數學學習或研究中你見過哪些有意思的反例？

01-02

最近覺得反例比定理有意思。期待常更大神。常見的結果就不用在下面回答了，咱可以再評論里討論。各位幫忙邀請大神啊。
分哥線
我的原意是大家把自己看到覺得「好妙」的反例分享一下。結果下面都是整本書丟過來。。。我舉個栗子，Milnor拿Fields獎的那個七維怪球反例，簡單點的比如熱方程的無界解之類。

講一個調和分析中很經典的反例吧。1917年日本數學家掛谷宗一(Soichi Kakeya)提出了如下的問題：

設某個日本武士在上廁所時被偷襲，他只能揮動長為1的武士刀應戰。請問在他將刀揮動一周的過程中，掃過的面積最小為多少？

好吧，雖然我覺得問題背景不用敘述得這麼具體啦……不過用數學語言描述的話，這其實就是下面的問題：

設平面點集S在每個方向上都含有一條長為1的線段(這樣的集合稱為Kakeya集)，請問S的面積(測度)最小為多少？

當然按Kakeya的本意，應該要求長為1的線段能夠連續轉動(相應的集合稱為Kakeya needle集)，不過這算是個小的技術問題，暫時不用在意。

經過簡單的嘗試，容易猜想在凸集情形，最小面積由高長為1的正三角形實現，其值為 $1/sqrt{3}$ ；這點後來被Pál所證明。對於非凸集，Kakeya本人猜測最小面積應由某個三尖內擺線實現，但一直無人能夠證明或否認這點。

到了1919年，前蘇聯數學家Besicovitch在對其他問題的研究中也遇到了上述集合。結果他證明了令人驚訝的結論：

Kakeya集的測度可以為0。

這當然完全解決了Kakeya問題；利用Pál的一個技巧，我們可以從測度為0的Kakeya set構造出測度任意小的Kakeya needle集(注意Kakeya needle集的測度不能為0)。因為Besicovitch的貢獻，現在我們有時也稱Kakeya集為Besicovitch集。

Besicoovitch的構造後來被Perron, Rademacher, Schoenberg，Fisher等人改進過；這裡我們介紹一種稱為「Perron樹」的較為簡單的構造。限於篇幅我們只證稍弱一些的結論，即Kakeya集的測度可以任意小。以下證明取自Markus Furtner的學位論文(見[2])。

固定實數 $alphain(1/2,1)$ 和正整數k，以|*|表示面積。對任何三角形T，考慮如下的構造步驟：

作T底邊上的中線，將T分成兩個小三角形L和R。將右邊的小三角形R平移至R"，使其底邊與L重疊，且重疊部分長為T底邊長的 $(1-alpha)$ 倍。記 $T^*=R$ ，由初等幾何可證明 $T^*=Bcup Ccup D$ ，其中B是與T相似的三角形，相似比為 $alpha$ ；C和D是兩個三角形，其面積各為 $(1-alpha)^2|T|$ ，如圖所示。為簡便起見我們將稱B為 $T^{*}$ 的「核心」，C和D稱為「分支」。

現在取一個高長為1的正三角形T，將T的底邊作 $2^k$ 等分，記所得的小三角形從左至右為 $T_0^0,cdots,T_0^{2^k-1}$ 。對每個 $0leq jleq 2^{k-1}-1$ ，對三角形 $T_0^{2j}cup T_0^{2j+1}$ 進行操作(實際上操作是對兩個三角形 $T_0^{2j}$ 和 $T_0^{2j+1}$ 進行的)，設所得圖形為 $S_1^j$ ，其核心為 $T_1^{j}$ 。對 $0leq jleq 2^{k-2}-1$ ，容易證明 $T_1^{2j}$ 和 $T_1^{2j+1}$ (在適當平移後)可以作為某個大三角形對應的L和R，因此對這兩個三角形進行操作，得到圖形 $S_2^j$ (注意，此時 $S_1^j$ 的分支部分也進行了相應的平移)，設其核心為 $T_2^j$ 。如此繼續下去，最後得到一個圖形 $S_k^0$ 。下面我們證明 $S_k^0$ 的面積不超過T的面積的 $alpha^{2k}+2(1-alpha)$ 倍。

實際上，對 $0leq mleq k$ ，記 $A_m=sum_{j=0}^{2^{k-m}-1}|S_m^j|$ 。首先 $A_0=|T|$ ；對於 $A_1$ ，它將等於所有 $S_1^j$ 核心與分支部分面積之和。易知核心部分面積之和為 $alpha^2|T|$ ，而分支部分面積之和不超過 $2(1-alpha)^2|T|$ 。因此 $A_1leq (alpha^2+2(1-alpha)^2)|T|$ 。對於 $A_2$ ，它不超過所有 $S_2^j$ 核心部分與其對應的分支部分面積之和，再加上所有 $S_1^j$ 分支部分面積之和。因此 $A_2leq (alpha^4+2alpha^2(1-alpha)^2+2(1-alpha)^2)|T|$ 。如此下去，我們得到 $A_kleq igg{alpha^{2k}+sum_{n=0}^{k-1}2alpha^{2n}(1-alpha)^2igg}|T|leq (alpha^{2k}+2(1-alpha))|T|$ ，即所欲證。

現在我們取 $alpha$ 充分接近1，然後取k充分大，即可使 $S_k^0$ 的面積任意小。接下來我們證明，對位於T的頂角及其對頂角內的任一方向， $S_k^0$ 均含有該方向上長為1的線段。這實際上是顯然的；注意 $S_k^0$ 等於 $T_0^j(0leq jleq 2^k-1)$ 這些小三角形的適當平移的並。因為對所說的任一方向，存在該方向上的一條線段完全位於某個 $T_0^j$ 中(只需取從頂角頂點出發，沿該方向的線段)，因此也存在該方向上的一條線段完全位於 $S_k^0$ 中。

最後我們取 $S_k^0$ 的三個適當的旋轉的並集，就可以得到面積任意小的Kakeya集。

至此問題就完全解決了。然而當時並沒有人意識到，這個集合對調和分析的命運也有很大的關係。當然那就是另外一個故事了。

參考文獻：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

[2] http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lerdos/Stud/furtner.pdf

希爾伯特第三問題：給定兩個體積相等的多面體，是否存在一種方法把其中一個切成有限的幾部分，再重新組合，變成另一個。

反例：相同體積的立方體和正四面體。

後續：希爾伯特的學生Max Dehn定義了Dehn invariant。一個多面體通過有限次切割重組變成另一個，那他們的Dehn invariant相等。而立方體的Dehn invariant為0，正四面體不為0。

再後續：60年代Sydler證明了相等的Dehn invariant為充要條件。

再再後續，上述體積為歐式幾何。雙曲情形如何仍在發展中。

低維拓撲里比較經典的：

問題：如果一個三維流形跟三維球有相同的同調群，該三維流形是否為三維球。

反例：Poincare Homology Sphere。這是龐加萊自己發現的反例。當然還有其它

後續：最著名的是龐加萊猜想，用基本群取代同調群。

問題：一個二維球面拓撲嵌入到三維球面中，是否把三維球面分為兩個三維球體。此問題為約當定理的三維推廣。

反例：Alexander Horned Sphere.

後續：需要條件locally flat，即Schonflies定理。如果要求光滑，四維情形仍未解決，與四維光滑情形的龐加萊猜想緊密相關。

問題：Alexander Polynomial是否區分Trivial knot.

反例：Kinoshita-Tarasaka knot.

後續：眾多經典紐結不變數無法區分該紐結與其Conway mutation。近年新發展的Knot Floer homology成功區分。

想到再補充。

卓里奇《數學分析》第一卷第四章連續函數的習題里有這麼一題：

證明：若從閉區間到自身的連續映射 $f$ 和 $g$ 是可交換的，即 $fcirc g=gcirc f$ ,則它們有共同的不動點.

後來被證明是個錯題，反例構造比較複雜，見：http://www.ams.org/journals/tran/1969-137-00/S0002-9947-1969-0236331-5/S0002-9947-1969-0236331-5.pdf

講一個最近的例子。這個反例是用來推翻Hirsch猜想（Hirsch conjecture）的，這個猜想的表述非常簡單，M. Hirsch在1957年猜測有n個面的d維多面體（polytope）最大的diameter不會超過n-d，即任意兩個頂點可以用不超過n-d條邊（edge）形成一條path連接。

1963年，J. Dantzig在一篇關於線性規劃的monograph里把這個猜測公開了，事實上，這個猜想和求解線性規劃的經典演算法單純形法（simplex method）的演算法複雜度非常相關。

同時，這個問題作為一個純粹的組合數學問題，因為其簡潔性和優美性也一直吸引著組合數學家們的關注。然而，半個世紀以來並沒有人能給出肯定或者否定的答案。直到2010年，一位西班牙數學家Francisco Santo獨立給出了一個反例。他的結果發表在Pages 383-412 from Volume 176 (2012), Issue 1, Annals of Mathematics.

他的主要結果是兩個，1. 構造了一個43維86面的多面體其diameter是44（&>43）. 2.通過對第一個反例進行一系列products和gluing的技巧構造了在固定維度d下的一系列diamter是(1+e)n的多面體（e是一個正數），便得到了無限多的反例。

文章名字就叫：A counterexample to the Hirsch conjecture.

Arxiv鏈接：http://arxiv.org/pdf/1006.2814v3.pdf

這個結果讓Santos（獨立獲獎）得到了2015年的Fulkerson Prize（http://www.ams.org/notices/201510/rnoti-p1212.pdf），這個獎三年一頒，是離散數學界的最高成就（Fulkerson Prize），比如第一屆79年的獲獎者是弄出一堆NPC定理的Karp，證明四色定理的Appel和Haken，還有將max-flow min-cut定理拓展到matroid上的Seymour。

那麼這個paper最核心的部分就是構造出那第一個反例。Santos在做這個反例的時候用了一個reduction如下：即這個d-step conjecture和Hirsch conjecture是等價的。

注意spindle的定義是一類特殊的polytope，即必須存在兩個不同的頂點這個使得多面體的所有面都包含恰好一個。如下圖，u和v就是滿足條件的兩個頂點。

然後Santos輕鬆愉快地找到了d-step conjecture的一個反例，就輕鬆愉快地證明完成了對Hirsh conjecture的反例證明。

那個五維的spindle可以用如下矩陣定義。

最後補充一點，後來Santos又和幾個人找到了一個維數更低的反例（d=20,n=40），不過思路是類似的，不重要了。

以上。

Dantzig那本書的reference： G. B. Dantzig, Linear programming and extensions, Princeton University
Press, 1963. Reprinted in the series Princeton Landmarks in Mathematics,
Princeton University Press, 1998.

搬運工

小學：一筆寫不出田字。

初中：根號2不是有理數。

高中：一個面積有限的圖形，其周長可以為無窮大。

大一：存在一個函數，處處連續但無處可導。

大二：存在一個連續函數，處處可導但無處單調。

大三：存在一個絕對可積函數，其傅里葉級數處處發散。

大四：存在無窮多個x，使得n(x)—Li(x)正負變號。

研一：米爾諾七維怪球。

研二：R^4存在怪異微分結構。

研三：谷山-志村猜想的反例Frey曲線是不存在的。

～～～～～～～～～～～～～～～補充～～～～～～～～～～～～～～～～～

詳細說明工作留給專業人士吧，我就是一數學搬運工。下面說說選材來由：

小學那個是一筆畫問題，簡約卻不簡單。

初中那個根號2問題很經典，但很多人不能脫口而出其證明。就像不會證明勾股定理一樣。

高中那個是分形，估計不少高中生都算過雪花曲線的面積極限和周長。

大學那個反例見《數學分析新講》第三冊。第一個反例看其他帖子有人提及了。此外，注意到雪花曲線是沒有切線的，這也是大一的反例。

大二大三那兩個例子都不簡單，見《實分析中的反例》這本書，不過書中舉的大三例子是幾乎處處。

大二反例緣由：實變函數中有一個結論，單調函數幾乎處處可導，所以大一中的反例必然是無處單調函數（比如雪花曲線）。根據逆向思維，可以問：一個無處單調的連續函數是否必然無處可導？直覺上似乎如此，然非也。

大四中的例子是素數定理中那些函數，素數定理證明是大三難度，放到大四是因為對差值估計可以推出黎曼假設（大新聞）。

研一和研二是數學史上非常有名的反例，可惜這裡地方太小了，寫不下。

研三中的Frey曲線實際上不存在，故FLT真。

註：研一見蘇競存的《流形的拓撲學》，研二見《代數拓撲與微分拓撲簡史》。研三見我的科普文章。

--------------------------------------------20160809（大圖慎入）-----------------------------------------------------------

科普下大三那個反例吧，下面是柯爾莫哥洛夫在大三時候構造的反例：存在一個可積函數，對應的Fourier級數幾乎處處無界發散。具體細節見《實分析中的反例》

下文是柯爾莫哥洛夫大三時發表的

下面是柯爾莫哥洛夫後來證明的更強反例，把上例中的幾乎處處條件加強為處處，出自柯爾莫哥洛夫論文選第一卷。

後來人們證明了當p&>1時， $L^p[0,2pi]$ 中的Fourier級數幾乎處處收斂，這可是堪比土地獎的工作。

不存在平穩均衡的隨機博弈。什麼叫隨機博弈呢？以古諾博弈為例：同樣是兩寡頭競爭，但現在博弈要反覆進行很多輪。成本不再是固定的——無論是廠商上一輪的策略，還是隨機衝擊，都可能影響到下一輪博弈中廠商的成本。這時，如果存在一個均衡，其中每一期廠商的策略只依賴這一期廠商的成本，而不依賴之前的歷史，這個均衡就是平穩均衡。

一些特殊情形的證明。其中Sobel對一般情形的證明後來被發現是錯誤的。

平穩均衡是好東西，因為結構簡單——策略空間稍微複雜一點，考察博弈的整個歷史可能就非常難。不少經濟學家認為隨機博弈都存在平穩均衡。一些特殊情況在上世紀70年代已被證明，但一般情形始終無法攻克。直到2013年，Yehuda Levy給出反例：存在這樣的隨機博弈，即使滿足很好的性質——策略空間緊緻、收益函數連續，等等，也不存在平穩均衡。不僅平穩均衡不存在，稍微弱一些的 $varepsilon$ 均衡也不存在。換句話說，這個反例頗為穩健。反例構造請見Levy原文。

如欲進一步了解，可參考：Levy, Yehuda. "Discounted stochastic games with no stationary Nash equilibrium: two examples." Econometrica 81.5 (2013): 1973-2007.

Levy, Yehuda John, and Andrew McLennan. "Corrigendum to 「Discounted stochastic games with no stationary Nash equilibrium: two examples」." Econometrica 83.3 (2015): 1237-1252.

這個函數非常奇怪，全數域連續、可導、甚至是光滑。

但是，但是在零點處泰勒展開，結果是：

f(x)=0+0x+0x^2+0x^3+…

簡而言之就是不能泰勒展開，用於說明：

全數域有定義且不發散的光滑函數不一定可以泰勒展開。（即泰勒展開半徑可以為0）

Cantor集 -- 一個不可數但是Lebesgue測度為零的實數集合。學過一點概率論的人都知道，所有可數集的Lebesgue測度都為零。那麼，所有不可數實數集合是否測度都不為零呢？

把 $[0,1]$ 區間的前三分之一和後三分之一挑出來，得到兩個區間 $[0,1/3], [2/3,1]$ .

接下來，把這兩個區間重複上面的操作，得到四個區間 $[0,1/9], [2/9, 3/9], [6/9,7/9], [8/9, 1]$

對這四個區間重複上面操作，得到八個區間 $[0,1/27], [2/27, 3/27],[6/27, 7/27], [8/27, 9/27], [18/27, 19/27], [20/27, 21/27] ,[24/27, 25/27], [26/27, 1]$

....

重複上面的過程，記第 $n$ 步得到的區間的並為 $A_n$ .可以看到這列集合單調遞降： $A_1 supseteq A_2 supseteq ...$ , 且 ${A_n}$ 收斂到它們的交集 $A = cap_{n=1}^{infty} A_n$ .

這個集合 $A$ 非空，且測度為零： $m(A_n) = (2/3)^n Rightarrow m(A) = m (lim_{n o infty} A_n) = lim_{n o infty} m(A_n) = 0$

但 $A$ 是不可數集，因為它和 $[0,1]$ 等勢。實際上 $A = left{ sum_{i=1}^{infty} frac{b_i}{3^i}, b_i in {0, 2} ight}$ ,即 $[0,1]$ 中所有三進位表示中所有位都是0或者2的數。為什麼？考慮這些集合的三進位表示：

$A_1 = [0,1/3] cup [2/3,1] = {sum_{i=1}^{infty} frac{b_i}{3^i}: b_1 in {0,2}, b_i in {0,1,2}, i geq 2 }$

$A_2 = [0,1/9] cup [2/9, 3/9] cup [6/9,7/9] cup [8/9, 1] = { sum_{i=1}^{infty} frac{b_i}{3^i}, b_1, b_2 in {0,2}, b_i in {0,1,2}, i geq 3 }$

....

這個集合的高維推廣有時候也叫做「Cantor Dust」。類似的東西還有Menger Sponge等。

數學分析中的問題和反例 (豆瓣)

實分析中的反例 (豆瓣)

泛函分析中的反例 (豆瓣)

處處連續而處處不可導的函數。

一個特別重要的例子是布朗運動。

facebook賬號：

Mathematical theorems you had no idea existed, cause they』re false

為你打開新世界的大門

Conway base 13 function

大神John Horton Conway 創造的函數，滿足介值定理，但是無處連續。事實上，這個函數在任何區間 $(a,b)$ 上的值域都是 $R$ 。

((C+Q)∩V)+((C+Q)∩V)=V兩個相同的零測集的和不可測

大一時候的， $lim_{y ightarrow A }g(y)=b,lim_{x ightarrow a}f(x)=A$ 不能推出 $lim_{x ightarrow a}g(f(x))=b$ 。

首先必須是Weierstrass函數： $sum^infty_{n=0} a^ncos(b^npi x)$ ，式中0&1+frac{3}{2}pi" eeimg="1">

還有Peano曲線，一種能夠填滿正方形的曲線。

另外在《實分析中的反例》裡面出現了這樣一個例子，兩個黎曼可積的函數的複合未必黎曼可積： $R(x)=left{ egin{aligned} frac{1}{q} ,x=frac{p}{q},p,q is co-prime\ 0,xinmathbb{R}/mathbb{Q} end{aligned} ight.$ ，定義域是[0,1]是黎曼函數，就是在無理點連續在有理點間斷的函數， $f(x)=left{ egin{aligned} 0 if x=0\ 1 if x>0<br /> end{aligned}</p> <p>ight.$ ，定義域是非負實數。 $R(x)$ 因為只有可數個間斷點，所以它黎曼可積， $f(x)$ 只有1個間斷點，自然也黎曼可積。但是 $f(R(x))$ 會變成這樣的函數：定義域是[0,1]，在有理點是1，在無理點是0，顯然這個是一個狄利克雷函數，是黎曼不可積的。當時看完這個例子後，期中考試考了一個變種： $f(x)=[x]$ 是取整函數, $g(x)$ 黎曼可積，問 $f(g(x))$ 是否黎曼可積，給出證明或反例。這道題只要設 $g(x)=-R(x)$ 即可， $R(x)$ 就是剛才那個黎曼函數。這樣他們的複合就是狄利克雷函數與-1的乘積，自然黎曼不可積。

舉一個對於理解一維實數空間上的函數連續及導數十分有幫助的例子

不難驗證這個函數在x=0處連續且可導，而除此之外的每一個點都是不連續也不可導

這個例子可以用來作為反例說明「一點連續則有一個小區間段都連續」或者「一個點可導則存在一個小區間段可導」這兩種觀點是錯誤的

Theorems and Counterexamples in Mathematics

魏爾斯特拉斯掀開了自己的棺材板，表示自己還能再舉兩個反例滑稽

集合論中的一個悖論:一個理髮師說他要給全世界不給自己理髮的人理髮。那麼他的頭髮誰理？要是理髮師自己理，那麼他屬於一種給自己理髮的人，按他說的他不給這類人理髮，矛盾了。要是不給自己理髮，那麼他是屬於那種不給自己理髮的人。按他說的，他應當給這類人理髮，矛盾了。導致矛盾的原因是集合在數學中是沒有定義的。為了把悖論去除，現代數學用幾個公理來約束集合

都說分析的反例，我講一個有趣但是沒什麼鬼用的代數反例吧:

建立在域Q上的向量空間R是無窮維向量空間

這個反例充分說明了向量空間的向量和方向沒啥關係了。

Lewy"s counterexample

Whitney"s umbrella