如果拉氏量只包含某一廣義速度的一次式，勒讓德變換就不是可逆的了，那哈密頓量還能找到嗎？

01-02

謝謝大家的指點
剛剛開始看Goldstein 雖然不是很懂更加高深的理論但是知道這個問題還有很深入的討論就已經很滿足了

扯個電磁場的例子，假設z方向有一個勻強磁場，y方向有一個勻強電場，磁場很大，電場一般大吧，初始粒子初始在坐標原點，質量很小。

很容易寫出拉格朗日量 $L=-mc^2sqrt{1-frac{m{v}^2}{c^2}}+e m{A}cdotm{v}-evarphi$ ，以及不難得到這個問題的精確解，非相對論近似大概長成這樣：

$x(t)=a sin (omega t)/omega+E_0/B_0 t$

$y(t)=a (cos (omega t)-1)/omega$

其中a是一個常數，來自初速度。現在求速度，有 $dot{x}=a cos(omega t)+E_0/B_0$ 和 $dot{y}=-asin(omega t)$ 有界，所以如果初速度不太大的話非相對論近似基本是合理的。至於頻率，有 $omega propto B_0/m$ .

現在我們略去自由粒子項，得到 $L=em{A}cdot m{v}-evarphi$ ，在速度不算大的時候這個近似應該還是挺準的（因為我們大概就是略去了一個速度的二次項，但是可能存在的勻強磁場會加速粒子所以這個近似準不準現在不大好說），這就是lz想要的式子。

在我們的假設下，拉格朗日量寫作

$L=frac{eB_0}{2} (xdot{y}-ydot{x})-evarphi$

運動方程可以直接算出來 $B_0 dot{y}=partial_x varphi=0$ 以及 $B_0 dot{x}=-partial_y varphi=E_0.$ 積分之，就得到了運動

$y=0$ 和 $x=E_0 t/B_0$ ，由於質量很小，這就導致了 $omega$ 很大，所以這個解是（非相對論的）精確解的近似合理，而非相對論近似也是合理的，所以這個解應該也是相對論情況下速度很小、質量也很小的合理近似解。

上面扯了那麼多，就是為了說明，這個例子里， $L=frac{eB_0}{2} (xdot{y}-ydot{x})-evarphi$ 是一個合理的拉格朗日量，下面來看看哈密頓。

正常是沒法求的，因為

$p_x=partial_{dot{x}}L=-frac{eB_0}{2}y,quad p_y=partial_{dot{y}}L=frac{eB_0}{2}x$

我們沒法從這個式子裡面用動量解出速度。然後 $H(x,y,p_x,p_y)=p_xdot{x}+p_ydot{y}-L$ 就寫不出來了。

正如一維的情況，勒讓德變換把一條直線 $f(x)=ax$ 變成了一個點 $p=a$ ，我們這裡需要看到的是，這裡勒讓德變換把，動量變成了坐標的函數（跟速度沒關係了），比如 $p_x=-eB_0y/2$ 。

當然我們可以把動量和拉格朗日量的表達式往哈密頓量裡面帶，搞出來的是 $H=evarphi$ ，雖然不再含有速度項，這當然不是正確的哈密頓量，因為他的正則方程是 $dot x=dot y=0$ .

現在的問題是，哈密頓表述不好使了，連運動方程都求不出來。可我們就是想要哈密頓量/哈密頓表述怎麼辦？

換個視角，將，比如一維的 $p=a$ 看做相空間的約束，這裡的 $f_1=p_x+eB_0 y/2=0,quad f_2=p_y-eB_0 x/2=0$

看做相空間裡面的約束。如果在相空間上有合適的哈密頓量，他應該寫作 $H=H_0+f_1eta_1+f_2eta_2$ ，其中 $eta_i$ 是坐標和動量的光滑函數，這樣限制在約束得到的曲面上還是 $H_0=evarphi$ .

然後去求正則方程，第一組寫作

$dot{p}_x=-partial_x H=-epartial_x varphi-f_1partial_xeta_1-f_2partial_xeta_2+frac{eB_0}{2}eta_2,$

$dot{x}=partial_{p_x} H=f_1partial_{p_x}eta_1+f_2partial_{p_x}eta_2+eta_1.$

現在將其放到約束的曲面上，

$dot{p}_x=eB_0eta_2/2,quad dot{x}=eta_1,$

同理有

$dot{p}_y=-eB_0eta_1/2,quad dot{y}=eta_2.$

再代入約束 $dot p_x=-eB_0 dot{y}/2$ 和 $dot p_y=eB_0 dot{x}/2$ 就得到了正確的運動方程。

處理約束的另一種思路是從Possion括弧出發，Dirac搞出了Dirac括弧。這個思路大致如下：不只是哈密頓量，對任意的函數 $f$ ，我們都可以唯一確定到除去一階約束的一個等價類 $f^*$ ，這些等價類我們都可以看做自由的量，對他們進行正常的運算，最後放回約束決定的曲面上就可以得到正確的動力學關係。設約束構成的曲面是M，則Dirac括弧即定義使得 $[f,g]_{mathrm{D}}|_M=[f^*,g^*]_{mathrm{P}}|_M$ 成立的括弧 $[*,*]_{mathrm{D}}$ ，其中下標為P的是Possion括弧。運動方程由哈密頓量關於坐標或動量的Dirac括弧給出。當然這其中有不少技術性假設或者手段，這裡就不表了，關於Dirac括弧可以去看看Dirac自己的小冊子，關於量子力學的，名字忘了。這套在Dirac的初始目的大概是用來量子化約束體系，畢竟搞括弧的高手。

所以，這種情況下，我們想要找到一個可以得到正確運動方程的哈密頓量是很困難的，甚至可能是不存在的，而Dirac給出了一個不去找他的方法。至於約束的產生有時候是很自然的，比如電磁場張量的對角元素為零。

上面有人提到了Dirac場，這裡也來看看，（無視掉相互作用的）拉格朗日量寫作 $mathcal{L}=ar{psi}(igamma^{mu}partial_{mu}-m)psi$ ，所以 $pi=partial_{dotpsi}mathcal{L}=iar{psi}gamma^0$ ，和上面一樣去寫哈密頓量的話

$H=intmathrm{d}^3x,(pidotpsi-mathcal{L})=intmathrm{d}^3x,[(pi-iar{psi}gamma^{0})dot{psi}-ar{psi}(igamma^{i}partial_{i}-m)psi]$

正常來說，因為沒法反解出 $dot{psi}$ 所以這個哈密頓量不太合理，沒法用。

但是，在約束的曲面上可以動用約束換個形式。注意到第一項沒了，然後因為 $ar{psi}=-ipigamma^0$ ，所以一般來說哈密頓量會寫成

$H=intmathrm{d}^3x,[ipigamma^0(igamma^{i}partial_{i}-m)psi]$

這個哈密頓量還是好使的，可以搞出正常的Dirac方程。

所以我們還是按第一個方法來寫吧，首先為了處理共軛，我們把一個復場的共軛也看做獨立的場。因此，系統又會多出一個約束 $ar{pi}=delta_{dot{ar{psi}}}H=0$ ，注意這裡的 $ar{pi}$ 是獨立的場。

設

$H=intmathrm{d}^3x,[(pi-iar{psi}gamma^{0})eta_1+ar{pi}eta_2+ipigamma^0(igamma^{i}partial_{i}-m)psi]$ ,

則在約束的情況下，

$dot{psi}=delta_pi H=eta_1+igamma^0(igamma^{i}partial_{i}-m)psi,quad dotpi=-delta_{psi}H=0$

以及

$dot{ar{psi}}=delta_{ar{pi}}H=eta_2,quad dot{ar{pi}}=-delta_{ar{psi}}H=-igamma^0eta_1$

代入約束 $ar{pi}=0$ ，則 $eta_1=0$ ，所以關於 $psi$ 的運動方程寫作 $dot{psi}=igamma^0(igamma^{i}partial_{i}-m)psi$ 或者 $(igamma^mupartial_mu-m)psi=0.$

補充一個例子，權作筆記。

熱力學中，由基本方程

$mathrm dU=T,mathrm dS-p,mathrm dV$

出發，通過勒讓德變換

$G=U+pV-TS$

得到 Gibbs 自由能以及關係式

$mathrm dG=-S,mathrm dT+V,mathrm dp$

然而，對於熱輻射系統，簡單的演算可以發現 Gibbs 自由能為零，通常的熱力學教材將其解釋為熱輻射系統粒子數不守恆（或者不存在粒子數的概念）的結果。

粒子數概念不存在導致的後果是，熱輻射系統的全部廣延量只有兩個，可取做熵和體積，由廣延量的性質以及歐拉齊函數定理可知

$U=Sfrac{partial U}{partial S}+Vfrac{partial U}{partial V}$

可以看到，這是題主所述的函數只含廣義速度一次式所導致勒讓德變換不可逆的一個推廣情形，此時同時對兩個變數做勒讓德變換原則上是不合法的。

實踐上，在處理熱輻射系統的問題時，Helmholtz 自由能是比較常用的，畢竟熱力學不需要正則量子化，非得要拿出 Hamiltonian【手動滑稽

更一般的，任意複雜的熱力學系統，只要找齊了全部獨立的廣延量，都能給出一個類似湊零的關係式。對於簡單系統，即為 Gibbs-Duhem 關係

$0=S,mathrm dT-V,mathrm dp+N,mathrm dmu$

注意到：

勒讓德變換是定義在矢量空間上的『凸函數』上的（即二次型 $dfrac{partial^{2}f}{partialm{x}^{2}}$ 為正定（之前表述有誤，非負定都行）），定義為：

$g(m{p})=F(m{p},m{x}(m{p}))=max_{x}F(m{p},m{x}),$

其中 $F=langlem{p,x} angle-f(x),$ $m{p}=partial f/partialm{x}$

哈密頓量是拉氏函作為 $dot{m{q}}$ 之函數的勒讓德變換。

然而題主的例子雖然不是下凸，但仍然可以勒讓德變換為一點：（這裡之前說錯了）

一個典型的例子是Anold pp.49例四把下凸折線變為線段（下凸折線 f 的每一段射線變為其像 g 線段的端點）(verify it!)

定理：嚴格下凸函數的勒讓德變換一定是對合的（即可逆），然而題主的例子並不對合（只能變一次）。

一般的帶電粒子在電磁場中的運動，由於動能項的存在，加一個與 $dot{m{x}}$ 成正比的洛倫茲力，並不影響下凸性；再舉個 @Fang Xie 提到的特殊的物理例子，對於 Dirac 場 $mathcal{L}_{Dirac}=ar{psi}(igamma^{mu}partial_{mu}-m)psi$ ，由於拉氏函對於 $partial_{mu}psi$ 是線性的，仍然可以勒讓德變換得到哈密頓然後正則量子化，但是不能變回來（當然這無傷大雅）。。作為對比， $phi$ - $3$ 、 $phi$ - $4$ 之類的標量場就可以隨便弄。（當然對量子場論而言這並沒有什麼優越性。這裡只是提一下。。）

這是有約束（primary constraint）的系統，狄拉克最早研究了約束系統的哈密頓理論及其量子化，請參考他的文章：Generalized Hamiltonian Dynamics

請回憶帶電粒子在電磁場中的拉氏量以及哈密頓量。

阿諾德那本書里把動能定義成了構型流形的Riemann度規,必定是正定二次型，保證了Lagrangian是下凸的。

個人感覺一個力學系統不會出現僅包含廣義速度一次項的拉氏量，廣義速度是廣義坐標對時間的導數，廣義坐標和笛卡爾坐標可以做非退化的變換，因此廣義速度和笛卡爾坐標下的速度v可以做非退化的變換。拉氏量在笛卡爾坐標下就是速度的二次項(動能)，經過非退化變換之後肯定還是廣義速度的二次式