上同調群在物理學中有哪些應用？

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麻煩介紹一下上同調群在物理學中的應用。我現在對上同調群只有一些初步的認識，或者說僅僅是在數學上能看懂，知道它在講什麼。希望大神能解釋一下上同調群的深層含義以及它在物理學中有哪些應用。

上同調主要在超對稱場論、弦論中出現較多（近些年，群的上同調在凝聚態中也有重要應用）。

在場論和弦論中，上同調群一般以兩種方法出現：

a）物理問題直接涉及的流形本身的上同調群；

b）物理問題直接涉及 nilpotent 算符，這個算符可以定義自己的復形以及上同調群。

在許多情境下，b）中的算符會實現為某些較為抽象的流形上的微分算符，相應的上同調群便實現為這個流形的上同調群。

1a）研究拓撲非平凡的流形上的場論問題時，非平凡的同調閉鏈（或者，其龐加萊對偶）可以作為拓撲與規範場強耦合。這些拓撲荷產生的規範場位形是拓撲非平凡的，上同調群刻畫的就是這些潛在的非平凡規範場位形。

2a）與1）密切相關的是，上同調群也參與確定流形上一些矢量叢的拓撲分類以及存在性，包括流形上的複線從，旋量叢等，在物理中，這些叢的截面就是帶某種荷的標量場、旋量場，可以與叢的規範場進行耦合。

1a）2a）熟悉的例子包括 Dirac 磁單極，AB 效應。

1b） $mathcal{N} = (2,2)$ 規範線性 Sigma 模型（GLSM）在低能時約化到 $mathcal{N} = (2,2)$ 非線性 Sigma 模型（並以 $M$ 為目標流形）。在特殊情況下， $M$ 是 Calabi-Yau 流形。通過添加 superpotential （或者 twisted superpotential）到 GLSM 的作用量，可以（無窮小）改變最終目標流形 $M$ 的復結構（或者 K?hler 結構），因此 superpotential（twisted superpotential）對應 $M$ 的上同調群 $H^{2,1}_{arpartial}(M)$ （ $H^{1,1}(M)$ ）（這些上同調群的元素指示 $M$ 無窮小形變的方法）。

與 1b) 相關的話題是 Mirror Symmetry。

2b）使得歐幾里得作用量最小的位形通常是一系列微分方程的解，全體解空間稱為模空間。模空間的維度可以通過構造相應的二項復形來求解。這個二項復形有兩個（非平凡）上同調群，其中一個上同調群 $H^2$ 對應模空間的預期維度，另一個是模空間成為光滑流形的障礙。 $H^2$ 的每一個元素對應模空間的切矢量，即保持原微分方程的對解的無窮小改變。

2b）的常見例子包括瞬子，Seiberg-Witten 解，渦旋。

3b）超對稱物理體系有若干超對稱算符，它們的某些線性組合 $Q$ 可以用來構成超對稱量子力學，比如 $Q^2 = (Q^dagger)^2 = 0$ ， ${Q,Q^dagger}=H$ 。這 $Q$ 可以看成是某（目標）流形 $M$ 上的外微分，而哈密頓量相當於拉普拉斯運算元。因此，超對稱態 $left| psi ight angle$ （即 $Q left| psi ight angle =0$ ）對應流形的閉合形式，超對稱基態（ $H$ 作用為0）對應調和形式，全體超對稱基態構成的線性空間與 $M$ 上的上同調群同構。

3b) 的相關例子包括 Topological twisted 的超對稱場論（2d $mathcal{N} = (2,2)$ ，4d $mathcal{N} = 2$ ）。

謝邀，我沒有專門學習過上同調群，但是在學物理的過程中遇到了一些需要上同調群的問題。目前我接觸過的就是Derahm cohomology和BRST cohomology.

數學上上同調的引入就是度量拓撲空間的洞，同調是比同倫更為有力的工具，不過具體的數學概念我沒有深究。

物理上，deham上同調的定義是閉的但非恰當的形式場，閉的形式場是w,它的外微分dw=0。恰當的形式場是w，存在 $w=dmu$ , 可見恰當的形式場是閉的，因為 $d^{2}=0$ (如果應用斯托克斯定理，對應於邊界的邊界是0這個概念），但是閉的形式場不一定是恰當的，它只可能是局域恰當（龐加萊引理）。德拉姆上同調群的意義是H＝閉的形式場／恰當的形式場。也就是閉形式場去掉恰當形式場的那部分。德拉姆上同調的意義在於可以描述諸如磁單極子，蟲洞等物理系統。

比如磁單極子，依據斯托克斯定理 $int_{C}dA=int_{partial C}A$ , 這就是高數中斯托克斯定理的一種微分幾何的寫法吧。通常電磁學中這也就是安培環路定理，對於閉合面的積分 $int dA=0$ , 因為閉合面沒有邊界。這樣，如果 $B=dA$ 那麼就意味著磁場是無源的了。對於磁單極關鍵就在於，這裡的B是屬於德拉姆上同調，是不能寫成上面這種恰當形式的記法的，所以上面的推論不成立，也就是說它可以描述磁場有源的情況。之所以不成立，就意味著拓撲空間中存在洞，比如磁單極的位置。

另外一個上同調的重要例子是在規範場量子化中出現的BRST上同調，這個更加豐富一些，我盡量以我所知做一個簡單的介紹。

在規範場量子化中，因為規範對稱性帶來的冗餘的自由度，我們需要把它們固定並分離出來，路徑積分中用的是Fadev－Popov方法進行固定，這裡不擬介紹，只要知道最後的結果把規範自由度分離了出來，並且在作用量中多了一項規範固定的項。同時在非阿貝爾場論的時候，出了規範固定項之外，還出現了一項鬼場，由於引入的FP行列式含有規範勢導致。

最後的拉氏量為

h叫aulixury field，沒有動能部分，是引入的一個輔助場。

雖然固定了規範，但是仍然存在整體對稱性，這個也不難理解，廣義相對論和電動力學甚至弦論都有這種性質。整體對稱性可以依據諾特定理給出守恆荷。

規範場中的整體對稱性叫做BRST對稱性，具體變換的表達式是這個。

後面就用s來統一的代表了

以上是理解BRST上同調的背景簡介，最關鍵的一項是我們可以證明 $s^{2}$ =0（這個證明有些繁瑣，需要用到雅可比恆等式等性質）。根據這個很不trivial的性質，我們可以發現把物理態可以分成3類，

第一類是 $psi_{2}=spsi_{1}$ , 類似於恰當形式，第二類是 $spsi$ ，類似於閉的形式。

如果滿足第二類的條件但不滿足第一類的條件，這其實就是一個上同調的形式了，我們記做第三類的情況。後來我們發現，第三類的態滿足物理態的定義，而第一類荷第二類的態都會有非物理的態存在。所以通常物理的空間是由BRST的上同調定義的。

要看出這一點也並非很困難，以電磁場為例，如果規範固定的條件 $f=partial_{mu}A^{mu}$ , 對於h求它的運動方程就知道 $xi h=-partial_{mu}A^{mu}$ , h如果不是0，意味著 $k_{mu}A^{mu} e 0$ , 所以實際上h對應的是縱向的偏振，它也屬於第一類的條件。但是我們知道光子只有兩個偏振，縱向自由度非物理，所以物理態必然不能是第一種（類似於恰當形式），這樣可以相信物理的狀態可以由BRST上同調錶示。綜上，上同調群作為一種數學工具，在物理上起到了清楚的描述的工具作用。比如磁單極子和BRST等問題，這裡由於本人水平及篇幅所限，只能給出這種淺顯的介紹。希望對各位知友有所幫助。

物理沒太學過，我只知道同調群和示性類可以描述空間的拓撲性質，而很多物理結構的存在性是取決於空間的拓撲性質的。比如，一個緊流形( @香草奶昔謝謝指正！)可以賦予其一個Lorentzian metric當且僅當這個流形的Euler character=0。還有，一個流形存在一個spin structure當且僅當其second Stiefel-Whitney class=0。。。

最早可以聯繫到電磁學：AB效應、磁單極、規範選取和規範場論的導入。

和拓撲絕緣體（示性類）、拓撲場論（=有能隙系統在一定條件下的拓撲態分類）等有關。

具體地說，示性類是叢的拓撲不變數。因此它雖然可以用曲率等定義，但不依賴於度量、聯絡選取等幾何因素。而物質的量子態往往對應於復叢（的截面），此時示性類和示性數就可以作為不變數。

拓撲場論中SPT（對稱保護的拓撲態）基本由群的上同調分類。