為什麼求極限沒有逆運算？

01-02

因為不是單射啊。

1，0，0，0，……極限是0；

0，0，0，0，……極限也是0；

也就是說，兩個不同的收斂數列，極限可能相同，所以，假如有逆運算的話（叫做「逆極限」好了），0的逆極限是什麼呢？

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學了泛函以後，用泛函角度來看這個會更清楚。

什麼是極限運算？

泛函分析裡面，用C表示收斂的實數列的集合，C0表示收斂到0的實數列的集合。那麼極限運算就是C上的一個線性泛函。就把他叫做F吧。

例如：

F(1，0，0，0，……)=0，

F(0，0，0，0，……)=0。

F顯然是C到R的滿射，因為對任意實數x，

F(x，x，x，x，……)=x

對於一個線性滿射F，下面三條等價：

1.F有逆映射

2.F是單射

3.Ker(F)={0}

對於定義在C上的極限運算F，

Ker(F)=C0≠{0}!!!

因此F沒有逆，但是可以定義F的廣義逆，因為F可以誘導出商空間C/C0到R的線性雙射，因此有廣義逆

invF: R→C/C0

也就是，任給一個實數x，把它的「逆極限」定義為（x，x，x，x，……）在商空間C/C0裡面的等價類。

這真是個有意思的問題！

加減乘除都有逆運算，微分和積分也互為逆運算，為什麼極限作為一種運算就沒有呢？

實際上這是我們日常用語不規範造成的誤解。一般來說，加減乘除是二元運算，把兩個元素變為一個元素；而微分和積分則是運算元，把一個元素變成另一個元素；至於極限，那只是我們刻畫局部性質的一種語言，連映射都算不上，因而更談不上「逆」了。下面詳細說說。

先考慮加減乘除。加減乘除是二元運算，屬於代數運算的範疇，代數學上對二元運算做了更廣泛的定義。如果我們在代數結構A上定義了一種二元運算 $igodot$ ，為方便我們就管他叫廣義乘法吧～如果對A上的任意元素a，都存在元素b使得 $aigodot b=1$ ，我們就稱b是a的逆元，記作 $b=a^{-1}$ ，這時我們自然得到了一個廣義除法 $igotimes$ ，即 $aigotimes b=aigodot b^{-1}$ 。

可以看到，逆運算的定義是依賴於逆元的存在性的。那麼，是不是每個代數運算都有逆運算呢？不是的，在實數域上有加減乘除，這是因為它的性質太好了（所以我們尊稱它為「域」，域可以理解為有加減乘除的代數結構）！我們不能指望每個代數結構都能有這麼好的性質，比如，方陣環上可以定義乘法，但並沒有除法，因為只有可逆方陣才有逆元，不可逆的方陣沒有逆元，自然也不能參與除法。

我們再考慮一元微積分里講的「運算」。這裡的運算就不是二元運算了，微分和變上限積分把一個函數變成另一個函數，我們稱這樣的「運算」為運算元。運算元不是代數運算，因為它的工作領域是函數空間（這裡我們不考慮函數空間具有的代數性質），所以我們需要重新定義逆運算。運算元也好，二元運算也罷，本質都是映射嘛，有逆映射就能定義「逆運算元」，好啦，我們定義能把函數還原回微分前的函數的運算元稱作微分運算元的逆運算元。那麼積分是不是逆運算元呢？

不是。積分只是個籠統的概念，我們就微積分里的幾種積分進行分析：不定積分把函數映射為它的原函數族，是「一族函數」，不是原來的那個函數了，具體是哪個我們是不清楚的；定積分把一段區間上的函數映成一個實數（完啦，坍塌了～），也不是原來的函數；最後一種變上限積分，把 $f^{$ 還原回 $f(x)-f(x_{0})$ ，如果 $f(x_{0})$ 不等於0，那依舊不是原來的 $f(x)$ ，所以變上限積分也不是微分運算元的「逆運算元」。所以啊，即使我們口頭上說微分和積分互為逆運算，也只是大概的闡述它們的關係（這種關係通過牛頓－萊布尼茲公式刻畫），按嚴格的定義，這種說法是錯誤的，稱其量只能說「意思到了」而已。

好了，最後我們來看極限。考察極限的定義，我們發現這只是我們用來描述函數or數列在局部表現的一種語言，它只表達了在指定點附近函數的狀態和性質，並不是一種映射，因而也談不上「可逆」啦～

—————————————————昏鴿線—————————————————

按照一般極限（不限於微積分）的定義，我們取了一個點列 ${a_{n}} o a$ 如果定義在點集上的映射 $g$ 的像也是趨近（由範數描述）的，則稱該點列的像趨於a的像。此時稱為路徑極限，路徑極限確實是個映射，把點列 ${a_{n}}$ 映射到了a的像。進一步的，如果任意趨於a的路徑都有相同的極限，我們則說映射 $g$ 在a點有確定的極限，其等於任意路徑的極限。

這兩個極限的意思也是不一樣的，後者是常說的極限，也是原文提及的極限，它的定義依賴於路徑極限。自然，這種極限也可以用映射的語言來描述，但我覺得過於複雜且沒有意義（因為我們想得到點列的時候通常會直接按某種需要去點列，用不著從路徑極限出發找一個原像）所以原文也只是簡稱「不是映射」。

之前確實沒講清楚，感謝評論區的指正。

我認為可以有。

比方說極限可以看成一個算符 LIM(f, x) ，結果是 y 。那麼其逆運算可以定義成已知 f 和 y ，求 x 。

但我們可以定義 g(x) = lim_{t
ightarrow x}{f(t)} ，於是這個極限的逆運算就是 g(x) 的反函數，於是就不需要專門的概念了。

當然也可以定義為已知 y 和 x ，求 f 。但這裡 f 的可能性就太多了。

因為逆運算的結果不唯一，同一個極限可以對應多個甚至無數個極限過程。

求極限這個運算有核

把它商掉就沒有意義了，商掉核就是在求極限

我覺得是有的，只是通常意識不到或者說不強調、不以逆運算的方式描述。用處也是有的。以下舉例僅在度量空間X里討論序列的極限：

序列取極限的運算可以看成是從{X中所有收斂子列}構成的空間（這個空間比較複雜，可能也是通常不討論極限的逆運算的原因之一）到X的映射。很多答案也提到，這個映射不可逆。但原像（preimage）還是可以討論的。

比如：

1 集合A是開集當且僅當對任意A中的點x, x的（在極限運算下的）任意原像序列{x_n}滿足存在N使得對任意n&>N, x_n都在A中。

2 函數f: X-&>Y是連續的當且僅當對X中的任意x, x的（在極限運算下的）任意原像序列{x_n}滿足f(x_n)收斂到f(x). 這其實就是說求極限和求函數值這兩個運算可以交換順序（分析里這種交換順序的性質很常見）。

逆運算，換一種說法吧，即反函數，更廣義的我們可以提出逆映射和廣義逆映射。所以逆運算是函數的一種，函數是什麼？

函數是兩個集合之間的一種關係

極限，我們限定在函數極限的情況（更廣義的暫時按下不表）：

描述函數值在接近某一給定的自變數時的特徵

所以極限運算和逆運算的「運算」是兩個運算。

額外一提，隨著數學的深入，我們最終會發現逆運算是一種多麼美妙的性質，多麼少見的性質。

我覺得與其問這個問題，不如反問一句「為什麼求極限要有逆運算」或者琢磨下為什麼極限要存在逆運算？？你自己就會得到答案了。並不是所有的東西都是可逆的嘛。非常簡單，一個量的極限是不是0非常好求，但極限等於0的量你有無數個且千奇百怪各不相同毫無聯繫，你說怎麼可逆？？

完全可以啊，把相同極限的柯西列看成一個等價類。對函數也可以類似的這樣做。細節上規定好就行

不太懂部分答案為什麼扯那麼多。不就是一句話的事，因為不是單射。

就像是任何數乘以0都等於0

但是除以0就沒有意義一個性質

只是沒人定義極限的逆運算，真要定義的話還要考慮序列到極限的方式

你可能需要喝點+ C

也許可以認為是有的？只不過用途比較迷就是了。

極限的逆運算應該就是「求空間中極限為某個值/收斂到某個點的數列的集合」吧。。。這個倒不難理解，但是用途是什麼就不知道了。

有逆運算，考慮Ψ：X→P(∏X)，即把X映到X的無限可數笛卡爾集的冪集上，a∈X，Ψ(a)＝｛｛an｝：｛an｝∈∏X，liman＝a｝。這樣就得到了一個所謂逆映射了，但是這個映射有一個「順序」的限制所以可能沒有好的性質，所以有沒有實際意義，本人才疏學淺，不知道了。而極大濾子確定拓撲所用的就是所謂極限的逆映射，只是說的不再是序列的極限，而序列在拓撲中不是普遍本質的東西，所以這樣的取法沒有太好的性質。

逆是一個代數概念,極限是一個拓撲概念

並不是所有的運算都有相應的逆運算，這一點相信所有中學及其以上學歷的人都有所了解。

最常見的沒有逆運算的運算有：因數有 0 的乘法、絕對值、模長、階乘、排列、組合、上下取整等等。

多說一句，任何運算都是人為定義的，真實世界中並不存在運算。因為數學不涉及真實世界本身的性質，它基於我們對事物抽象描述的本能。譬如：數是我們對事物數量（大小）的抽象描述，真實世界中並不存在，存在的只有「數 + 單位 + 描述對象」。

題主腦洞挺大的，我也來個腦洞的回答

極限運算，以數列極限為例，把數列映射為一個數，我們把極限相同的數列作為一個等價類，極限存在的數列全體作為一個空間

（其實這個空間是Banach空間(c)，更多關於這個空間的性質參看定光桂的Banach空間引論，其實用不到，就是嚇嚇你）,

那麼極限運算其實是一個(c)到複數域C的映射，顯然極限運算不是單射，那它的逆應該是多值的，把它看成一個集值映射，這樣逆極限運算應該是把一個數映射為(c)中一個等價類，這個等價類為所有極限相同的數列全體

如果對集值映射感覺彆扭，根據極限運算的性質顯然極限運算是一個(c)到C的環同態，根據環同態基本定理，那麼C其實與(c)/～同構，這樣極限運算就成為一個雙射，那麼可以定義逆了，逆極限運算就是C到(c)/～的同構映射

我想這一定不是題主想要的東西，但為什麼是這樣的結果？思而不學則殆，換句話說就是少整沒用的