如何證明一個數學命題的不可證性？

01-02

為什麼有些數學命題會有不可證性，如何嚴謹的得到它的不可證性呢？還有，對於一個毫無頭緒的數學問題，那些數學大牛們又是如何找到證明的思路的，比如說哥德巴赫猜想以及三體問題等等

不可證明是相對的。所謂哥德巴赫猜想不可證明一般是說它無法被皮亞諾算數公理系統證明（自然數的代數關係+歸納法）。

要證明命題a無法被命題集A中的命題證明，最常見的做法是構造一個模型滿足A中所有命題但不滿足a。例如Cohen證明連續統假設無法被（ZFC公理系統）證明，他構造了ZFC的模型不滿足連續統假設。不太常見的做法是從語法上直接分析，就是證明論的手段（可能目前還沒有這樣的例子）。

至於有沒有一般的方法演算法可以統一的構造出滿足相應命題的模型，沒有，因為數學是創造性的，構造模型是一類足夠一般的問題。

「毫無頭緒的數學問題如何有思路」

數學上沒有，因為數學無法用一個演算法得到。吃點補腦丸興奮劑或許管用。龐加萊有種做法是放一會再想。

ps:哥猜現在還沒思路。三體問題已經證明了是混沌系統，「沒有解」。

謝邀。看到你提到了哥德爾不完備定理，但是其實一個公理體系中不完備性和一個數學命題的不可證性還是有所區別的。哥德爾的定理敘述了這樣一個事實：一個足夠複雜的、從有限條（經更正為可數條）公理出發的公理體系，一定存在體系內的命題，要麼不能證明也不能證偽（不滿足完備性），要麼既是真的又是假的（不滿足自洽性）。這裡「足夠複雜」指的是至少包含皮亞諾算數的系統。比這更簡單的公理體系是可以滿足完備且自洽的，比如著名的歐式幾何。

而一個數學命題的不可證的，可能等價於說：這個命題討論的對象不包含在討論的公理體系中（比如說我們在談論數學，突然有人插進來問：「你們講的都有道理，但是上帝在哪裡呢？」但是我們都知道，上帝的定義與和他有關的命題沒有被包含在我們討論的體系中）；或者說這個命題不能被證明或證偽，比如樸素集合論中的羅素悖論，還有選擇公理（如果看作一個待證命題）之於ZF公理集合論。

證明一個公理系統中的命題不可證，就我所知應該是沒有一般方法的。比如說，有些人認為黎曼猜想就是在ZFC公理系統中不可證的，但是沒有嚴格的證明支持這種說法；如果有上面講的那種一般性方法，黎曼猜想早就被解決了吧......

後面的兩句話關係不是很大。比如哥德巴赫猜想「最接近」的證明「1+2」是陳景潤先生用三角和估值法做出來的，目前還沒有更好的結果；（自由）三體問題則是混沌系統的一個著名例子，限制性三體問題是有「完全」解的，可以從一些分析力學的教材中找到有關討論。

?市裡發生一起兇殺案，警方斷定：

兇手是男性
受害者是女性
兇手做案之前有大量飲酒
兇手用雙手掐死了受害者

????受害者的丈夫在案發現前和受害者有過激烈爭吵，並且案發時就在案發現場附近。由於是健美教練，有足夠的手力掐死一名成年女生。並且，有很多案件，在夫妻發生激烈衝突後發生的。於是被控方鎖定為重大嫌疑人。

????受害者的丈夫的律師卻說：另外一個城市，也是相同情況，但受害人是被一個流竄作案的流動人員殺害的，所以現有證據無法證明嫌疑人就是兇手。

????當然，目前為止，也無法證明嫌疑人是兇手。

????所以，控辯雙方都要繼續找證據，來證明他們相要的結果。

????其實，數學公理就是「證據」。這種「證據」是一個要求人們先接受，而無需證明的一些命題。至於，為什麼要接受，或是因為生活經驗，或是因為某些實驗結果，再或沒有任何理由，反正先接受。但接受的東西之間不能有矛盾的地方。比如，下面一串的東西，不能看成（協調的）公理體系。

世界中存在兩個人類小明和小紅
小明是男人
小紅是女人
小明與小紅是相同性別的
男女是兩個不同性別

????我們再來說一個數學的例子，高等代數中學過數域的定義，我們把這些定義的條件看成公理吧。一個實數子集F，滿足就是下面幾條公理，就稱為數域(簡單起見，我們只在實數上討論)。

0,1∈F
如果a,b∈F，則a+b∈F
如果a,b∈F，則ab∈F
如果a,b∈F，則a?b∈F
如果a,b∈F，b≠0，則a/b∈F

????那麼，對於一個數域F，僅由這幾條公理，是否能推導出x2=2在F上有解（就是說存在x使得x2=2）？我們說，不能，因為如果我們讓F為有理數集的時候，有理數集是一個數域，但x2=2無解。那能否推出x2=2（(對任意x，x2≠2)）無解呢，我們說也不能，因為如果我們讓F=R時，在這個域上是有解的。

????於是，得到結論「代數方程x2=2有解」這個命題，在數域公理體系下，是無法證明，也無法證偽的。於是這個x2=2是否有解，與數域公理獨立。

?通過上面的討論，我們知道，我們要一個命題的證明獨立性，有一個辦法是，找兩個模型，兩個模型都滿足所有公理的條件，但這個命題在其中一個模型里是真命題，在另外一個是假命題（比如前文中的有理數域和實數域R）。注意，我們分別在兩個模型下討論方程解的性質的時候，所使用的東西，一定超出了之前數域公理東西。比如在Q上無解，用到了自然數的性質，在R有解用到了實數的完備性性質。

????我們都熟知的連續統假設與ZFC公理系統獨立就是用這樣的辦法證明的。

????第一個找到讓連續統假設是真命題模型是哥德爾，他利用了構造性公理。由於ZF和構造性公理一起還能順便推出選擇公理，於是他證明了連續統假設和ZFC是不矛盾的。

????找到另一個讓連續統假設是假命題模型，要難得多。不過還是由科恩(P.J Cohen)找到了，找的過程中，他用了他本人發明的數學工具力迫法(Forcing)。於是，連續統假設與ZFC公理體系就獨立了。由此，科恩獲得了1966年的菲爾茲獎，也是唯一一個在數理邏輯領域的菲爾茲獎的獲得者。

????最後補充一點，我們說公理就是「證據」。現代的公理代數學到底是哪些「證據」呢。這些證據被稱為ZF公理體系。可以自行搜索吧。

整個數學體系都有本原（就是人為規定的最根本的公理），當然我們不能把所有的問題都用公理給規定下來，要不然這個世界豈不是太簡單了么，，一些東西不可證，是由於這個東東和我們已知的公理及由這個公理所得到的結果獨立（我是這樣理解的），比如集合論里著名的康托爾的「連續統假設」，我們不能用已知的公理，定理，來證明其成立或不成立，所以可以說這個問題就是不可證的，，

但是「A命題不可證」也是命題，有可能是不可證的

正好最近在方延明的《數學文化》中看到的，真的感覺很神奇

沒想到這都能證

下面是羅巴切夫斯基用反證法證明第五公設（即平行公設）不可證

證明第五公設的不可證性

1.先以《幾何原本》中與第五公設無關的定理與其他公理（即除了第五公設的其他公理）為基礎，做出一個公理體系

2.在否定第五公設，並將否命題加入公理體系形成擴大的公理體系

如果第五公設可證，那麼這個擴大的公理體系必然會有互相矛盾的命題出現。

3.證明擴大後公理體系中沒有矛盾

4.命題得證

其實擴大的公理體系就是非歐幾何學

數學就是這麼神奇～(￣▽￣～)~

假設我用以下幾條規則定義集合 X：

一：1 在 X 里；

二：-2 在 X 里；

三：如果 x 在 X 里而且 x &> 0，那麼 x + 3 也在 X 里；

四：如果 x 在 X 里而且 x &< 0，那麼 x - 3 也在 X 里；

那麼：

1. 通過使用（一）和反覆使用（三），可以證明 1, 4, 7, ... 都在 X 里；

2. 類似地，-2, -5, -8, ... 都在 X 里；

3. 如果 x 在 X 里，-x 就不會在 X 里；

4. 對於 x = 3, 6, 9, ...，無論 x 還是 -x 都不在 X 里。

形式系統和上面很類似：定義出哪些命題確定在可證明的命題集合里，以及如何將可證明的命題組合成新的可證明命題，就定義出了整個可證明的命題的集合了。

一般形式系統中都會有反命題，而一個不自相矛盾的形式系統必須確保不會同時在可證明命題集合里包含某個命題和它的反命題。

而就像上面的集合 X 一樣，我們可以通過考察系統的特性，證明出某些命題不在系統的可證明命題集合里。假如連它的反命題都不在系統的可證明命題集合里，那我們就說這個命題獨立於系統。

記者的提問水平不夠高啊。如果是我的話，我想問一下，吳文俊院士已經在機器證明用計算機來證明數學定理領域做出了重要貢獻，請問勵老師怎麼看？

首先，沒有不可證性，所有的科學命題都可以判斷是否正確的，否則不叫命題。

其次，我不是數學家，你舉的猜想太大，大的讓我情可以堪。我沒解決過大數學問題。只解決過小數學問題。

證明一個問題，一般從提出問題開始，背景是什麼，基於什麼定理或數學問題提出，需要改進什麼條件，等等。

然後才是猜想可能的條件。

最後，可以嘗試直接證明或反證。直接證明又分為分析方法，代數方法，幾何方法。。。。

就你的問題，一句話兩句話說不出什麼，如果能說出來，也一定沒有指導意義。

對你來說，迫切需要解決的是，把數學分析，高等代數，解析幾何的經典教材的每一道題都自己獨立做出來。這樣再來問！不過等你真完成了這些，你就有答案了