怎麼理解秩定理?

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討論班學多元函數看到的一個定理，在Rudin的分析書上跟在反函數隱函數兩個重要定理後面，但自學這個定理時候感覺定理內容太過複雜，甚至看了許多遍都只能勉強複述條件結論，更不要說理解證明思想以及應用了。Rudin在證明後面給了這定理的一個「形象化理解」，但我感覺那個比定理還難看懂。。。求大佬解釋這個定理該如何理解，又有什麼用處。

不論幾何還是物理，坐標系的概念都非常深刻而有意義。

如果你以後學習什麼叫流形，你就會知道流形就是處處可以定義局部坐標系的拓撲空間。

具體來說，什麼叫做坐標系？從中學大家學了直角坐標，極坐標等等，但是畢竟有點特殊。

更一般來說，如果我們說n個實參數如果和空間中點能互相確定，我們就可以說這n個參數是空間的一個坐標系。

而以上描述的具體刻畫就是，如果一個空間和一個n維的線性空間同構（在恰當的範疇中，比如拓撲，光滑，復解析），那我們就說這個空間上有一個坐標系。

這個坐標系概念的厲害之處就是允許我們的坐標系是非線性的坐標系。（線性的坐標系比如直角坐標或者仿射坐標）

然而遺憾的是，整體的同構太難找，而且其本身的拓撲限制太強了。所以我們推而求其次，我們開始逐漸接受局部坐標系的概念。也就是說，n個參數和空間中的一部分點可以互相確定。用數學語言說，就是空間中的某些點和n維線性空間的一個開集有同構。

然而當問題歸結到局部的時候，並且我們在光滑（或者復解析）的範疇里看問題，微積分這個非常有力的工具就能用上了。

於是從局部坐標系的意義上看，反函數定理無非是說，如果n個實參數（也就是n個實函數）在一點處的微分是線性無關的，那麼這n個實參數在這一點附近確定了空間的一個局部坐標系。

須知，我上面一直刻意用空間這個模糊的辭彙。實際上這個空間我想表達的是一般的拓撲空間。（當然這個時候需要多做一點細緻的工作，比如在拓撲空間上定義可微性等等）

而在多元微分學裡，這個拓撲空間本身，就剛好是一個線性空間的開集。所以，在一般的多元微分學教程里，很難看得到「坐標系」這個觀念。因為大多數人自然地被預先指定的直角坐標系給框住了。

說了這麼多，還是沒有回答題主的問題。

但是，我希望題主能先理解一般坐標系的觀念。然後忘掉線性空間上天然自帶的線性坐標系。

如此一來，秩定理的意思無非就是，如果兩個空間之間的映射，在一點的附近是常秩的。那麼在兩個空間上分別存在兩個局部（很可能是非線性的）坐標系，並且這個映射在這兩組坐標系下看起來剛好就好就是最簡單的線性的樣子。

也就是說，在兩個（非線性）坐標系下看，映射成為線性的了。從而簡化了許多討論。

很多數分教材上總是講，隱函數定理/秩定理的幾何形式是什麼，但是總是不介紹坐標系的想法。所以最後搞的大家更看不懂這幾個幾何形式了。這就是我需要先給題主廢話那麼多的原因。當然如果有幸學習一些基本的流形知識，恐怕就不是廢話了。當然有些不嚴格的地方，我想同樣也要等到認真學習流形的時候，交給題主自己來挑錯了。

要談形象化的理解，不妨先從最簡單的線性變換開始。設 L 是 R^n to R^m 的線性映射，如果L的rank是k，那麼代表L的像是R^m的一個k維子空間，就好像是R^n被「壓扁」到了k維一樣（如果k&

現在我們來考慮一般的différentiable map。假設f是R^n to R^m的différentiable map （具體要到C^1好像，不太記得了），那現在問題來了，f可以non linear就沒辦法談rank了。但是這難不倒數學家們，他們注意到différentiable maps可以用它們的Jacobian matrix當作一階逼近，而Jacobian自然可以談rank，於是自然而然地想到，假設f的Jacobian的rank處處為k會如何？經過研究他們發現，f的像雖然不一定是R^m的k維子空間，但是在「局部」的確可以「看作」（微分同胚到）k維子空間的一個開集。粗略地說，就是f的像是R^m中的一張k維「曲面」，更嚴格的術語叫做k-維流形(manifold)。這個概念你肯定不陌生，比如R^3中的unit sphere S^2就是一個2維流形，很顯然嘛，因為它隨便哪個局部剪一塊下來都是R^2的一小塊嘛。所以，簡單講，the rank theorem雖然嚴格的陳述、證明都很繁雜，但講的事情卻很簡單：f的像的維數就是f的Jacobian的rank。

再舉一個最簡單粗暴的例子吧。我們都生活在R^3中，假設某天有好事者往太陽系丟了一塊二向箔，那我們最後就都被拍扁到一張2維曲面上了。這裡的二向箔其實就是一個rank=2的映射。

謝邀，rudin把這個定理寫成這個樣子也是神奇。我來解釋一下它的「幾何」意義，設 $A:mathbb{R}^m o :mathbb{R}^n$ 是一個線性映射，如果它的秩是r，那麼它的像是 $mathbb{R}^n$ 中的一個r維平面。而且 $m=r+dim, ker(A)$ . 所謂秩定理是這個結果的非線性推廣，也就是說，對於一個連續函數 $F:Esubset mathbb{R}^m o mathbb{R}^n$ ,如果它在某一個開集上的導數 $dF$ 的秩為r，設 $ain E,quad dF_a=A$ 那麼局部來看, 存在一個小開集 $U$ ,使得 $F(U)$ 是一個r維曲面。以下是rudin的定理全貌和解釋:

它的意思是對於 $yin F(U)$ , 它總是可以寫成 $y=Py+varphi(Py)$ , 不能發現 $y$ 是本質上根據 $Py$ 決定的，所以「自由度」也就是維度和 $P$ 值域維度決定，也就是說它本質上是一個 $r$ 維曲面。我們嘗試把投影 $P$ 作用在 $F(U)$ ,那麼我們發現 $PF(U)=AV$ (因為 $y=Py+varphi(Py)$ ).

這個定理在微分流形裡面是一個基礎性的結果，是研究流形嵌入浸入等問題的基礎結果。籠統地講，也就是對於一個「不直接定義的」幾何圖形，很多時候我們需要通過這個定理來判斷它的維度和整個空間的幾何關係。下面，我們給這個定理一個更加優美的形式。