同倫與同胚的區別是什麼？

01-02

兩者好像都是說一個東西可以經過連續變化成為另一個東西，求一個通俗易懂的解釋，最好附帶例子

前面已經有很多解釋了，我來補充一些（特別特別）通俗易懂的例子/習題吧。

「中日」兩個字同倫等價么？同胚么？（以下同倫等價簡寫為同倫。）

——如果你看懂了前面高票答案，你就應該知道，它們不同胚，但是同倫。

如果你只是想直觀地知道同倫、同胚、微分同胚是什麼，那麼：

「日、白、百、中、月」中，哪些同倫，哪些同胚？

「日、白、百、中、月」同倫，但是任意兩個不同胚（尤其是「白、百」「月、中」這兩對，請想明白為什麼。）

想明白了？

好，再來：

「目，自，皿，且，四，耳」中，哪些同倫，哪些同胚，哪些微分同胚？其中「四」看做中間兩筆的端點都落在「口」字上。

它們都同倫。

其中只有「目」和「四」同胚，但它們不微分同胚。（「且」和「皿」為什麼不同胚，請想明白。）

想明白啦？

好的，請寫出兩個微分同胚的漢字的例子。

參考答案：白，巴。（如果白的撇的尾端落在「日」的左上角的話。）

——其實我覺得要是想把這個問題描述清楚，真的拿字母玩一點都不好玩啊，玩漢字多好，不平凡的例子一抓一大把。

哦，對了，「己，已，巳」的話前兩個同倫不同胚，後面的和它們不同倫。

——你看，例子真的是一抓一大把。

（其實這個答案的靈感來源於去年和別人交談時，被問及中日關係，因為確實不知道怎麼答合適，臨場反應了一句：「同倫不同胚呀。」）

區別是同胚不是連續變化（在「白馬非馬」的意義下），而是重命名；同倫才是連續變化，或更精確地說是形變。更玄學和更抽象一點地說，前者是範疇論的思想，後者是高階範疇論的思想。

問題敘述和其它討論之中多少體現了一些術語的混淆，但不影響問題的核心，即對「同倫」的本質的探討。下面我將先給出對空間之間的同胚和同倫等價的初等直觀的對比，然後嘗試稍稍深入到更為meta的高度討論我自己對同倫的理解。

先說同胚。我個人將同胚映射解讀為「重命名規則」，即對於同胚映射 $f:X o Y$ ，如果將 $X$ 中所有元素 $x$ 改名為 $f(x)$ 、所有子集 $E$ 改名為 ${ f(x) | x in E}$ ，那麼所得到的新空間恰好是 $Y$ ，即其空集的搜集與 $Y$ 的完全一致；反之用 $f^{-1}$ 重命名 $Y$ 中元素亦然。實際上在任意範疇中（更安全的說法是具體範疇中）的同構都有類似解讀，區別往往只是最後一步「恰好是」一詞的含義。所以我們說同胚是拓撲空間範疇中的同構。

將同胚理解成「連續變化」源於我們幾何直覺的高度發達以及相比之下拓撲直覺的嚴重缺乏。例如在理解「正方形」和「圓形」同胚時，我們也許習慣於將它們視作橡皮泥，「將正方形的尖角搓圓、直邊拉彎」；在理解「開區間」與「實數軸」同胚時，我們也許習慣將雙向的同胚映射分別視為拉伸和收縮；在理解「咖啡杯」和「甜甜圈」同胚時，我們也許立刻想到例如維基百科上那幅經典的動圖。然而在拓撲意義下，這類變形是無意義的，因為正方形和圓形、開區間與實數軸、咖啡杯和甜甜圈兩兩之間根本是同一個東西，畢竟它們的拓撲描述完全一致；這才是關於拓撲學家那句爛大街的笑話的真意。

再強調一次，同胚是指無需形變就已經在本質上相同。

再說同倫等價。我最喜歡的對同倫等價的解讀是Hatcher, Corollary 0.21：兩空間 $X$ 和 $Y$ 同倫等價當且僅當存在空間 $Z$ 同時包含、並可以分別形變收縮到 $X$ 和 $Y$ 。於是直覺上，我們可以想像存在一個拓撲「時空」，其一端是 $X$ 而另一端是 $Y$ ，而兩個形變收縮則分別可以看作 $X$ 和 $Y$ 之間的形變。更具體地說，假設 $r_Y:Z imes I o Z$ 是從 $Z$ 到 $Y$ 的形變收縮，那麼 $I$ 根本就是時間軸，而對於任何時間點 $tin I$ 空間 $r_Y(t,X)$ 根本就是把 $X$ 形變到 $Y$ (的某同倫子空間)的過程中掃過的軌跡在這個時間點的切片；同理 $Z$ 到 $X$ 的另一形變收縮 $r_X$ 則給出了從 $Y$ 到 $X$ 形變過程。（空間 $Z$ 的其中一個具體實現方案如下：對映射 $f:X o Y$ 考慮映射柱 $M_f = X imes I cup_{f imes 0} Y$ ，它顯然形變收縮到 $Y$ ；而 $f$ 是同倫等價當且僅當 $M_f$ 同時形變收縮到 $X imes1cong X$ 。）

許多同倫等價的例子都可以用如上方式具象化。1) 最經典的同倫不同胚的例子是字母Ｘ和Ｙ：由於兩者都可縮，最粗暴的做法就是固定一個點、考慮這個點到Ｘ和Ｙ的所有連線並取顯然的拓撲得到時空 $Z$ 。這樣所有的「時間切片」幾乎都是大小不一的Ｘ或Ｙ，唯一的例外是最初加入的點，於是我們的幾何解讀就是「把Ｘ逐漸縮小到一個點、然後按照Ｙ的形狀重新生長」（同理，所有可縮空間都同倫）。2) 另一經典例子是圓柱側面和莫比烏斯帶：它們都可以形變收縮到中軸圓，於是我們可以類比地構造時空 $Z$ ，其時間切片均是大小不一的圓柱體側面或莫比烏斯帶，唯一的例外是一個圓。這個「前半段」記錄了圓柱體的收縮，「後半段」則倒帶了莫比烏斯帶的收縮（同理，同空間的所有不同向量叢都同倫）。3) 同胚的兩空間同倫，嚴格來說時空 $Z$ 需取為映射柱 $M_f$ ，或粗暴地直接視為 $X imes I$ ；所以說同胚也是連續變化沒有錯，只是形變並不是關鍵。

然後拓展開說說映射之間的同倫。與空間的同倫等價相比，形變的過程在映射的同倫中體現更為清晰：由抽象廢話可以得到 $operatorname{Top}(X imes I,Y) cong operatorname{Top}(I,operatorname{Top}(X,Y))$ ，其中 $operatorname{Top}(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 之間的連續映射的搜集組成的空間、取緊開拓撲。也就是說映射間的同倫就是連通兩個映射的路徑，路徑上的每個點就是形變過程中的瞬間。（這裡隱含了一個技術細節，即對於未改良的、通常意義下的Top範疇此同構(同胚)不總是成立。其中一個較常見的改良取由緊生成豪斯多夫空間組成的完全子範疇；它包含了大部分常見的良好的拓撲空間，因而對於我們平常感興趣的空間都可以hand wave出這個同胚）。將同倫組織成範疇的一般做法是聲稱 $X$ 和 $Y$ 之間的態射為連續映射的同倫類，即取 $operatorname{hTop}(X,Y) = pi_0 operatorname{Top}(X,Y)$ ，以得到拓撲空間的同倫範疇hTop。這樣同倫等價就是拓撲空間的同倫範疇中的同構。於是若要延續那個經典笑話，我會說「同倫論家是拓撲學家當中會用(閉)克萊因瓶來裝咖啡的人」(Exercise)。

最後妄談一下同倫的核心思想；說到這裡已經有點玄學意味，也超出我的知識儲備了，僅供各位看官開開腦洞，也權當拋磚引玉。注意到在以上的新解讀中，同倫可以視為某種意義下的同構了：重新組織一次信息，對於空間 $operatorname{Top}(X,Y)$ 我們關心的對象是空間中的點(映射)，而這些點之間的態射我們可以自然地取為連接兩點的路徑，它們剛好就是映射的同倫。直覺上，由於路徑都是可逆的，這些態射應該全是同構。然而細想之下會發現這個構造的致命傷，跟構造基本群時的困難如出一轍：結合律並不嚴格成立，且逆路徑也並不嚴格是原路徑的逆(元，或態射)，兩者都只在同倫意義下成立。但是我們可以模仿基本群的構造來解決這個問題：我們加入路徑的同倫作為「態射之間的態射」，並且要求結合律只在高一階的同構——而非等同——的意義下成立。可以想像，要對高階態射定義複合，不免會遇到類似的高階結合律的困難，但我們可以繼續加入更高一階的態射，並要求高階態射只在下一級的同構的意義下滿足高階結合律。如此類推，我們就得到了一個 $infty$ -範疇，並且事實上它與我們的直覺相符，每一級的每一個態射都是可逆的。類比於基本群和基本群胚，我們稱這個 $infty$ -範疇為 $operatorname{Top}(X,Y)$ 的基本 $infty$ -群胚。（有趣的是，根據Lurie對 $(infty,1)$ -範疇的(弱)Kan復形的模型，空間 $X$ 的 $infty$ -群胚這個看似晦澀艱深的代數對象，不過是傳統意義下的 $X$ 的奇異集合罷了。）將這個思路進行推廣，就進入了高階範疇論的世界了。

藉此重新回歸到（空間之間的）同胚與同倫等價的比較：它們都是等價關係，而且聲稱空間 $X$ 和 $Y$ 等價都需要雙向映射 $f:X o Y$ 和 $g:Y o X$ ；區別在於同胚要求 $gf$ 和 $fg$ 恰好等於恆等映射，而同倫等價只要求它們各自同構(同倫)於恆等映射。回憶用對象間的「同構」代替「等於」，如將勢相等的集合視為相同、維數相同的向量空間視為相同、微分同胚的流形視為相同、雙全純的黎曼曲面視為相同，這些可以算作範疇論的思想。那麼同倫的概念的引入，即要求除了對象之外，態射、態射間的態射……等等一切層級的態射之間的「等同」都用(高階)同構代替，則可以算作高階範疇論的思想了。

同倫可以"加粗"，比如一條細線R和粗線R x D^2是同倫等價的，但並不同胚

同倫可以無視(比較好的)邊界. 比如(a,b), (a,b], [a,b]兩兩不同胚，但都是同倫等價的。

同倫是指映射,同胚是指空間.