地圖投影怎麼做到按條件（等角、等面積、等距）投影的？

01-02

恰好最近在研究地圖投影方面問題，嘗試回答，僅供參考。

首先了解下基本概念，地圖投影就是在地球橢球面和投影面之間建立點、線、面的一一對應關係。

放幾張圖，解釋一下地球橢球面的概念。

地球表面有海洋、平原、丘陵、高山等起伏形態，是一個不規則曲面。但即使珠峰高達8844m,馬里亞納海溝深達11022m，和6000km的地球半徑相比也只是算微小的起伏，就整體表面而言，可以認為地球是一個由水面包圍的球體。

遠處觀測的地球

但由於所受自轉的離心力影響，其實整體來看，地球是一個赤道較突出，而兩極較為扁平的橢球體。

素顏照地球

研究地圖和測量的怪大叔為了點位確定和方便建立坐標系，又鼓搗出大地水準面，即靜止海水面向大陸延伸所形成的不規則的封閉曲面。它是重力等位面，物體沿該面運動時，重力不做功（比如水在這個面上是不會流動的）。

地球重力場圖

大地水準面，由它包圍的形體我們就稱之為大地球體，它的形狀很接近於一個由扁率很小的橢圓繞其短軸旋轉而形成的旋轉橢球體。

旋轉橢球體表面是個純數學面，可以用數學公式表達，這個旋轉橢球面就是地球橢球。接下來所說的地圖投影的擬定計算和變形就是以地球橢球面為依據。

在地球橢球面上進行一種圓柱投影

在過去2000多年的地圖投影發展歷程中，人們根據各種地圖的要求設計了數百種地圖投影。地圖投影種類雖然多，但一般是按兩種方法分類：

按投影的內在條件即投影的變形性質進行分類。
按投影的外在條件即投影的構成方法進行分類。

題主所說的等角、等面積、等距投影就是按照地圖投影的變形性質分類。其實這種分類會在地圖上產生很多有趣的現象，後面會一一細說。

按投影變形性質分類

1. 等角投影

在投影面上任何位置兩個方向線的夾角和地球橢球面上相應的方向線夾角相等，也就是元素投影到地球橢球面是沒有角度變形的。

這種類型由於投影后的地圖能不改變原有的角度，所以就極其適合用來作為導航地圖，比如用來編製洋流圖、航海圖和風向圖等。

比如上面的航空圖，早些時候為了導航方便，一個羅盤游全球，就採用等角航線（Rhumb line）,航跡在等角投影地圖上就是一條直線。

但我們知道球面上兩點間最短距離是通過兩點間大圓的劣弧。所以在航海或航空中，運用此特性而走最短距離的航線叫做大圓航線（Great Circle Route）。但在等角投影的地圖上大圓航線看起來反而比等角航線長。

市面上買的世界地圖採用的就是等角投影，確切的說是我國出版的世界地圖採用的是等差分緯線多圓錐投影（也屬於等角投影），可以很好表現我國形狀以及與四鄰的對比關係，但投影的邊緣地區變形較大。

世界地圖

等角投影缺點很明顯，就是面積變形較大。尤其是越靠近兩極，面積就拉伸的越大。

所以我們在地圖上看起來俄羅斯很大，非洲面積看起來很小，其實都是由於投影變形給我們帶來的錯覺。

俄羅斯靠近兩極面積拉伸嚴重

俄羅斯的面積大約為1709.82萬平方公里，非洲的總面積為3022.1532萬平方公里。

利用數據比較俄羅斯和非洲大小

由此可見，現在從地圖上直觀地看到各個國家的面積大小，其實是嚴重失真的。

在這裡介紹給大家一個基於Mercator projection的地圖拼圖遊戲，大家可以從中體會下地圖拉伸的感覺。

mercator puzzle：http://gmaps-samples.googlecode.com/svn/trunk/poly/puzzledrag.html

2.等面積投影

投影面上有限面積的圖形和地球橢球面上的相應的圖形面積相等，即面積變形為零。

由於該類投影沒有面積變形，很方便在圖上進行面積量算和對比，所以常常用來編製對面積精度要求高的社會經濟圖和自然地圖，比如土壤圖、地質圖和行政規劃圖等。

等面積投影地圖

是不是看著怪彆扭的，確實，這個投影圖中各大陸比例基本正確，面積是對的，但是扭曲了地形，水平面上，兩極扭曲，垂直面上，赤道附近產生了扭曲。比如非洲的面積是正確的，但變得特別狹長。也就是這種投影保證面積不變，卻使角度發生很大變化。

3. 任意投影

既不是等角也不是等積的投影都屬於任意投影，任意投影存在著角度、面積和長度變形。在任意投影中有一種很常見的投影叫做等距投影。

等距投影是指在特定方向上投影面上沒有長度變形的投影。

等距投影常常用於對投影變形要求適中或者區域面積較大的地圖，比如科學參考圖、教學地圖和世界地圖等。

聯合國標誌的中心即是突出北極中心地位的等距方位投影世界地圖，它打破傳統認知中「上北下南，左西右東」的方位格局，呈現各大洲圍繞北極的集中狀態。

其實要想在一個平面上反映真實的球型世界幾乎是不可能的，運用任何數學方法進行這種轉換都會產生誤差和變形：一些地方需要拉伸，另一些地方必然相應的需要收縮。

按變形性質分類的投影方法說完了，順便提一下構成方法分類的投影方法吧。

按照投影的構成方法進行分類。可以分為方位投影、圓柱投影、圓錐投影、偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影、多圓錐投影等。

投影構成方法分類

其實現在所用的投影地圖都是結合這兩種分類性質命名。

比如中國疆域遼闊，緯度跨度很大（有50°的緯差），在我國的8種國家基本比例尺地形圖中，除了1:100萬地形圖採用正軸等角割圓錐投影外，其餘都採用這個大名鼎鼎的高斯-克呂格投影。

而高斯-克呂格投影是就一種橫軸等角切橢圓柱投影，它在各個領域的用途很廣，感興趣可以私信交流，在此我就不贅述了。

高斯-克呂格投影

需要說明的是，地圖的編製受很多因素的影響比如各國的歷史、政治、軍事不同會繪製不同適用性地圖。但是，僅在技術方面而言，平面投影地圖總是會發生變形。

若有專業錯誤，還請大家指正。

其實是數學問題，先挖坑，有空來填。

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2017-03-31

今天有空就來填坑了。

看到的答案都沒有很好地回答原問題。

題主要問的是怎樣做到條件投影，而不是問什麼是等角、等積、等距投影。

1、地圖投影為什麼會變形？

要知道變形怎麼來，我們就從什麼是投影講起。

(據維基百科)
A map projection is a systematic transformation of the latitudes and longitudes of locations on the surface of a sphere or an ellipsoid into locations on a plane.
(孫達蒲英蝦《地圖投影》)
所謂地圖投影，簡單地講就是在平面上建立與地球曲面上相對應的經緯網的數學法則。

說白了，投影就是將地球表面的坐標網表示在平面上，那麼這個用二維展繪三維的方法必定會有許多問題。一個很常舉的例子就是把橘子剝皮展開鋪在桌子上，那麼橘子皮必然會有褶皺或裂隙，同樣的地球表面展開的話，就一定會產生變形。

如上圖，把地球這個大橘子剝開，沿著赤道拼接，一拉開，就成了一幅地圖。

當然，還有別的剝橘子展平的方法，那就是另一種投影了。

變形是研究地圖投影的重要部分。

2、地圖是怎麼投影出來的？

要知道怎麼按條件投影，就先要知道投影怎麼來。

傳統的投影是用光學透視的方法獲得的，這樣的投影簡單易得，但球面與平面的數學關係不容易得到，所以現代地圖投影都會採用數學方法進行。

現代地圖投影方法分為幾何透視法和數學分析法。

傳統上的光學透視其實就是在玻璃地球的某個位置放個小燈，燈光在紙上投下的影子就成了一幅地圖（也許這就是投影的最初含義了）。比如我把燈放在球心，就得到球心投影。

但是這用小燈泡畫圖的話，只能得到地圖，有沒有方法可以不用通過燈就能把地圖做出來同時又能得到球面與平面的數學關係呢？

後來的地圖投影就開始用數學方法來投影了。之前的光學透視的投影我們運用光學原理的知識，應該是能算出平面與球面的數學關係的。

這種關係是怎樣的呢？我們將球面投影為平面，那麼球上的任意一點P，就肯定能在平面上找到一點P"。那麼所謂的地圖投影，難道不就是一個坐標變換的過程嗎？用數學上的話說，那就是映射啊！如果我們用數字表示出P和P"，那麼地圖投影 $f$ 就變成了一個函數啦！

怎麼表示一個點呢？那肯定是用坐標！

3、地圖與坐標系

坐標系有很多種啊，比如笛卡爾坐標系，極坐標系。

在地理上，坐標系又是怎樣的呢？

我們現在有兩個面，一個是平面，一個是球面（或橢球面）。

地圖上的坐標就是平面坐標，我們一般用數學常用的直角坐標和極坐標就好了，不過要注意哦，地理的坐標系和數學的有點不一樣，x軸指向的是北邊的，也就是說豎起來的那條軸才是x軸。

在地球上的坐標系又是怎樣呢？

我們用一個橢球（我們叫他大地橢球體）來近似代替地球吧，至於這個橢球是怎麼來的，大家可以參考一下@凃小圖的答案。

在這個橢球面上，我們建立了一個地理坐標系，地理坐標系其實也分成天文經緯度、大地經緯度、地心經緯度。天文經緯度可以用於大地測量中定向控制及校核數據，而在地圖投影中用的一般是大地經緯度和地心經緯度。

大地坐標系用大地經度和大地緯度來確定面上的點。

大地經度L指過參考橢球面上某一點的大地子午面與本初子午面之間的二面角，

大地緯度B指過參考橢球面上某一點的法線與赤道面的夾角。

地心坐標系的地心指地球橢球體的質量中心。

地心經度等同於大地經度，地心緯度是指參考橢球體面上的任意一點和橢球體中心連線與赤道面之間的夾角。

這經緯度的定義似乎很複雜，嗯，確實很複雜，怎麼說的通俗點呢？不如我們不要看這個定義，我們只要知道通過經緯度就能確定這個橢球面上的點就好了。

當然有時候地理研究和小比例尺地圖製圖對精度要求不高，故常把橢球體當作正球體看待，此時，地理坐標採用地球球面坐標，經緯度均用地心經緯度。

所以我們用數字表示了兩個點：

$P_{1}(B,L)$ 或 $P_{1}(varphi ,lambda )$ 表示經緯度， $P_{2}(x,y)$ 直角坐標, $P_{2}( ho , heta )$ 極坐標。

4、再論地圖投影

我們知道了地圖投影是一個映射

用數字表示P和P"兩個點後，就有函數

好了，我們是可以通過光學透視條件試著求出這個 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的。

以著名的墨卡托為例，（我們略過數學證明）其投影公式是：

5、地圖變形

講了這麼久，終於扯到變形啦。

在保持圖形完整性前提下，將（橢）球面轉化為平面，投影后得到的經緯線網形狀必然會產生變形，也就是說，在投影的過程中，變形是必然存在的。

投影變形使地物的幾何特性發生了變化，變形一般包括長度、面積、方向（角度）變形。

為了直觀地體驗或描述變形，我們造了個變形橢圓，我們在球上畫一個小圓圈，這個小圈圈投影到平面上就會變成一個橢圓了，直觀地表現了投影變形，看看這些圖咯：

但我們要用數字來表示變形啊，這樣才能知道具體怎麼變形，才能知道是不是等角，不然你看著一個個小圈圈怎麼知道它有沒有變形啊。

用來描述變形的有長度比、面積比、角度變形。

長度比用來描述長度變形，一個微分線段ds，投影在平面上變成了ds",那麼長度比其實就是ds"與ds的比：

不過呢，這個表示出來的並不是變形，表示變形的話，應該用變形的長度比上原長度。

所以我們這樣表示長度變形：

然而這還不夠，不同方向的線段變形不一樣啊，我們一般只看四個方向的長度比。過同一個點的線段，有的方向的變形大，有的方向變形小，變形最大的叫極大長度比a，最小的就叫極小長度比b，這兩個方向其實就是變形橢圓的長半徑和短半徑方向。我們稱這兩個方向為主方向。有時候主方向就是經緯度方向（m，n），當然有時候不是。

面積比P就是變形前後的面積比，很容易就可以知道，P=ab。

角度變形則是指投影前后角度的差值