為什麼通常不考慮剪力引起的梁在軸線方向的變形？

01-02

按剪應力互等定理，微元的豎直和水平方向都有剪應力，而且剪應力變形是斜向的菱形變形。為何計算剪力引起的變形的時候，通常只考慮豎直方向的變形，而不考慮水平方向的變形呢？

我覺得這是個特別好的問題，我剛看到這個問題一下子就懵住了，想不出所以然來。

我先問你個問題：你覺得你學的力學是絕對真理嗎？

如果你覺得是，那我再給你一次機會。如果你覺得不是，那你覺得力學是什麼？是不是只是一個模型而已？

我們拿這個模型計算一下，預估一個理論的結果；我們再在實驗室里做大量的實驗，或者量測大量的真實工程數據。如果模型給出的理論解和實驗給出的測量值差不多，我們就認為這個模型是有效的。

簡單說，我們通常討論的這些材料力學中關於剪力的部分，其實不是真理，而是「歐拉-伯努利關於梁的理論 (Euler–Bernoulli beam theory)」或者「鐵木辛柯關於梁的理論」。雖然它們不是真理，但是它們在通常情況下的結果能滿足一般工程的要求。

既然不是真理，只是一個假想模型，那它必然就有簡化、近似的部分。即使是最簡單的梁受力分析，截面的變形其實也經過了很多簡化：

（圖片來源：Linear and Nonlinear Structural Mechanics, Ali H. Nayfeh, P. Frank Pai）

你在材料力學課上考慮過這些變形嗎？為什麼不考慮呢？你考慮過扭矩引起的梁軸線方向的變形嗎？你考慮過軸力和泊松比造成的梁截面擴展或者收縮嗎？同樣，你考慮過剪力造成的軸線方向的變形嗎？

原因很簡單，因為通常情況下，它們的影響很小，基本可以忽略不計。在通常的工程應用範圍內，忽略這些變形不會造成任何明顯的區別。

（圖片來源：Mechanics of Materials, Seventh Edition, James M. Gere and Barry J. Goodno）

這張示意圖更加明顯，剪力的確會改變軸線方向的應變和變形。但是同時，書里說的也很明白，詳細的分析表明，剪力引起的軸線方向的應變，幾乎不會對梁的軸嚮應變產生影響，完全可以忽略不計。

當然，如果您就是想要考慮這種影響，那也完全可以。雖然對於一般的工程應用來說，這個影響完全可以忽略，但是對於一些特殊的工程應用，比如非常細長的梁、FRP 這種非各向同性的材料等，這個問題還是有可能需要考慮的。

如果您感興趣，完全可以去讀這方面的論文，比如下面我列的這些：

P.Frank Pai, Mark J. Schulz, Shear correction factors and an energy-consistent beam theory, International Journal of Solids and Structures, Volume 36, Issue 10, 1 April 1999, Pages 1523-1540, ISSN 0020-7683, http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(98)00050-X.
Jeppe J?nsson, Determination of shear stresses, warping functions and section properties of thin-walled beams using finite elements, Computers Structures, Volume 68, Issue 4, August 1998, Pages 393-410, ISSN 0045-7949, http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7949(98)00070-4.
M.A. Benatta, I. Mechab, A. Tounsi, E.A. Adda Bedia, Static analysis of functionally graded short beams including warping and shear deformation effects, Computational Materials Science, Volume 44, Issue 2, December 2008, Pages 765-773, ISSN 0927-0256, http://dx.doi.org/10.1016/j.commatsci.2008.05.020.

不管你們怎麼樣，反正我是一篇都沒讀懂…………

本問題key words：剪切，軸線變形。

首先，建立如圖所示右手坐標系：

（註：x軸為長度方向，y軸為寬度方向，z軸為厚度方向。）

下面，進入正題。

一、楔子

先理清梁理論這一概念。

引用我在有沒有系統的介紹梁理論的文章或者書籍？中的回答

個人認為，現在梁理論主要分為：
一，基於截面變形假設的方法。包括：
1.經典梁（euler-bernoulli）理論：平斷面三大假設都懂不贅述；
2.一階剪切（timoshenko）理論：考慮截面繞樑中面轉動來模擬剪切變形，需要cowper提出的剪切係數修正應變能；
3.高階梁理論：考慮用多項式函數來模擬截面變形後的形狀；
4.三角函數梁理論：考慮用三角函數來模擬截面的變形後形狀；
5.等；

二、基於彈性力學的方法。包括：
1.平面應力問題的應力求解法（Airy應力函數）：該解法從彈性力學的二維平面問題出發，考慮梁為二維平面問題，從應力求解，實質就是求解一個雙調和函數方程，需要根據外載荷構造Airy應力函數。
2.精化理論或分解定理：該解法從彈性力學三維問題出發，從位移求解，並利用Boussinesq、Papkovich-Neuber等通解，再運用Lur"e運算元對通解進行解耦再繼續求解，最後是變成根據邊界條件求解一個四階方程（分解定理裡面對應為內應力狀態）和一個超越方程（分解定理裡面對應為P-N應力狀態）。

由於基於彈性力學的方法是較為精確的解法，不存在忽不忽略剪切影響這一說，所以下面僅討論「基於截面變形假設的方法」的梁理論。

二、「基於截面變形假設的方法」的梁理論精髓

實質上，梁的理論就是把彈性理論的三維問題還原為一維問題。由於厚度的尺寸遠小於長度的尺寸，可以近似地認為位移、應變和應力的分量是基於厚度的尺寸分布的。由於近似方法的不同，近似程度的差異，產生了各種梁的理論。

——摘自：高陽，王敏中.梁理論的發展歷史及其方法論[C].蘭州：第三屆全國力學史與方法論學術研討會，2007.

我覺得這段話說的很好，梁理論的本質就是一維問題。把梁簡化為一維問題就是梁理論的精髓。下面具體說明：在同一z（厚度）處，梁內各點位移是由梁中面的撓度和轉角決定的，而梁中面撓度 $w=wleft( x ight)$ 和梁中面轉角 $varphi =varphi left( x ight)$ 都是關於x的一元函數；或者換一種理解方式，在同一x（長度）處，梁截面上各點的位移是由梁中面撓度和梁中面轉角為參數的關於z的函數。也就是說，梁理論的精髓是把本是關於x、z的梁內各點的位移函數進行了「解耦」，梁中面的兩個位移（撓度和轉角）是各截面位移函數的參數。由於假定的截面處的位移函數的不同，於是產生了各種梁理論。

三、「基於截面變形假設的方法」下的各種梁理論

1、經典梁理論。假設截面在xoz上的投影在變形後為一條直線，並且該直線垂直於梁中面。

圖中的黑色粗實線就是截面在xoz上的投影（一條直線）。右邊是x、z方向上的位移函數，根據經典梁理論的假設，由幾何關係，梁中面撓度 $w$ 和梁中面轉角 $varphi$ 是有微分關係的。

2、一階剪切理論。假設截面在xoz上的投影在變形後為一條直線（一次函數），但該直線不垂直於梁中面。

圖中的黑色粗實線就是截面在xoz上的投影（一條一次函數）。右邊是x、z方向上的位移函數。

3、高階剪切理論。假設截面在xoz上的投影在變形後為一條多次函數曲線。

以reddy三階理論為例：

圖中的黑色粗實線就是截面在xoz上的投影（一條三次函數）。右邊是x、z方向上的位移函數。

4、三角函數剪切梁理論。三角函數法剪切變形理論就是在位移表達式中含有關於z的sin，cos 或sinh，cosh 函數。

圖中的黑色粗實線就是截面在xoz上的投影（含三角函數）。右邊是x、z方向上的位移函數。

四、剪切對軸向位移的影響

其實在經典梁理論中，忽略了兩個影響：一個是橫向剪力對z方向上的位移w（x）的影響，一個是橫向正應變對z方向上的位移w（x）的影響，而其他梁理論都或多或少對剪切的影響進行了修正。

實際求解時，梁中面的轉角在是可以用梁中面的撓度表示的，所以問題最終變成了求解關於梁中面撓度w（x）的各種高階微分方程（控制方程）。

下面，直接上靜力時的控制方程吧：

（考慮為矩形直梁，剪切面積=截面積，E為楊氏模量，G為剪切模量，I為對截面y軸的慣性矩，A為截面面積，q（x）為外載荷集度，k是剪切修正係數

）

經典理論：

一階理論：

三階理論：

除了w對x的四次求導這一項，其他都是剪切影響項，自己求解吧。

求解完之後代入到軸向位移u（x）中，便會發現h/L對其影響。

上面很多回答都是說明了結果，故結論不再贅述。

才疏學淺，歡迎交流指正。

以上。

我們常用的只考慮彎曲變形而不考慮剪切變形的梁模型是歐拉-伯努利梁模型。

而考慮剪切變形的是鐵木辛柯梁模型，該模型是20世紀早期由美籍俄裔科學家與工程師斯蒂芬·鐵木辛柯提出並發展的力學模型。該模型考慮了剪應力和轉動慣性，更適於描述短梁、層合梁以及波長接近厚度的高頻激勵時梁的表現。

如果梁材料的剪切模量接近無窮，即此時梁為剪切剛體，並且忽略轉動慣性，則鐵木辛柯梁即趨同於歐拉-伯努利梁。

圖1 鐵木辛柯梁（藍）的變形與歐拉-伯努利梁（紅）的對比

圖2 鐵木辛柯梁的變形

可見，考慮剪切變形後， $heta _{x} =varphi (x)$ 不等於 $domega /dx$ 。

在有限元軟體ABAQUS中常用梁單元B23模擬歐拉-伯努力梁，B21模擬鐵木辛柯梁，下面是兩種梁單元的驗證算例，之後會分析梁的高跨比對剪切撓度的影響，以說明兩種梁單元的適用範圍。

1.B21單元與B23單元的驗證

如圖3所示的懸臂樑，分別按照兩種梁理論計算其自由端撓度。

圖3 某固端懸臂樑

根據歐拉梁理論：

彎曲應變：

再由卡氏定理：

帶入相關數據可得：

在ABAQUS選用B23單元，其計算結果如圖4所示，可見兩者的計算結果是一致的。

圖4 ABAQUS中B23單元計算結果

根據鐵木辛柯梁理論計算：

剪切應變能為：

若取微段dx：

為求總應變能，對全長積分：

（註：A=BD，F=Q）

所以總的撓度為：

帶入相關數據可得：

在ABAQUS選用B21單元，其計算結果如圖5所示，可見兩者的計算結果是非常接近的。

圖5 ABAQUS中B21單元計算結果

2.高跨比對梁整體撓度的影響

為了分析高跨比對梁整體撓度的影響，取剪切撓度與彎曲撓度的比值，並作出如圖6所示的關係圖：

從圖中可以看出，對於一般的細長梁（高跨比&<1/10），剪切撓度相對於彎曲撓度是非常微小的，以致可以忽略不計其對總撓度的影響；但對於高跨比較大的深梁則必須考慮剪切撓度，當高跨比超過一個的範圍後則無法再將其視為梁來計算。

圖6 高跨比剪彎撓度之比關係曲線

模擬的時候選擇適當的單元還是很重要的，sap2000中會默認採用歐拉梁單元，abaqus中選擇歐拉梁和鐵木辛柯梁會造成一定的差別，尤其是當單元劃分段數較少時（做過的算例顯式，小型結構模態會相差5%左右）。通常情況下，歐拉梁的計算效率更高，且受單元劃分的影響較小，故建議優先採用。

參考：

維基百科：鐵木辛柯梁單元

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%93%81%E6%9C%A8%E8%BE%9B%E6%9F%AF%E6%A2%81%E7%90%86%E8%AE%BA

Yusd的博客：

http://blog.163.com/zpfzcjndx@126/blog/static/6354568120124236393130/

這個博客的作者是力學大牛，建議大家去博客里看看他做的有限質點法模擬，非常驚艷！

我記得是在伯努利-歐拉梁當中，剪力造成的影響的數量級通常在1%左右，所以可以忽略。但是鐵木辛柯梁就不能忽略了。

樓主已改題目，之前的問題是梁受剪，有水平方向剪力嗎？答案當然是有啊。我就不去推導了，送上樓主一副小圖。

模型是一根簡支梁，受壓力P在中央。剪力彎矩圖如圖左部所示。因為彎矩樑上壓下拉。

為了探索是否梁水平方向也是否有剪力，我們把梁沿中間切開（右上圖）。梁左邊支座彎矩M=0，沒有彎矩導致的壓/拉力，右邊有個彎矩M，截面受拉壓力。

為了進一步探索，我們繼續把這半邊梁從中間劈成上下兩半，你看中間那個截開的水平截面，他就是水平簡力的主場，因為力要平衡啊。左邊支座部門沒有C/T與右邊截面的C/T平衡，那麼誰平衡了C/T牛魔王呢？答案見藍色小人。

跨高比小於2連續梁小於2.5的時候要考慮橫向剪切變形這樣的梁叫深梁deep beam，

參照鐵木辛柯梁，剛剛說錯了，相對歐拉梁少了一個假設條件，就是變形後的梁截面與中性軸垂直假設，所以考慮剪切作用有夾角增加了剪切變形。

既然把問題完全改了，為何不提一個新問題呢？

------------------原答案------------------

梁體中水平方向是有剪力的，鋼混組合結構中的剪力鍵就是用來承受水平方向的剪力。

然而梁的豎向截面並沒有水平剪力，剪力是與截面平行的力。同理水平截面也沒有豎向剪力。

（淺梁）歐拉-拉格朗日梁不用考慮剪切力變形，深梁（鐵木辛柯梁）必須考慮剪切力對變形的影響。材料力學中的梁都是歐拉-拉格朗日梁。

具體分析詳見 @豬小寶的答案。

因為在橫向變形對結構產生破壞之前，豎向變形就已經讓建築倒塌了

借用我木工出身的師傅說的話:「想那麼多幹什麼，那點兒影響還不如工人多用振動棒搗幾下來的大。」覺得雖然有失偏頗可也不無道理。現場施工有時候真的不想那麼多，工地上沒那麼多強迫症一般的嚴謹。

看尺寸和位置的影響啊，梁其實在兩端是要考慮剪力的，以魚腹梁為例，它的兩端做成矩形截面就是考慮了剪力。一般說的不考慮是指截面尺寸遠小於長度，剪力影響相對於彎矩的影響很小，因此忽略了。而如果尺寸改變了，剪力影響大了，彎矩影響小了，就可能要考慮的。

因為材料力學也好建築力學也好，理論知識只是建模的過程，無法百分之百的真實情況，就跟很多情況摩擦忽略不計是一個道理，

從工程的角度來講，對於一般結構，框架梁或者樓面梁的軸向力或者變形可以忽略，因為這一項很小，沒有必要考慮。

但是對於牆下轉換梁，斜柱區的梁等，其軸向力比較大，就必須考慮了。

結力書和材力書上都有。樓主也可以去看看朱慈勉的視頻，龍馭球或朱慈勉的結力書上有一節專門解釋了為什麼剪力可以忽略，從虛功原理開始，分成三個方向依次積分局部變形。樓上大神們都給出詳細解釋，我就不獻醜了。大約算出來的結果好像是剪力變形：彎矩變形=C（l/h）2，一般梁的l/h&>10，兩者差距就出來了，某個意義上算是高階無窮小了。

剪力相對於其他力是非常小的

建議可以做一下有限元分析（anasys),可以比較清楚的看到在外應力（剪力）的作用下，軸嚮應力和應變。

聖維南原理.剪應力互等是微元上的模型.梁是宏觀的

宏觀水平方向上其實也是考慮的,剪力滯後,剪力卡榫,急剎車等等都是關於這個的

說得不對還請指點

水平方向也有沒畫

六個答案都是從剪力的來源角度去分析我想試著從橫向變形提出點自己的認識那就是

你以為伸縮縫是用來幹嘛的啊(ノ=Д=)ノ┻━┻

（如有文不對題請摺疊我吧）

是因為截面問題吧？豎直切開的截面就只有豎直方向的剪力。如果截面按照水平方向切開，是不是就有水平方向的剪應力了。