有沒有處處局部無正反面的曲面？

01-02

麥比烏斯帶雖然無正反面之分，不過每一點的局部都是可以分正反的。
那麼能否構造出處處局部不可分正反面的曲面？或證明其不存在？

用數學語言描述，就是對每個點，任給 $delta$ 鄰域，該點的法向量可以沿著曲面在這個 $delta$ 鄰域內移動，變成與原先相反的方向。
曲面是否嵌入 $R^3$ 對此有無影響？

一個直觀的想法，先在一張普通的曲面上取點集 $A_delta$ ,使得曲面上每點的 $delta$ 鄰域內都有 $A_delta$ 中的點。

然後以 $A_delta$ 中的點為圓心，剜掉 $delta/2$ 鄰域內的曲面，用麥比烏斯帶粘上。
不過這個方法只能對付一個固定的 $delta$ ，而在 $delta$ 趨於0似乎不好用，限制在 $R^3$ 內好像也無法完成剜補。

按定義，曲面局部同胚於實平面，所以局部可定向。

可定向本身就是一個全局概念吧，說局部可定向沒有意義。曲面本身就是一個流形(或帶邊流形)，所以肯定局部同胚於歐式空間阿

obviously your definition of orientability already implies the existence of orientable sub-neighborhood