為什麼在並聯電路中，等效電阻的倒數等於支路電阻倒數和，而非直接加總所得？

01-02

1/R=1/R_1+1/R_2是對的
而R=R_1+R_2是錯的

所以說電導才是更加自然的概念呀。。

粗糙地說，電導就是把電流可能的路徑（通道）加起來，路徑越多，電導越大，導電性能越好。。

在寫回答帖之前，我看了題主所寫的若干帖子，發現題主並非中學生，更象是一位職業編程者。同時，這個問題似乎簡單到不值得回答。不過，越是簡單的問題，它的內涵就越深刻。既然如此，我們就鋪開來談吧。

看下圖：

這是一個典型的電阻並聯電路。

如果圖中只有電阻R1，則R1兩端的電壓為：

$U=Efrac{R_{1} }{r+R_{1} }$

流過R1的電流為：

$I_{1} =frac{U}{R_{1} } =frac{E}{r+R_{1} } =I$

在這裡，r+R1是從電源側看到的系統總電阻，而I1其實就是總電流I。

若圖中有兩隻電阻R1和R2，則有：

$I=I_{1} +I_{2} =frac{U}{R_{1} } +frac{U}{R_{2} } =U(frac{1}{R_{1} } +frac{1}{R_{2} } )$

將U移到等式左邊，得到：

$frac{I}{U} =frac{1}{R_{1} } +frac{1}{R_{2} } =frac{1}{R}$

這裡的R是並聯電阻R1和R2的總電阻。於是，我們可以進一步推得：

$R=frac{R_{1} R_{2} }{R_{1} +R_{2} }$

以及： $I =frac{E}{r+R }$ 。

於是，我們又回到了原來的形式。

現在，我們來考察n個電阻。我們發現，這n個電阻的電壓都是U，於是按上述推導方法，我們得到並聯迴路總電阻R的表達式：

$frac{1}{R} =frac{1}{R_{1} } +frac{1}{R_{2} } +cdot cdot cdot cdot cdot cdot +frac{1}{R_{n} }$

這個式子就是題主所需要的結論。

並且總電流 $I =frac{E}{r+R }$ 成立。

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現在，我們把主題擴展一下。我們來看下圖：

上圖中，晶體管T屬於共集電極接法，它的發射極接了負載電阻Re。

我們知道，基極到發射極間的電壓降為0.6V，也即Ue=Ub-0.6，所以流過電阻Re的電流Ie為：

$I_{e} =frac{U_{b} -0.6}{R_{e} }$ 。

我們設晶體管的電流放大倍數為β，β的值很大（一般取為30，實際在100以上）。有晶體管電流關係我們知道，晶體管集電極電流就等於發射極電流，則基極電流為：

$I_{b} =frac{U_{b} -0.6}{R_{e}eta }$

故知，基極電流很小，基極等效電阻Rin很大。由此我們得到右側的等效電路圖。

現在，我們的問題是：若R2與Rin並聯，並且兩者的阻值相差很大，那麼它們並聯後的電壓Ub是由何者決定的？是否存在一個普遍規律，以便簡化設計？

設流過電阻R1的電流是I1，流過電阻R2的電流是I2，流過電阻Rin的電流是Ib。則電阻R2兩端的電壓U2為：

$U_{2} =I_{2} R_{2} =(I_{1} -I_{b} )R_{2}$ 。

設 $I_{b} =KI_{1}$ ，且有： $0leq Kleq 1$ 。

當K=0時，說明電阻Rin不存在；當K=1時，說明並聯電阻R2不存在；而當K=0.5時，說明R2=Rin。

將K代入上式中，得到：

$U_{2} =(I_{1} -I_{b} )R_{2} =(1-K)I_{1}R_{2}$

由上式可以得知：電壓U2的大小與電阻Rin的分流有關。分流越多，K值越大，則U2就越低。

我們知道，各個並聯電阻兩端的電壓是相等的。於是有：

$I_{2} R_{2} =I_{b} R_{in}$ ，也即： $I_{1} (1-K)R_{2} =I_{1} KR_{in} Rightarrow (1-K)R_{2} =KR_{in}$ ，

也即： $R_{in} =frac{1-K}{K} R_{2}$ 。

如果 $I_{1} =10I_{b}$ ，K=0.1，則有：

$R_{in} =frac{1-K}{K} R_{2}=frac{1-0.1}{0.1} R_{2}=9R_{2}$ ；

再看U2：

$U_{2} =(1-K)I_{1}R_{2}=(1-0.1)I_{1}R_{2}=0.9I_{1}R_{2}approx I_{1}R_{2}$ 。

這叫做十倍原則，也即讓並聯迴路的總電流等於流出電流的10倍，則系統並聯分壓值基本不變。

按照這個原則，只要我們在設計時，讓晶體管基極偏置電流大於基極電流十倍以上，則基極偏置電壓基本不變，基極電壓不會因為晶體管的工作而發生大的偏離。

這個並聯迴路分流原則可以用在許多場合，包括自動控制電路的輸入級電流設計，以及電壓參比迴路的設計等等。

對於每一個(模型化的簡單)電阻，阻值R=電阻率ρ*長度l/截面積S。

不同的電阻並聯時，可將每個電阻等效為具有相同的電阻率和長度，但截面積視各自阻值而有不同，則並聯相當於單純增加截面積。舉例:

R1=ρ*l/S1,

R2=ρ*l/S2,

R3=ρ*l/S3,

R1∥R2∥R3=Rtotal=ρ*l/(S1+S2+S3)

1/Rtotal

=(S1+S2+S3)/(ρ*l)

=S1/(ρ*l)+S2/(ρ*l)+S3/(ρ*l)

=1/R1+1/R2+1/R3

是否清晰？

同樣的思路，對串聯情形，可將每個電阻等效為具有相同的電阻率和截面積，但長度視各自阻值而有不同，則串聯相當於單純增加長度，計算非常簡單，就不贅述了。

並聯電路中，幹路與支路電壓與電流的關係分別為

U=U1=U2，（1）

I=I1+I2，（2）

將（2）式代入（1）式，我們有

1/R=1/R1+1/R2。

由此可見，電阻關係其實是電流關係與電壓關係的推論。

各位答主都從電學計算上說明，我就換個角度吧。

想像一下水管工人裝水管，水管越粗，水受到的阻力越小，阻力越小，水壓的壓降就越小。阻力越小，相同水壓時水流速越快，流量就越大，這和電其實是類似的。

那麼如果電流是水流，電壓就是水壓，電阻就是水管的粗細（成反比），越粗水受到的阻力（電阻）越小。

那麼很簡單，兩根同樣粗細的水管並聯，其實等於2倍粗細的一根水管，顯然水的阻力變小了（因為是反比所以粗細是阻力的倒數）。

而串聯的時候，水的阻力變大，我想也是不難理解的事情了。

公式的推導對於題主來說應該不是難事，所以我認為題主只是直覺上不能理解，所以我嘗試從直觀的角度解釋一下。

首先說為什麼不是相加：

以路為類比，導線為好路（無阻力），而電阻為破路（有阻力）。當兩點間只有一條路時，破路總長度越長（串聯電阻越多）自然越難開。

可是如果兩點之間可以有多條破路時，破路數量越多（並聯電阻越多）對於交通狀況的緩解效果肯定就越好，因為路的數量多了。因此並聯電阻越多總電阻越小，因此並聯總電阻不可能是每個電阻相加。

至於為什麼是倒數之和，不好直觀地解釋，就這麼說吧：電阻的倒數叫做電導，顧名思義就是描述導體的導電性。並聯總電導等於各個電導之和。

我簡單的介紹吧

假設R1和R2並聯,總電壓為U,

I1 =U/R1,I2=U/R2

I=I1+I2=U/R1+U/R2=U*（1/R1+1/R2）=U/R=U*(1/R)

即1/R=1/R1+1/R2

R=rho*L/A

電阻 {R} 單位為歐姆
長度 {l} 單位為米
截面面積 {A} 單位為平方米
電阻率 {rho } 單位為歐姆·米

這個方程被稱為電阻定律。

然後直接推導即可，並聯為增加A,串聯增加L

中學水平最容易理解的解釋，其實在絕大多數時候這個就夠了

數學推導很容易，直觀地理解的話可以這麼想來幫助理解。

你從阻礙電流通過的角度看，它是電阻。那麼換個角度，也可以說它允許電流通過，是電導。電導等於電阻的倒數。

並聯就像多了幾條路，電導想加。

因為並聯電路的總電導等於各支路電導之和。

電導表示的導體傳輸電流能力的強弱程度，如果用道路來做比喻，電導就類似於車流通過速率，而我們都知道，兩條路的車流通過速率是獨立的，在計算總車流通過速率時，簡單相加就可以了。

然後，在純電阻電路，電導值與電阻值互為倒數。

一條河上有很多橋，另一條河只有一座橋。當然是橋多的河運輸量更大（電流更大），電流大意味著電阻小，所以並聯的電阻越多，總電阻越小。

串聯電阻等於各電阻之和，

並聯電導等於各支路電導之和

通過基爾霍夫定律推導出來的啊

在物理上是最小作用量原理的體現

目前來看作用量原理是物理世界基本原理

@Patrick Zhang 張老師已經寫的很好了。

正在複習電動力學，恰好看到這個問題，就從電動力學這個角度來解答一下。

知乎小透明，不足之處還請指出。

我們先來看看電阻的定義式：R=U/I，其中U是導體兩端的電壓，I是通過導體的電流。

再來看I（通過這個導體的）的定義：單位時間內通過導體橫截面積（默認導體是規則的）的電荷量。

回過頭再來想，電流的本質是什麼？電荷的定向移動。驅動電荷的定向移動需要一個力f，並且電流的大小與f成正比。

J=σf

其中J為體電流密度，σ為經驗常數，不同的材料不同。通常情況下驅動電荷流動的是電磁力。

J=σ（E+v×B），通常，電荷速度非常小，第二項可以忽略。

J=σE ①

由電流的定義可知：

I=JS ② 其中S為導體的橫截面積。

則由①②可得I=σES

對並聯電路很明顯有U_1=U_2，I=I_1+I_2。

則I=I_1+I_2=σ_1E_1S_1+σ_2E_2S_2

其中E_1=U_1/d_1，E_2=U_2/d_2

d_1，d_2為導體的長度。

則I=U（σ_1S_1/d_1+σ_2S_2/d_2）

I/U=1/R=σ_1S_1/d_1+σ_2S_2/d_2 ③

而實際上σ=1/ρ，ρ為電阻率，R=ρd/S=d/σS

則，③式可化為：

I/U=1/R=1/R_1+1/R_2

即並聯電路的電阻公式。

其實與初中的的推導沒有什麼不同啊，只是幫助題主理解下電阻的物理意義。由電阻的定義就可以看出，電阻不是一個基本物理量，是人為定義出來的。（可以理解為表示了對電流的阻礙作用。）

而與電阻直接相關的其實是σ，σ與電阻率ρ的關係是：σ=1/ρ。

第一次回答，手機答題，沒有排版還請見諒。

如果用導納就是直接相加。

在實際電網的潮流計算中導納矩陣用的遠比阻抗矩陣多的多

如果並聯電路用加和公式，串聯電路用哪個公式？

電阻反映的實際是個體材料的性質，實際電路分析反映的是電荷流動的統計。我個人覺得可以從電荷流動層面去感性推理，就像前面同學說的KCL角度，把電荷想像成趕地鐵人群，固定數量的人口通過固定寬度的閘機，閘機對人的阻礙就類似電阻作用，平行地再開幾個閘機，人群通過速度也相應倍增，總的阻礙能力也下降。要計算這種阻礙能力，則是總的人口數量除以閘機的通過速度。

根據歐姆定律和基爾霍夫電流定律可以解答你的疑問。如果有興趣，可以去研究一下以上兩個定律為什麼是對的。