如何證明無理數的個數比有理數多？

01-02

問題的根本在於，怎樣給無窮集合立一個比較多少的標準。

集合包含關係算是一個標準，但適用性太差，按照這個標準，你不能說一車梨比一個蘋果多，因為兩者不相互包含。

基數就是一個好的標準，以能否建立雙射為準繩。由施羅德伯恩斯坦定理保證了不會矛盾（不會出現A&>B且B&>A），由選擇公理保證了必然可以比較（不會出現A&>B,A=B,A&在基數的標準下，無理數的基數更大。

具體的證明可參考各類實變函數論書籍。

補充一下：按照基數的觀點，素數、奇數、偶數、自然數、有理數、代數數都一樣多。

不過有時人們也會說，奇數和偶數各占自然數一半，素數不佔份量。

這個說法是按照漸進密度的觀點說的，是一種特殊的測度，需要預設一些結構，不像基數只需要集合就行，所以適用性不及後者。

總之，先確定按什麼標準考慮問題，標準確定之後，談論答案才有意義，不同標準之下看似矛盾的結論實質上不矛盾。

以上同學所說的幾個重點很值得提一下:

- 無理數是一個連續統，有理數是一個可數集，而連續統的基數大於可數集的基數。

- 實數是有理數和無理數組成的，無理數是不可數的。

- 素數、奇數、偶數、自然數、有理數、代數數都一樣多。

初級理解：

這應該是大學一年的 Discrete Mathematics，或二年的 Real Analysis 里的題。

- 首先證明「實數是有理數和無理數組成的」 $mathbb{R} = mathbb{Q} cup overline{mathbb{Q}}$

- 然後就是他們的基數 $leftvert {mathbb{R}} ightvert = leftvert {mathbb{Q}} ightvert +leftvert overline{mathbb{Q}} ightvert$

- 實數是不可數的，無理數是不可數的，有理數就是可數的。

- 無理數的基數比有理數的基數大。

- 無理數比有理數多。

明白了這些以後，就可以用很多種方法來證明。主要是在基數的可數性上。

中級理解：

如果問題是要知道[無理數或有理數的可數性]，那麼：

- 有理數是可數的，可以參考上面同學所說的分子分母組合，我想學數學的都應該知道。

- 無理數是不可數的，可以參考 Georg Cantor"s diagonal argument, 對角論證法。

高級理解：

學士畢業後，就會知道有很多種「無限」。永遠記住這名字「喬治·康托爾」，他會令你感到抽象代數的力量。

首先解釋一下他的連續統假設，就是說如果 $mathbb{Q}$ 的基數是 $aleph_{0}$ ， $mathbb{R}$ 的基數是 $aleph_{1}$ ，那麼 $overline{mathbb{Q}}$ 的基數不可能在 $aleph_{0}$ 和 $aleph_{1}$ 之間。雖然都是無限，但後者嚴格地比前者大。二十世紀前還反對這對「無限」的理解。 $vertoverline{mathbb{Q}}vert = aleph_{1} = 2^{aleph_{0}} = 2^{vertmathbb{Q}vert}$ ，注意這個等號沒有 $"1+1=2"$ 里的等號強。

問題就在於有理數和無理數的區別，或代數數和超越數的區別。

雖然本人是數學結構主義者，對選擇公理有一定程度的拒絕，所以對以上同學所說的「奇數和偶數各占自然數一半，素數不佔份量。」的解釋，應該是用Limited principle of omniscience里的 LLPO（沒有中文翻譯，應該叫「較小的有限全知的原則「）原則而解釋的三分法。

舉個例子：

LPO所解釋的三分法： $[-1,1]=[-1,0) cup {0} cup (0,1]$

LLPO所解釋的三分法： $[-1,1]=[-1,0]cup[0,1]$

有個比較直觀的證明，好像在哪本書看過，現在還記憶猶新。

證明如下:

已知實數數軸是由有理數和無理數兩部分組成，並且實數數軸是無窮長的。

(想像一根繩子……)

那麼計算有理數的長度在實數數軸中的佔比即可。

設所有的有理數a1，a2，a3……an的長度為E

即: a1+a2+a3……+an = E

因為所有的有理數數量和等比數列數量級是相等的

(一一對應關係可以得到，這個就不證了)

設任意一個長度€，€＞0

用€/2，€/4，€/8……€/(2^n)來覆蓋所有有理數a1，a2，a3……an這些點。

(想像用狗皮膏藥覆蓋繩子上所有有理數的點)

就有:

E ＜ €/2+€/4+€/8+……€/(2^n) ＜ €

因為€可以為任意數，所以€可以十分小

(反正€比一個點的長度長……)

所以E=&>0

所以有理數在實數中的佔比趨近0%，其他都是無理數！

無理數比有理數多得多呢，嗞嗞。

我有一個比較直觀的理解：

所有有理數都可以看作是有無窮位相同數字（或相同數字序列）重複出現的實數：

對於有限位小數，可以看成零的重複出現；

對於無限循環小數，就是循環的數字或序列重複出現；

所以，有理數要求在一個實數的無限位中，某個數字或序列要一直重複下去，從概率的角度看來，出現這一情況簡直就是不可能事件。

而對無理數來說，因為每一位的值都是可以任意取而不受約束的，所以幾乎占實數的全部。

綜上，無理數比有理數多。

怎樣證明無理數比有理數多

摘錄一部分如下

用反證法.設無理數可以排成一列（從而可以編號1、2、3……）：x.xxxx…… x.xxxx…… …… 我們可以找出一個新的無理數,它的第一位與上面數列中的第一個數不同,第二位與數列中的第二個數不同,……從而這個新無理數就不在數列中,這是一個矛盾.此矛盾說明無理數不能排成一列,即無理數比自然數多,從而比有理數多.

無理數與實數等勢，且其勢高於有理數。

首先你的題目就是有問題的，數量一旦到了無窮就不能用哪個多哪個少來表述，例如，是整數多還是偶數多？這類問題只能用級別來說明，也就是基數。無理數是一個連續統，有理數是一個可數集，而連續統的基數大於可數集的基數。

至少在數學認知上人類還處於幼兒期海灘上無數的鵝卵石規則形狀的少之又少不規則的卻是正常狀態人類的腦袋目前只能發覺規律性的東西對於不規律的還缺乏認知