如果一個人從赤道一直走到極點，那麼他的動能去哪裡了呢？

01-02

我們知道在地球上赤道的線速度最大，而在兩極的線速度為零。如果一個人從赤道一直走到了極點，那麼他所攜帶的動能轉化為了什麼呢？（假設出發時和結束時所處的海拔相等）

謝邀。這個問題挺有趣的。

首先，@靈劍的回答不妥，科里奧利力永遠和相對速度垂直，科氏力不做功。你的回復會讓人覺得科氏力在做功。

首先讓我們先假設一個簡單的情景，假設地球是一個均勻光滑球體，從赤道到極點建一條光滑管道，在赤道處放一個小球，給小球一個初速度讓小球運動到極點。這樣一個模型，小球的運動是怎麼樣的呢？

假設地球轉動角速度 $omega$ 豎直向上，取以角速度 $omega$ 轉動的轉動參考系。在這個轉動參考系裡，小球速度為v，方向和球面相切。小球受到2個慣性力，一個慣性力是慣性離心力F1，方向水平向右，另外一個慣性力是科里奧利力，方向垂直紙面向里。除此之外，小球會受到地球的支持力N，引力F2，管道給的支持力F4，方向如圖。

在小球運動到極點的過程中，只有慣性離心力F1做負功，其他力均不做功，小球的速度v逐漸減小，為了分析方便，假設到達極點時v剛好減小到0。

現在我們回到慣性系（地心系），考慮地球的轉動，小球的初速度是 $sqrt{v^{2} +(omega r)^{2} }$ ，r為地球半徑，到達極點的末速度是0。整個過程受力和上圖分析相同，只不過沒有慣性力了，小球的運動軌跡大概是這樣：

整個過程F4做負功。

回到原問題，人和地面的摩擦充當了F4的作用。

為了使人和地表相對速度不變，還需要一個摩擦力F5，實際摩擦力是F4和F5的合力。

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補充一下，我發現有些人根本沒有理解慣性力。

嚴格來講，牛頓定律只在慣性系下成立，但是人們發現，對於非慣性系，只需要假設物體受到一個假想的力，就可以使牛頓定律重新成立。慣性力就是這個假想的力。

因此，慣性力只和你選取的參考系有關。選取非慣性係為參考系，就有慣性力，選取慣性係為參考系，就沒有慣性力，就這麼簡單。

通過靜摩擦還給了地球

走的過程當中要一邊走一邊克服科里奧利力，這個過程通過腳底的摩擦實現，由於每一步線速度都不同，實際上理論上每一步都有一個微小的滑動摩擦，這個摩擦將動能轉化為內能

摩擦摩擦，似魔鬼的步伐

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之前的答案有些問題，這其中不一定存在滑動摩擦，重新考慮之後其實是這樣的：

考慮人和地球的整體，實際上在人從赤道走到極點之後，總的轉動動能是增加的。

原因在於人從赤道走到極點，根據角動量守恆，地球的旋轉速度會略微增加。這實際上是前面說過的，人在克服科里奧利力的過程中，對地球施加了額外的力，導致地球轉速稍微增加了。

設行走之前的轉動慣量為 $J_1$ ，地球轉速為 $omega_1$ ，走到之後轉動慣量為 $J_2$ ，地球轉速為 $omega_2$ ，則

$J_1 omega_1 = J_2 omega_2$

再考慮轉動能，則會發現：

$frac{1}{2}J_2omega_2^2 = frac{1}{2}J_1omega_1omega_2 > frac{1}{2}J_1omega_1^2$

整體的轉動能居然是增加的！

其實仔細一想就明白了，人在從赤道向極點走的時候，是要克服離心力做功的。這個功，再加上人最初的動能，一起轉換成了地球自轉的動能。雖然地球轉速只增加了非常微弱的一點點，但因為轉動慣量大，所以增加的動能是很可觀的。

我們來驗證一下，忽略人的體積把人看成是質點，如果人和地球始終保持角速度相等，當人走到的緯線圈半徑為r時，人的轉動慣量是 $mr^2$ ，設地球的轉動慣量是 $J$ ，人在極點的時候和地球一起的轉速為 $omega$ ，則人在緯線圈半徑為r的位置時，轉動動能為：

$frac{1}{2}(J + mr^2)left(frac{Jomega}{J + mr^2} ight)^2 = frac{J^2omega^2}{2(J + mr^2)}$

我們來計算它關於r的導數：

$frac{partial E}{partial r} = -frac{J^2omega^2}{2(J + mr^2)^2}2mr = -mrleft(frac{Jomega}{J + mr^2} ight)^2$

注意最後一個括弧里的恰好就是人在緯線圈半徑為r的位置時，人和地球公共的自轉角速度，因此這個偏導數恰好就是離心力公式 $F = momega^2r$ ！

從中我們可以得到一個有意思的結論：離心力的產生原因是等角速度自轉體系整體轉動能的變化

當然最後這個結論其實是顯而易見的，我們把地球去掉讓人以固定角速度旋轉，那顯然偏導數相當於對轉動慣量求偏導數，也就是離心力公式了

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我們來說一下從功能關係理解的力：

在非慣性系下面，動能的表達式不一定還是 $frac{mv^2}{2}$ ，而是一個特定的跟坐標有關的表達式；只有慣性系下面是 $frac{mv^2}{2}$ 。比如對旋轉參考系來說，這個表達式裡面就有位置坐標在裡面，在這裡每個質點的動能應該寫成 $frac{m(overrightarrow omega imes overrightarrow r + overrightarrow v)^2}{2}$ ，很容易看出來這是通過慣性系當中的動能表達式變換來的，把參考系中的速度補上旋轉的線速度就是在慣性系中的速度。
除了動能以外，還可能有勢能，這個例子裡面沒有。勢能只是位置坐標的函數，這其中的坐標在多個物體當中，包含其中每個物體的坐標。
如果這個系統中沒有非保守力，將這個機械能總和的表達式，對其中一個坐標取偏導數，就得到了這個坐標分量上的力，這可以叫做廣義力，它跟牛頓力學中的力還略有區別。這其中的原理是功能關係，如果我用力讓物體在這裡發生了一個小的位移，而沒有引起其他變化，我需要做的功就是整體機械能的變化。
最後，廣義力和牛頓力學中的力還有多大區別？牛頓力學力的力實際上是按F = ma定義的。而對於廣義力來說，如果沒有非保守力，適用拉格朗日方程：

$frac{d}{dt}frac{partial}{partial q$

對於慣性系來說，這顯然就是F = ma，然而對於非慣性系來說，左邊那項不僅包含ma，還可能包含別的項，為了湊出牛頓力學中的公式，我們需要把這些別的項也補充進慣性力裡面，來湊出F = ma。

我們來對旋轉參考系試一下：

$frac{partial}{partial overrightarrow r}frac{m(overrightarrow omega imes overrightarrow r + overrightarrow v)^2}{2} = frac{partial}{partial overrightarrow r} frac{m(overrightarrow omega imes overrightarrow r)^2}{2} + frac{partial}{partial overrightarrow r}m(overrightarrow omega imes overrightarrow r) cdot overrightarrow v + frac{partial}{partial overrightarrow r}frac{m{overrightarrow v}^2}{2}$

第三項顯然是0了。關於前兩項，嗯，像我這樣數學不好的人是不會求這麼複雜的偏導數的，我們來用直角坐標系暴力展開，然後寫出

$frac{partial}{partial overrightarrow r}(overrightarrow omega imes overrightarrow r)$

的雅可比矩陣：

$frac{partial}{partial overrightarrow r}(overrightarrow omega imes overrightarrow r) = frac{partial}{partial overrightarrow r}left|egin{array}{ccc}overrightarrow i overrightarrow j overrightarrow k \ x_omega y_omega z_omega \ x_r y_r z_r end{array} ight| = left[egin{array}{ccc}0 - z_omega y_omega \ z_omega 0 - x_omega \ - y_omega x_omega 0end{array} ight]$

所以

$frac{partial}{partial overrightarrow r} frac{m(overrightarrow omega imes overrightarrow r)^2}{2} = (overrightarrow omega imes overrightarrow r)left[egin{array}{ccc}0 - z_omega y_omega \ z_omega 0 - x_omega \ - y_omega x_omega 0end{array} ight] = (left|egin{array}{ccc}0 z_omega -y_omega \ x_omega y_omega z_omega \ x_r y_r z_rend{array} ight|, left|egin{array}{ccc}-z_omega 0 x_omega \ x_omega y_omega z_omega \ x_r y_r z_rend{array} ight|, left|egin{array}{ccc}y_omega -x_omega 0 \ x_omega y_omega z_omega \ x_r y_r z_rend{array} ight|)$

$= (x_r(y_omega^2 + z_omega^2) - y_rx_omega y_omega - z_r x_omega z_omega, -x_ry_omega z_omega + y_r(x_omega^2 + y_omega^2) - z_r y_omega z_omega, -x_rx_omega z_omega + y_r y_omega z_omega - z_r (x_omega^2 + y_omega^2))$

$= (x_r, y_r, z_r)(x_omega^2 + y_omega^2 + z_omega^2) - (x_omega, y_omega, z_omega)(x_r x_omega + y_r y_omega + z_r z_omega)$

$= (overrightarrow omega)^2overrightarrow r - (overrightarrow omega cdot overrightarrow r)overrightarrow omega$

這一項呢，就叫做離心力

第二項我們就不暴力算了，運用這個恆等式：

$(overrightarrow a imes overrightarrow b) cdot overrightarrow c = (overrightarrow c imes overrightarrow a) cdot overrightarrow b$

則

$frac{partial}{partial overrightarrow r}m(overrightarrow omega imes overrightarrow r) cdot overrightarrow v = frac{partial}{partial overrightarrow r}m(overrightarrow v imes overrightarrow omega) cdot overrightarrow r = m(overrightarrow v imes overrightarrow omega)$

這一項呢，就是科里奧利力的一部分

我們前面說了，還有左邊的對速度求偏導的那一半，也就是：

$frac{d}{dt}frac{partial}{partial overrightarrow v} m(overrightarrow omega imes overrightarrow r) cdot overrightarrow v + frac{d}{dt}frac{partial}{partial overrightarrow v} frac{moverrightarrow v^2}{2} = m(overrightarrow omega imes overrightarrow v) + m overrightarrow a$

第二項是牛頓力學中的ma，前一項需要移回去補充到廣義力上面去，所以最終科氏力的公式是

$2m(overrightarrow v imes overrightarrow omega)$

這也是旋轉參考系中的質點唯一受到的兩個力了。

回到之前的問題里，我們將參考系就取成地面，哪怕它的轉動速度會變，但是我們可以根據角動量守恆得到它的轉動速度僅僅跟人的旋轉半徑有關這件事。由於人始終沿著子午線走，因此只有一個維度，我們把這個坐標取成人走過的子午線的長度L，則總機械能可以寫成：

$frac{J^2omega^2}{2(J + mr^2)} + frac{mv^2}{2}$

注意其中r是L的函數，而 $v = frac{dL}{dt}$ 。這個表達式對v的偏導數中沒有除了ma以外的項，所以廣義力和牛頓力學中的力是相等的，所以我們可以看到，整個系統的慣性力只有離心力一項，由於它是動能對位置的偏導數，所以可以說它實際上是從位置不同導致的動能差異而來的。

力跟參考系相關，也可以說是跟坐標選取相關。我可以用任何方式去選取坐標，比如除了用直角坐標，還可以用極坐標，那就可以求出切向力的分量和法向力的分量。用這種方式去做受力分析，就可以繞開牛頓力學當中複雜的加速度分析，直接變成數學中的求偏導數。不過這套力學工具我也不是特別熟。

首先有摩擦損失，其次是線速度轉化成角速度。

摩擦摩擦

在光滑的地板上，摩擦

在光滑的關節間，摩擦

動能給了地球。一個人走到極地，地球角速度會略微增加。其本質就是改變質量分布會改變地球轉速么

不知道為什麼那麼多回答要寫得那麼麻煩？扯一大堆！還把科氏力，慣性力都拉出來了！

不就是一個動能定理的事情嗎？

一，人在走路時沒有相對地球滑動。

這個情況下沒有外力做功！所以對於人和地球這個系統來說，人動能減少，地球動能增大！所以人減少的動能轉化為地球的動能！

二，人在走路時有相對地球滑動。

這個情況下有摩擦熱產生，設相對滑動的距離為s，摩擦熱就是f。這時候就是，人減少的動能轉化為地球的動能以及摩擦熱。

你可以想一個在極點沒有動能的人，在赤道獲得了動能，這份動能是誰給的？地球啊

表示這個問題沒看懂。

一個人手持兩個啞鈴坐在旋椅上，兩手張開，開始轉椅子。

把手放胸前，轉速加快。

忽略各種摩擦，動能跑別的「非軸線」上的帶質量的點上了唄。

人在赤道，由於離心力，重力相加減，得到的動能（離心力）微乎其微，（不然跟本站不穩）。但也不是沒有。動能的力的方向由於地球是圓的，所以會以一定的角度，直覺為45度。假如一直向極點走，就要克服來自該45度的反方向的力。從赤道向南走，有向左45度的動能力，腳底需要克服，變為沙土或地球的磨擦力。過程中，動力慢慢變小，直到走到極點，動力為零。同理，向北極走，力變為右，即可。

模形：當你站在赤道面向正東時，你有一個向前（還是後）的力，如果你向南或向北走出一點，你就有一個45度偏向力和你的腳相切，讓你去克服。這個力隨道緯度變化是有規律的。

現象，僅管這力很小，對於密度大的物體忽略不計。但對於空氣就有影響了。北半球的颱風為逆時間形狀，南半球為順時針。植物的嫩芽也有影響。北半球生物順時間纏繞，南半球為逆時間纏饒。

理論就這樣。太賴了，不去實驗了。

F力變小，方向如同圖所示。