能否通過列舉一些代數式、方程加以分析、說明，直解釋阿貝爾定理？

01-02

相關問題：為何從五次方程開始就沒有加減乘除開方的求根公式了？ - 數學
能否可以不使用群論，僅僅通過列舉一些代數式、代數方程加以分析、說明，進而達對阿貝爾定理做出直觀解釋。（這兒，我只要「直觀解釋」，並沒有說嚴格論證。）

如果不用Galois理論可以直接看Abel的原始證明（比較繁瑣）。[1][2]

用現代方法的證明思路是：

若一個多項式方程 $f(x)=0$ 可以用根式解那麼意味著存在關於其係數的代數函數 $y=frac{G}{F}$ 使得 $f(y)=0$ ，這裡 $G,F$ 可以寫成形式 $sum a_i^{1/m_i}$ ，這裡 $a_i$ 也為代數函數。所以用歸納法可以證明存在域擴張 $mathcal{Q}subset F_1subset F_2cdots subset E$ ，使得 $F_{i+1}=F_i(alpha_i), alpha_i^{p_i}in F_i, E=mathcal{Q}(y)$ ，這裡 $mathcal{Q}=mathbb{Q}(a_0,a_1,cdots,a_n,zeta_n)$ 。
$mathrm{Gal}(F_{i+1}/F_i)=langle p_i angle$ ，這是因為 $x^{p_i}- alpha_i^{p_i}in F_i$ 的所有根由 $zeta_{p_i}^ralpha_i, 0<r<P>給出。</li> <li>由Galois基本定理存在<img src=$ 使得 $G_{i+1}/G_i=langle p_i angle$ 。
由於5階及以上的一般n階方程的Galois群可以取得S_n，但容易證明當n&>=5時3中的合成群列不可能出現，所以沒有根式解。