隨機取一正整數n，其大於另一已知正整數m的概率是多少？

01-02

這是在某處看到的問題，原處給出的答案是：1。請問對這個答案有沒有簡單的思考/論證過程？
另外對問題稍作變化，例如改為「m也是隨機獲取而來」，答案似乎應該是0.5？
還有將m與n的範圍擴大至正實數，答案又會是什麼？

你先告訴我怎麼「隨機」取。

正整數集合上定義概率的問題已經是老生常談了，儘管對於沒有接觸過概率空間嚴格定義的人來說有點反直覺，但是我們實際上是不能給出正整數集合 $mathbb{N}$ 上的「均勻」的概率的。

但是這個問題如果改成：大於m的正整數在 $mathbb{N}$ 上的密度是多少？我們就可以得到答案是1的結論。

對於 $mathbb{N}$ 的一個子集A，我們定義A的密度為

$lim_{N ightarrow infty} frac{1}{N}|A cap [1,N]|$

根據這個定義，我們很容易發現大於一個給定整數m的正整數集合的密度是1。但是要注意，並非所有集合的密度都存在，而且全體密度存在的集合構成的集族並不構成 $sigma$ -代數，因而這不可以作為 $mathbb{N}$ 上概率的定義。

如果我的思路沒錯的話。

可以將正整數分為兩個區間〔1，m〕和（m，＋∞〕，然後求n落在兩個區間(或者說兩個集合)中的概率。

因為一個是有限集，一個是無限集，所以概率為1。

如果換成正實數，應該是沒有答案，因為實數集不可數……