有效質量和電導有效質量以及狀態密度有效質量之間有什麼關係？能夠分別解釋以及互相對比一下嗎？

01-02

半導體物理中容易分不清楚的幾個概念

引入有效質量這個概念能夠使半導體中的各種計算模型大大簡化

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電導有效質量和態密度有效質量的關係：

同出一源，但又花開兩朵各表一枝。

相同點：數學上來說，兩者都來源於晶體EK關係（或者叫色散關係、能帶）的二階泰勒展開項係數矩陣，由該係數矩陣可導出張量形式的有效質量（注意：張量形式的有效質量並未區分電導有效質量和態密度有效質量）。在各向同性的情況下，兩種有效質量等價。

不同點：在各項異性的情況下，為了簡化問題，需要對各個方向有效質量進行平均，兩種有效質量的平均方法不同。

電導有效質量，採用調和平均： $frac{1}{m^{*}} =frac{1}{3}(frac{1}{m_{x}^{*}}+frac{1}{m_{y}^{*}}+frac{1}{m_{z}^{*}} )$

態密度有效質量，採用幾何平均： $m^{*}=sqrt[3]{m_{x}^{*}m_{y}^{*}m_{z}^{*}}$

從用途上看，顧名思義，電導有效質量描述的是材料的導電性能，是在經典模型下（把電子當做實物粒子）的物理量，最常用的地方就是計算載流子遷移率。態密度有效質量，通常用來研究材料中有關電子統計的各種問題，如躍遷過程（光子吸收、光子輻射、以及各種散射過程）、金屬電子的熱容量、半導體電子的熱激發等等。

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下面詳細展開：

想要了解兩者的淵源，得從EK關係開始談起

1.EK關係—描述晶體中電子特性的基本框架

在量子力學的視角下，我們不再以實物粒子的身份看待晶體中的電子，而是用波函數來描述。求解周期性勢場中的薛定諤方程，可以得到電子在晶體中一組完備的本徵態和能量本徵值，完備的含義是電子的任意一個狀態都可以由這樣一組本徵解展開，接著我們可以建立能量本徵值E和波函數波矢K的關係，即所謂的EK關係。至此，有了EK關係和對應的波函數，描述晶體中電子特性的基本框架就已經搭好了。各位看官且看如何玩轉這EK關係，架起從微觀到宏觀的橋樑，從而得到材料的電學性能以及光學性能（一不小心暴露了出身）。

為了給大家留點印象，先來看看啥是EK關係。體材料中，由於k空間是三維空間，直觀起見，我們通常只畫出高對稱點連線的EK關係，下圖分別是體材料Si和Ge的EK關係：

但應當意識到，EK關係是三維空間的函數E（kx，ky，kz）

還有一種用等能面表示三維EK關係的方法：

由於EK曲面在各個方向上彎曲程度（有效質量）不一樣，所以等能面是橢球面。

2.波包—量子力學與經典力學的橋樑

材料的導電性能，是在經典力學範疇的概念，這個時候需要將電子看做實物粒子，引入質量、速度等物理量。然而，描述電子狀態是在量子力學的框架內完成的，所以問題就變成了如何將電子的波函數形式描述轉移到經典力學中來。這個時候，需要引入波包的模型。所謂波包，是一系列本徵態的疊加，波包的運動在一定的限度內可以與經典粒子的運動相對應。在晶體中，與量子態K0對應的波包是把K0與k0附近k"範圍內的狀態疊加所得。經過推導（以下引自黃昆《固體物理》），波包函數的模方為：

$left| psi left( r,t ight) ight| ^{2}=left| u_{k0}(r) ight|^{2}left| frac{sin(Delta u/2)}{Delta u/2} ight| ^{2} left| frac{sin(Delta v/2)}{Delta v/2} ight| ^{2} left| frac{sin(Delta w/2)}{Delta w/2} ight| ^{2} Delta ^{6}$

其中，u,v,w為：

$u=x-frac{1}{hbar} (frac{partial E}{partial k_{x}} )_{k_{0}}cdot t$

$v=y-frac{1}{hbar} (frac{partial E}{partial k_{y}} )_{k_{0}}cdot t$

$w=z-frac{1}{hbar} (frac{partial E}{partial k_{z}} )_{k_{0}}cdot t$

波包具有如下圖所示的形狀：

上面的表達式中的u，v，w說明波包中心位置隨著時間變化在移動，如果將波包看做一個準粒子，則其速度為：

$v_{k0} =frac{1}{hbar} (frac{partial E}{partial kx} +frac{partial E}{partial ky}+frac{partial E}{partial kz})_{k0}$

為了引入質量，對速度做時間微分，得到加速度：

$frac{dv_{k0}}{dt} =frac{d}{dt} (frac{1}{hbar} (frac{partial E}{partial kx} +frac{partial E}{partial ky}+frac{partial E}{partial kz})_{k0})$

利用鏈式法則：

$frac{dv_{k0}}{dt} =frac{1}{hbar}sum_{a}^{}{frac{dk_{a}}{dt} } frac{partial }{partial k_{a}} (frac{partial E}{partial kx} +frac{partial E}{partial ky}+frac{partial E}{partial kz})_{k0}$

然後，將加速度寫成矩陣形式：

與牛頓定律對比： $frac{dv}{dt} =frac{1}{m}F$

不難發現F的係數矩陣就是倒過來的質量，經過主軸變換總可以找到一組基使得非對角元為零,此時的有效質量張量形式簡潔：

這裡出現了三個獨立分量mx，my，mz，如果這三者不相等，則表示存在各向異性。至此，我們有了有效質量的概念，從幾何上來看有效質量與曲面的彎曲程度直接相關，曲面越彎曲則有效質量越小，相反越平坦則有效質量越大。接下來看什麼是電導有效質量。

3.電導有效質量

電導率是描述導電性能的一個重要參數，其定義為：

$sigma =nemu$

其中 $mu$ 為電子遷移率，表徵單位電場下載流子的遷移速度：

$mu =e au /m^{*}$

$m^{*}$ 即為電導有效質量，如果EK關係是各向同性，非常好辦，電導有效質量張量直接退化成標量。

如果EK關係各項異性，即mx，my，mz三者不相等。那麼有效質量為張量。但是張量形式的方程對於實際應用太過複雜。比如歐姆定律就要寫成：

$J_{x}=ne^{2} au frac{1}{3}(frac{1}{m_{xx}} +frac{1}{m_{xy}} +frac{1}{m_{xz}} ) E_{x}$

$J_{y}=ne^{2} au frac{1}{3}(frac{1}{m_{yx}} +frac{1}{m_{yy}} +frac{1}{m_{yz}} ) E_{y}$

$J_{z}=ne^{2} au frac{1}{3}(frac{1}{m_{zx}} +frac{1}{m_{zy}} +frac{1}{m_{zz}} ) E_{z}$

為了避免使用張量方程，人們想了一個偷懶的辦法，對有效質量做平均，注意到m位置是在分母上，所以平均的形式應當為（調和平均）：

$frac{1}{m^{*}} =frac{1}{3}(frac{1}{m_{x}^{*}}+frac{1}{m_{y}^{*}}+frac{1}{m_{z}^{*}} )$

至此，我們已經清楚了電導有效質量的含義。

4.態密度有效質量

在研究半導體中電子的特性時，我們用統計物理中的費米-狄拉克分布來描述電子的分布狀態，那麼就會引入有關費米-狄拉克函數的積分。為了數學計算的方便，我們常常對半導體的EK關係採用拋物帶近似（自由電子近似），將EK關係展開到二階項，這裡的mx，my，mz與電導有效質量中的mx，my，mz一致：

$E(k)=E_{0}+frac{hbar^{2}}{2} (frac{k_{x}^{2}}{m_{x}^{*}}+frac{k_{y}^{2}}{m_{y}^{*}}+frac{k_{z}^{2}}{m_{z}^{*}} )$

該式的物理含義是將周期性勢場對電子的散射作用歸結到電子質量的改變上。

若mx，my，mz不相等，意味著存在各項異性。為了進一步簡化計算，我們同樣需要對mx，my，mz做平均。但其平均的方法與電導有效質量有所不同，原因稍後解釋:

$m^{*}=sqrt[3]{m_{x}^{*}m_{y}^{*}m_{z}^{*}}$

通過有效質量的平均，EK關係近似為：

$E(k)=E_{0}+frac{hbar^{2}}{2m^{*}} (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})$

這裡的 $m^{*}$ 即態密度有效質量

5.為何叫態密度有效質量？

我們知道，半導體中的能帶實際上是由無數個分立的准連續狀態所組成。如下圖所示：

然而，我們進行理論分析的時候通常是把K空間當成連續地來處理，因為這樣可以將求和運算轉變為積分運算。態密度的作用就是將離散的求和與連續的積分聯繫起來。

如計算載流子濃度的公式：

$N=frac{1}{8pi ^{3}} int_{}^{} d^{3}k f(E_{k})$

其中 $f(E_{k})=frac{1}{1+exp((E_{k}-E_{F})/K_{b}T)}$ ，為費米狄拉克分布函數

注意到，這裡積分域是三維的k空間，將離散的k空間近似為連續的k空間，所以需要乘以一個離散K空間到連續K空間的態密度係數。然而，人們覺得三重積分算起來太麻煩，於是對它做進一步處理，從K空間變換到E空間，最終將一個三維各項異性的K空間轉變為一維的E空間，大大簡化了計算。

$N= int_{}^{} dE f(E)g(E)$

由於這種方法在拋物帶近似成立的情況下其誤差尚可接受，且計算方法較為簡單，所以被廣泛採用。其中g（E）即為E空間的態密度，其含義是單位能量間隔的狀態數。

對於體材料，g（E）的表達式為：

$g(E)=4pi (frac{2m^{*}}{hbar^2} ) ^{frac{3}{2} }sqrt{E}$

至此，可以看出態密度有效質量的物理含義。態密度有效質量越大，單位能量間隔電子的狀態數越多，反之狀態數越少。

接下來，簡單討論下為什麼態密度有效質量的平均方式是這樣的：

$m^{*}=sqrt[3]{m_{x}^{*}m_{y}^{*}m_{z}^{*}}$

我們知道，dE與dK的關係為：

$g(E)dE=dk_{x}dk_{y}dk_{z}$

兩邊做立方

$g(E)^{3}d^{3}E=d^{3}k_{x}d^{3}k_{y}d^{3}k_{z}=g_{x}(E)g_{y}(E)g_{z}(E)d^{3}E$

得到

$g(E)=sqrt[3]{g_{x}(E)g_{y}(E)g_{z}(E)}$

將g(E)表達式代入，不難發現具有幾何平均的形式：

$m^{*}=sqrt[3]{m_{x}^{*}m_{y}^{*}m_{z}^{*}}$

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以上是我個人理解，難免有失偏頗，歡迎大家批評指正

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有興趣可參考：

[1] 電子的准經典運動、波包：黃昆《固體物理》

[2] 電導有效質量和態密度有質量的平均方法：

《LASER DIODES AND THEIR APPLICATIONS TO COMMUNICATIONS AND

INFORMATION PROCESSING》 P381~384

wikipedia：Effective mass (solid-state physics)

以上說的就是傳說中的有效質量近似(effective mass approximation)和包絡函數近似(envelope function approximation)嗎