排中律、無矛盾律的區別和聯繫是什麼？

01-02

排中律是(P∨?P) 為真，無矛盾律是?(P∧?P)為真。
在二值邏輯中，排中律與無矛盾律是否等價？
在其他邏輯中呢？

還好沒有蘊含符號……

排中律和無矛盾律其實是很好玩的，具體來說，排中律可以解釋得比矛盾律要弱。這個弱看上去很奇怪，因為根據迪摩根律，兩者的命題形式是等價的。不過實際上並不奇怪，考慮如下兩組例子：

所有的自然數，要麼是奇數，要麼是非奇數（偶數）。（主語可以替換成任何一個自然數，3 同理）
所有的顏色，要麼是奇數，要麼是非奇數。（主語可以替換成一種具體的顏色，比如紅色，4 同理）
下面這句話是一個矛盾：所有自然數都是奇數，並且都是非奇數。
下面這句話是一個矛盾：所有顏色都是奇數，並且都是非奇數。

1 和 2 寫成了某種排中律的形式，而 3 和 4 寫成了某種矛盾律的形式，然而 2 卻不是真的。

當然，這並不是說經典邏輯中的排中律不成立，而是說，排中律往往比矛盾律更麻煩，或者說，日常語言的語句中，有很多形式上滿足排中律，但是實際上卻不滿足排中律的情況。我們要如何確保「中」的確被我們「排」掉了呢？

考慮如下幾種否定：

由於 x 不能被 2 整除，因此 x 不是奇數。（根據語境，「x 是偶數」在這裡等價於「x 不是奇數」）
顯然，紅色不是奇數。
1 不是奇（qi）數，是奇（ji）數！

根據這個回答中作出的區分，很顯然，第一句是描述性否定，第三句是元語言否定。第二句則處在兩者中間。在不給描述性否定和元語言否定具體下定義劃清界限之前，2 可以是描述性的，也可以是一種元語言上的規範，當然，我傾向於後者。

講這個東西的意義在哪裡呢？在於日常語言中否定的層級數太多了，以至於我們經常只能保有矛盾律，而不能保證我們使用的否定能夠滿足排中律。請注意，我在談論的時候似乎忽略了合取和析取這兩個符號，而將重點完全地放在了否定上，這是因為，矛盾律和排中律實際上可以用「否定」和「真」來進行描述。

矛盾律：一個命題與它的否定之間至多只有一個為真。
排中律：一個命題與它的否定之間至少有一個為真。

要注意的是，由於「真」是比較基礎的概念，因此，排中律和矛盾律這樣的東西，實際上有點像是數學裡面的「分配律」或者是「結合律」。正確的用法是這樣的：

經典否定運算元同時滿足排中律和矛盾律。（自然數加法同時滿足交換律和結合律）
亞里士多德的反對（contrary）關係滿足矛盾律，但是不滿足排中律，下反對（subcontrary）關係滿足排中律但是不滿足矛盾律。（矩陣乘法滿足結合律但是不滿足交換律。）
直覺主義邏輯中的否定不滿足雙重否定律和排中律。

排中律和矛盾律實際上是一種運算元的性質。一般情況下，只有滿足矛盾律的一元邏輯連接詞才有可能被叫做否定，但是，其中只有經典否定連接詞同時滿足排中律，其它類別的否定連接詞並不滿足排中律。

問題是，為什麼否定關係一定要滿足矛盾律，而不一定要滿足排中律呢？因為排中律實際上是由兩條原則構成的：

滿賦值原則：每個原子命題都被賦值了，每個命題的否定的真值都僅由這個命題的真值決定。每個二元邏輯連接詞都保證在連接兩個命題均有賦值的情況下，所構成的複合命題也有賦值。舉例來說，假設我們的語言中只有 p 和 q 兩個命題變元。那麼，這個原則要求：任何一個我們討論的賦值下，p 和 q 都必須被賦予某個真值。並且，如果 $phi$ 和 $psi$ 是僅包含 p 和 q 的公式，那麼 $phi$ 和 $psi$ 無論是怎麼構成的，都應該有真值。後面這一條本身自然並不必要，因為它實際上包含在了邏輯連接詞的真值函項原則上：一個複合命題的一定有真值，只要構成它的每個部分都有真值即可。
二值原則：真值僅僅包括真和假。注意，二值原則並不是說真值只有兩個，而是，真值只有真和假，事實上，某些的直覺主義邏輯的語義中只有真和不確定兩個真值，沒有假。

為什麼這兩條原則對於排中律來說是必須的？因為，如果我們有二值原則但是沒有滿賦值原則，那麼雖然每個被賦值的命題都是真的或者假的，但是還有一些原子命題沒有被賦值，或者說，掉入了真值縫隙中，因此我們並不能說它們是真的或者假的，而對應的符合命題的真值，就先當於是說一個一元函數的沒有輸入，或者，一個二元函數的輸入缺了一位，因此，對應的符合命題也沒有真值。因此排中律會失敗。

另一方面，如果我們有滿賦值原則而沒有二值原則，那麼對應於「不確定」這樣的真值，根據真值函項規則，我們只能讓不確定的否定也是不確定，同理，我們會認為，「不確定或者不確定」的真值也是不確定。因此，當 p 是不確定時， $pvee eg p$ 是不確定。

為什麼矛盾律不受影響呢？這是因為否定本身和矛盾的關係太緊密了，甚至有人認為，否定已經包括了矛盾律本身：我們說一個一元邏輯連接詞 * 是否定連接詞，如果 p 與 *p 中至多有一個為真，並且，至多有一個為假。

矛盾律為什麼不依賴這兩條原則：

對應於滿賦值原則，假設一個命題沒有真值，矛盾律會面臨什麼困境么？不會，因為矛盾律要求的是這個命題和它的否定至多有一個為真，都不是真的？那就都不是唄，who cares？
對應於二值原則同理，假設一個命題取了第三值甚至第四第五值，反正這個值不是「真」就行了，因此，無論怎麼取，第三、四、五值與其對應的否定之間，至多只有一個為真。

當然，根據滿賦值原則，我們似乎可以得到矛盾律實際上依賴的某個假設：

單一賦值原則：每個確定的賦值下，每個命題最多只被賦予真、假兩個真值中的一個。即，我們不可以說一個命題即是真的又是假的，或者，我們不能同時將真和假賦給一個命題。

當然，實際上沒有單一賦值原則也並不必然會有矛盾，因為要使得矛盾律破產必須要同時有以下條件：

假設一個命題的真值那一欄填入了 0 和 1，那麼，它的否定應該填入什麼呢？考慮如下例子：令 $f(x)=x^2$ ，那麼 f([-1,1])=[0,1]。單一賦值原則被違反還不足以破壞矛盾律，同時需要我們遵守這裡體現出來的這個原則，才有可能出現一個命題和它的否定都具有真這個真值的情況。即，我們需要確保這條原則：如果 $V(phi)={t_1,t_2,ldots ,t_n}$ ，那麼
$V( egphi)={ eg t_1, eg t_2,ldots , eg t_n}$ ，其中 $t_i$ 表示具體的真值。更具體一點，在這個例子中就是，如果 $V(phi)$ ={0,1}，那麼 $V( eg phi)$ ={1,0}，當然，對於三值的情況，還需要下面更多的限制。

即便這兩個條件都滿足了，這也是不一定的，因為我們還有可能擁有這種情況，考慮如下三值邏輯否定運算元：

令
t、f、u 分別解釋為真、假、不確定， $eg: tmapsto f,,fmapsto u,umapsto u$ （請注意，這個賦值滿足 p 與其否定之間至多有一個為真，至多有一個為假的要求。）

這種情況下，即便一個命題同時被賦予了真和假（甚至再加上不確定也行），它的否定的取值也僅僅是假和不確定。因此，矛盾律並沒有被違反，因為依然只有這個命題本身的真值中包含了真這個真值，它的否定不包含真。因此，我們還需要保證這個否定連接詞滿足「真的否定是假，而假的否定是真」這樣的條件，滿足這個條件的否定連接詞被稱為「規範的」（normative）。當然，還有別的條件也可以，比如說令 u 經過否定運算元的作用之後變為 t： $eg: tmapsto f,,fmapsto u,umapsto t$ ，在這種情況下， $eg({t,f,u})={f,u,t}$ ，同樣違反了矛盾律，但是這個否定並不是規範的。

總體上來說，要用這種途徑破壞矛盾律，需要同時滿足三個條件，自然，後兩個條件可以寫在一起，但是本質上就是要求所有真值的否定中需要至少一個取真。至於不依賴於單一賦值規則的別的違反矛盾律的方法，我沒興趣一一研究了。留作作業。

根據以上分析可以看出來，矛盾律比排中律更為基本一些。畢竟，矛盾才是否定的根本目的。因此，在日常生活中，矛盾律可以用得不那麼謹慎，但是排中律請務必要謹慎使用。

註：

[1] 文中我使用了兩種詞，一種是「否定關係」，另一種是「否定運算元」。其實是類似的，「否定關係」強調的是某些情況下否定具有對稱性，即，如果 p 是 q 的否定，那麼 q 是 p 的否定，因此兩個命題滿足這樣的一種（對稱）關係。另一方面，作為運算元的否定則是一個函數，它將一個命題變成另一個命題，而這個命題從句法結構上來說，就是比原來的命題在整個字串的最前面加了一個否定。但是，除非有雙重否定律，否則否定實際上是不對稱的，即，p 的否定的否定不一定是 p。當然，一個二元關係本身並不一定是對稱的，並且日常語言中使用「A 和 B 滿足 R 關係」本身帶有一定的混亂性，比如說：

——愛麗絲菲爾和伊莉雅絲菲爾是什麼關係？
——母女關係。

以及：

——伊莉雅絲菲爾和愛麗絲菲爾是什麼關係？
——母女關係。

這大體上是因為，對於某些非對稱關係，人們有自動補正的能力，尤其是當我們非常熟悉這兩個人的某些屬性（比如這個例子中的年齡）的時候。

[2] 無矛盾律和矛盾律只是叫法上的區別，前者是 Law of Non-Contradiction，後者是 Law of Contradiction。

[3] 一般來說，二重否定被違反的意思就是 $pleftrightarrow eg eg p$ 不成立，而一般來說都是右邊到左邊不成立，即，沒有 $eg eg p ightarrow p$

[4] 說 * 是否定要求 p 和 *p 至多有一個為真，至多有一個為假的說法，是一個非常直觀的想法，如果 p 和 *p 同時為真，或者 p 和 *p 同時為假，我們很難認為 * 是一個否定運算元，因為太不直觀了。

[5] 多值邏輯中的邏輯連接詞如果是規範的，那麼，它們對於輸入值均為經典值（即真和假）情況下的取值和經典邏輯中的情況相同。

(P∨?P) 為真，意味著P和?P不可能同時為假。（排中律）

?(P∧?P)為真，意味著P和?P不可能同時為真。（矛盾律）

換言之，排中律不保證「P和?P不會同時為真」，矛盾律不保證「P和?P不會同時為假」。所以直觀上他們不是等價的，而是各有分工的。

我們知道根據德摩根定律：a∨b=?(?a∧?b)，因此可以得到P∨?P=?(?P∧P)。所以說他們等價恐怕也沒什麼不對。雖然我隱隱感到這種等價可能倒因為果了。

多值邏輯我不了解，但我們可以來設想一種粗糙的三值邏輯，任何命題都有，好，壞和中三種值。一個命題的否定形式可能是另兩個值中的一個，並且我們規定，析取式中取最好的，合取式中取最壞的。則：

(P∨?P) 不可能是個壞命題。排中律不存在了，可稱之為，不會都壞律。

?(P∧?P)括弧內不可能是好命題，整個式子，好中壞都有可能。矛盾律不存在了，可稱之為，不會都好律。

連等值都做不到，那等價就更不可能了。

排中律與矛盾律的聯繫：排中律同矛盾律一樣，它們都是反映了正確思維的確定性，而且都是以反面排除思維中的邏輯矛盾的形式來保證這種確定性的。從矛盾律的內容中我們看到，矛盾律要求對兩種互不相容思想不能在同一思維過程中加以同時肯定，要求必須否定其一。排中律則要求兩種互不相容思想不能在同一思維過程中加以同時否定，必須選擇其一。但是這兩種情形實質上都是從不同側面排除了思維中的邏輯矛盾，以保證思維的確定性。

　　排中律與矛盾律有如上的聯繫之處，但是它們各自的內容又有一定的差別，而且它們各自在推理中的作用也是不可相互替代的。其區別主要有：

　　第一，排除邏輯矛盾的側重點不同。矛盾律是說互不相容的概念或者命題中，其中必有一假，因而不允許對二者都肯定。因此，已知一個思想為真的，根據矛盾律易知另一思想為假，矛盾律是由真推出假的依據，但不能由假推出真來；而排中律是說互不相容的概念或者命題中，其中必有一真，因而不允許對二者都否定。因此，已知一個思想為假的，根據排中律易知另一思想為真，排中律是由假推出真的依據。

　　第二，適用的範圍不同。矛盾律既適用於互相矛盾的命題，也適用於反對命題。而排中律只能用於互相矛盾的命題，在反對命題中不起作用。因為在兩個互相反對的命題中，有可能出現第三種情況。

　　第三，違反時所導致的邏輯錯誤也不同。違反矛盾律的要求，就要犯自相矛盾的錯誤；而排中律要求，對兩個互相矛盾的命題不能同時加以否定，否則就要犯模稜兩可的錯誤。

世界上最牛逼的公式：A∨?A。邏輯排中律，A或非A，就是說你不是非你。但你和非你，組成了整個世界。

先給你歸屬，你屬於世界，再把你異化，你不是世界。這就是敻絕的宇宙意識，很悲壯好嗎？

古代的大V文青，不乏運用排中律的高手，善於用強大永恆的外物和無窮的可能，去襯託孤立錯愕的自我。比如莊子說，以有涯隨無涯。孟子說，雖千萬人吾往矣。張若虛說，江月年年只相似，不知江月待何人。

如果你還沒懂，看看微信登錄圖片，一個人面對地球，有沒有一點小感動？

以後吹牛逼時，要自覺運用排中律。比如你說鑰匙丟了，不行，要用排中律，你得說：中國，我的鑰匙丟了！

比如你說不相信，不行，要排中律，你得說：告訴你吧，世界，我不相信！