心轉圈的部分多不多，是多少。而散度描述的是一堆矢量發散，也就是遠離中心或者靠近中心(指向中心)的部分。在同一點上，分別被切向分量(繞圈)和徑向分量(發散)來表示。這倆貨相互垂直啊！所以乘起來就得零嘍。物理意義舉個例子，比如一坨質點在一個場中運動，對於速度矢量先旋度後散度的運算就是問你這一坨質點相對中心的角速度(也就是切向線速度)會讓他在多大程度上遠離中心。廢話，當然是零了...

@得分的的例子舉得漂亮。 @Grit的說法有問題，他的分析其實是一個矢量場可以分解為純無散分量和無旋分量，它們是互相正交的。而他所謂的「這一坨質點相對中心的角速度」指的是那個無散分量（比如不可壓縮流體除了平動只可能相對一點轉圈而不可能壓縮）而不是旋度，而無散分量當然無散度了。

旋度的散度為0正確的理解方式應該是：取一點的鄰域球，考慮球面上的旋度的法向分量（即矢量場在球面上的投影的「旋渦」）在球面上的積分。直觀上來說就是球面上的旋渦可不可能都是一個方向（向里/向外）的。簡單證明的話，在球面上挖個洞，那麼剩下的球面積分通過斯托克斯定理可以化為矢量場沿著洞口的積分；把洞口縮小到0，這個積分也變為0。

標量場更簡單。

標量場的梯度只能指向標量場降低的方向。所以不可能繞圈。所以旋度為0。

保證了每個場的勢可以分解為獨立的矢勢和標勢。

題主可以考慮一下：除了gradient、curl和divergence外為什麼有/沒有別的"度"了？

有必要的補充：根據Helmholtz Decomposition，為求得某個矢場的矢勢和標勢，都將分別對該場的取散度和取旋度，和散度恰好消去了矢勢的對應項，旋度恰好消去了標勢的對應項，可為分解的很乾凈。而從物理直觀上看，取旋度是在取那些環繞的場線，而去散度則是在取那些發散開來的場線，幾何直觀來看，似乎剛好環繞的場線和發散的場線發生正交，也引導我們去思考是否可以乾淨的分解一個場為某個旋度與某個梯度之和，而旋度之散度、梯度之旋度為零恰好保證了這點。當然，各類教科書里都會千篇一律的對場里的各點畫小方框然後告訴你場線流進流出之類的，我認為這點並不切題，因為這個只是在介紹三個度本身，而不是在介紹為什麼為0。另外，這些太tedious了，哪本書都講，所以我認為題主應該對此有了解，故不提這些。

有必要的回答：除了那三度，在三維空間里沒有別的度了。原因可以參見外微分形式。

用流動來舉例子。

流體的流動千奇百怪，怎麼樣描述流體的速度場呢？

一種最直觀最樸實的辦法，就是把流動看成是類似於圍繞一個點旋轉的「渦旋」運動與類似從一個點發出（匯聚）的「直線」運動的疊加（當然也有其他的辦法，只不過這樣的分法最簡單直觀，和古希臘把各種運動視為直線運動與圓周運動的疊加一樣）。

「渦旋」運動對應於旋度，「直線」運動對應於散度，二者描述的是毫不相關的兩個不同的信息（或者說著二者是互相「垂直」的），就像一個平面直角坐標系中的矢量 $v$ 分為x方向的分量 $v_{x}$ 和y方向的分量 $v_{y}$ 一樣。

對一個矢量求旋度，就好像求矢量 $v$ 在x方向的分量 $v_{x}$ 一樣，然後求散度就像求 $v_{x}$ 在y方向的分量一樣，肯定是0

瀉藥。

矢量場的旋度表示旋轉勢強度，不會有勢的凈流出，所以旋度的散度為零。

標量場的梯度是個矢量場，可以定義勢函數與路徑無關，封閉路徑積分為零，旋度為零。

好久沒接觸這些東西，語無倫次了，見諒

恰當的微分形式場一定是閉的。

標量場看做勢場，梯度是場強場，有勢場的場強的旋度為0即保守場。

d^2=0